Вопросы к зачёту по математике.
1-й семестр
ВОПРОС№1 Множества. Способы задания множеств. Характеристическое свойство множеств. Равные множества, подмножества. Универсальное множество. Конечные и бесконечные множества. Пустое множество. Основные числовые и геометрические множества.
Множество - произвольная совокупность каких-либо элементов, обладающих характерными свойствами
Способы
задания множеств.
1)
Перечислением
-
Конечное множество можно задать
перечислением его элементов и записать
в виде:
.
Например,
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество десятичных
цифр.
2)
Характеристический (описанием свойств)
– (Характеристическое
свойство – это
такое
свойство, которым обладает каждый
элемент, принадлежащий множеству, и не
обладает ни один элемент, который ему
не принадлежит.)
Например: А = {х׀ х – двузначные числа}. Характеристическое свойство множеств. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему.
Равные множества - Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов. Например, множество из трех элементов a, b, c допускает шесть видов записи: {a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}
Подмножество - Множество А является подмножеством В, если каждый элемент множества А является также элементом множества В.
Универсальное множество. Универсальное множество —множество, обладающее таким свойством, при котором все остальные множества являются его подмножествами.
Универсальное множество обычно обозначается U
Конечное - множество, содержащее конечное число элементов называется конечным. (множество целых чисел от 1 до 7)
Бесконечное множество - множество, содержащее бесконечное число элементов называется бесконечным. (множество Z целых чисел)
Пустое множество - Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. ∅. (Множество точек пересечения двух параллельных прямых)
Основные числовые и геометрические множества. Числовые: N - натуральные, Z - целые, Q - рациональные, I - иррациональные, R - действительные, С - комплексные
Геометрическое - точка, прямая, плоскость
ВОПРОС №2 Операции пересечения и объединения множеств, их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна
Объединением множеств A и B называется множество A U B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B
Свойства операции объединения. 1.(коммутативность); A∪B = B∪A 2.(ассоциативность) (А∪B) ∪C = А∪(B∪C) 3. Если B⊂A, то A∪B=A
4. Объединение А и пустого множества равно А. А∪Ø= А 5. A ∪ U = U
Пересечением множеств А и B называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В
Свойства операции пересечения множеств
1.(коммутативность); A∩B = B∩A 2.(ассоциативность). (A∩В)∩С = А∩(В∩С) 3. Если A⊇B, то А∩B = В; 4. А∩Ø=Ø . 5. A ∩ U = A
Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри него – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.
ВОПРОС №3 Операции разности и дополнения множеств, их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна
Разностью множеств А и B называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в B.
Свойства операции разности множеств
1. Вычитание множества из самого себя даёт в результате пустое множество:
2. Свойства пустого множества относительно разности:
3. Разность двух множеств содержится в уменьшаемом:
4.
Из
этой формулы следует, что операция
разности не является обратной операции
суммы (то есть объединению).
5. Разность не пересекается с вычитаемым:
6. Разность множеств равна пустому множеству тогда, и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычитаемом:
Законы де Моргана в алгебре множеств формулируются следующим образом:
,
если 
.Если
и 
,
то 
Если , то для любого
выполняется 
.
Это соотношение имеет свой аналог
в арифметике: если 
,
то для любого 
справедливо 
.
Дополнением
множества
А
в универсальном множестве U
(обозначается
)
называется
множество, состоящее из всех элементов
универсального множества U,
не
принадлежащих
множеству A.
То
есть,
разность
между
универсальным множеством U
и множеством
A
называется
дополнением
множества
A
в U.
Свойства операции дополнения множеств
1
.Объединение любого множества с его
дополнением
равно универсальному множеству.A
∪
A ¯ = U {\displaystyle A\cup {\overline {A}}=U}
2. Пересечение любого множества с его дополнением равно пустому множеству.
=Ø
3. Дополнение универсального множества равно пустому множеству.
4. Дополнение пустого множества равно пустому множеству.
5.
ВОПРОС №4 Упорядоченные пары. Декартово произведение двух и более множеств, его свойства.
Упорядоченной парой называется объект вида (a, b), который состоит из 2 не обязательно разных элементов и в котором определено какой из этих элементов первый, а какой второй.
Декартовым произведением множеств А и В
Как видно, АхВ ≠ ВхА, таким образом, декартово произведение не коммуникативно. (переместительный закон)
(AхB)хC≠Aх(BхC), таким образом, декартово произведение не ассоциативно. (сочетательный закон) Свойства:
1. Не обладает коммуникативностью и ассоциативностью.
2. Дистрибутивность относительно объединения и вычитания множеств.
3.
A
∅=∅
∅
A=∅.
По аналогии можно определить декартово произведение более чем двух множеств
ВОПРОС №5 Соответствие между множествами. Область определения и множество значений соответствия. Способы задания соответствий. Граф и график соответствия.
Соответствием
между множествами X
и Y называется
всякое подмножество
декартова произведения этих множеств.
Соответствия принято обозначать буквами
P,
S, T, R
и др. Если xSy
– соответствие между элементами множеств
X и Y,
то, соглаcно определению,
S
X
Y.
Область определения и множество значений соответствия.
Область определения F(A, B) - множество А
Множество значений - множество B
Способы задания соответствий
1) Перечислением -перечислив все пары элементов, находящихся в данном соответствии.
2) Указав, характеристическое свойство элементов этого подмножества.
Например,
соответствие между множествами X={1,
2, 4, 6} и Y={3, 5} можно задать,
указав, что: a<b при
условии, что a
X,
b
Y.
{(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)} – искомое
соответствие.
3) Таблицей. Когда множества X и Y конечные, то соответствие между элементами можно задать таблицей, где в левом столбце записывают элементы множества Х, а в верхней строке — элементы множества Y. Пары элементов, находящихся в соответствии G, будут находиться на пересечении соответствующих столбцов и строк.
4) Графом. Множества X и Y показывают овалами, элементы множеств X и Y обозначают точками, а стрелками соединяют соответствующие элементы так, что если имеет место (х, у) Î G, то стрелку проводят из точки х в точку у.
5) Графиком. График соответствия представляет собой изображение множества X Y в виде точек на координатной плоскости. Представление соответствия в виде графика позволяет изображать его в тех ситуациях, когда в заданном соответствии находится бесконечное множество пар чисел
ВОПРОС №6 Виды соответствий. Привести примеры.
Виды соответствий Одно-однозначные - характеризуются тем, что все пары соответствия имеют различные первые и различные вторые компоненты. (a1,b1);(a2,b2); график функции y=kx Одно-многозначные - характеризуются тем, что имеют пары с одинаковыми первыми, но различными вторыми компонентами. (a1,b1);(a1,b2);(a2,b3) график функции x=5 Много-однозначные - характеризуются тем, что имеют пары с различными первыми компонентами, но с одинаковыми вторыми. (a1,b1);(a2,b1);(a3,b1) график функции y=5 Много-многозначные - характеризуются тем, что имеют пары с одинаковыми первыми компонентами, но различными вторыми, а также наоборот.
Множества Х и Y называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.
Соответствие f называют функциональным, если оно является одно-однозначным или много-однозначным
Обратные соответствия Определение. Пусть S - соответствие между множествами Х и У, при котором каждому xn из X соответствует yn из Y. Соответствие S-1; между множествами Y и X называется обратным данному, если каждому yn из Y соотсветствует xn из Х
.
!!!!! Обязательно к каждому виду соответствия рисовать граф (см. тетрадь Плетнёва)
ВОПРОС №6 Функциональное соответствие (функция), способы задания. Область определения и множество значений функции.
Все определения и примеры см. Е.П. Нелин (зеленая книжка) СТР.32 (таб. 24)
Функциональное соответствие - соответствие f между элементами множеств X и Y называется функциональным или функцией, если каждому элементу множества X соответствует не более одного элемента множества Y. (Много-Однозначное или Одно-однозначное).
Способы задания (как и любого соответствия)
1. Табличный способ. Заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является конечным множеством.
2. Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. ( В системе координат Oxy)
3.Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул.
4.Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами. Описывается характеристическое свойство.
5) Графом. (Когда область определения функции является конечным множеством).
Областью
определения или
областью задания функции
y=f(x)
называется
такое множество значений
х,
для
которых существуют значения
y=f(x)
.
*Область определения функции - все значения аргумента
Множеством значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения X
*Множество значений функции - все значения, которые принимает функция. Область значений функции обозначают как E(f)
ВОПРОС №8 Обратная функция. Критерий обратимости функции. Сложная функция.
Разбор темы и примеры см. Е.П. Нелин (зеленая книжка) СТР.38, 39 таб. 30
Обратная функция.
Определение. Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.
Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.
Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо:
1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y: x=f(y).
2) Из полученного равенства выразить y через x: y=g(x).
Пример. Найти функцию, обратную функции y=2x-6.
1) x=2y-6
2) -2y=-x-6, получаем : y=0,5x+3.
Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).
Критерий обратимости функции.
Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы на данном числовом промежутке f(x) была строго монотонна. (т.е. когда она является одно-однозначным соответствием.)
Доказательство
Сложная функция. Сложная функция – функция от функции. Если g – функция от у, т.е. g(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = g(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.
Пример:
f(x)
= 
;
y=2x
, то f(x)
= 
- сложная функция.
ВОПРОС №9 Числовые функции, их свойства (монотонность, ограниченность, чётность, периодичность).
Разбор темы и примеры см. Е.П. Нелин (зеленая книжка) СТР.34, 35 таб. 27
Числовые функции
Определение. В математике числовая функция -это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств
Для области определения функции используют обозначение D (f). Х – независимая переменная или аргумент.
Множество всех значений функции у = f (x) называют областью значений функции и обозначают E (f). У – зависимая переменная.
Свойства функции
Монотонность
