§16. Математические модели динамических систем в форме переменных состояния.

В отличие от статических (без инерционных) систем, динамических (инерционных) систем реакция в данный момент времени зависит не только от значения входа в момент , но и от начального условия, т.е. “начального состояния”, определимого всей предысторией входного воздействия на интервале .

Пусть динамическая система имеет входных переменных и выходных, а также “внутренних” переменных.

Определение 16.1. Переменные , переменные состояния, если задав их значения , в момент и закон изменения входных переменных на интервале можно однозначно определить значения ; для всех в момент .

Переменные характеризуют начальное состояние системы.

Определим вектора:

вектор переменных состояния, вектор состояния.

вектор входных переменных.

вектор выходных переменных.

Определение 16.2. Множество всех значений , называется пространством состояний или фазовым пространством . .

Определение 16.3. Пара событие, а множество всех таких пар . называется пространством событий.

Определение 16.4. Уравнение вида:

называются уравнениями в форме переменных состояния. Причем дифференциальные уравнения (16.1) называются уравнениями состояния, а алгебраические уравнения (16.2) – уравнения выхода.

где вектор функции:

Изобразим Детализированную Структурную Схему.

Определение 16.5. Если в уравнениях (16.3) и (16.4) правая часть не зависит от , то система называется стационарной.

Определение 16.6. Если в уравнениях (16.3) и (16.4) , то система называется свободной.

Определение 16.7. Свободная стационарная система называется автономной.

Если и линейны, то уравнения принимают вид:

Для стационарной системы матрицы постоянны.

матрица системы.

матрица входа.

матрица выхода.

матрица обхода.

Запись уравнений переменных состояния по дсс.

Если не требуется получения специальных (канонических) форм, то проще всего это сделать по методике:

1. Выбрать в качестве переменных состояния, выходные переменные всех интегрирующих звеньев.

2. По схеме записать уравнения состояния:

, .

Для этого звено

удобно рассматривать как

тогда , где должна быть выражена через и .

3. По схеме записать уравнения выхода:

4. По уравнениям записать матрицы и уравнения вида: , .

Замечание: Если схема не является ДСС то удобно воспользоваться УКФ (смотри далее).

§17. Линеаризация уравнений динамических систем.

Линеаризация – замена не линейной математической модели приближенной линейной моделью, которая при определенных условиях эквивалентна исходной модели.

1. Линеаризация функции одной переменной (линеаризация не линейной статической характеристики).

Пусть звено описывается уравнением (17.1)

Где вход; выход.

Пусть в установившемся режиме .

В переходном процессе и отличаются от и , т.е. возникают отклонения (17.2)

точка линеаризации.

Задача линеаризации уравнения (17.1) в малой окрестности состоит в приближенной замене (17.1) линейным уравнением записанным для отклонений и .

(17.3)

Чтобы найти коэффициент линеаризации разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки , считая, что имеет в этой точке необходимое число производных.

(17.4)

где, например,

Считая отклонения малыми, удержим в (17.4) только члены содержащие в степени не больше первой.

(17.5)

Вычтем из уравнения (17.5) уравнение статики

(17.6)

Тогда с учётом (17.2) получаем

(17.7)

Из сравнения (17.7) и (17.3) находим

(17.8)

Геометрически коэффициент линеаризации есть угла наклона касательной к графику функции в точке линеаризации.

Особенности уравнения (17.7) или (17.3).

1. В отличие от уравнения (17.7) оно записано не для самих переменных, а для их отклонений.

2. Относительно отклонений оно линейно.

3. оно является приближенным, т.к. были отброшены члены высших порядков малости в разложенном ряде Тейлора.

Замечания:

1. Метод справедлив только при малости отклонений.

2. Не могут быть линеаризованы функции имеющие разрывы.

3. Обычно не линеаризуются гладкие функции (имеющие разрывы производных).

2. Линеаризация функции нескольких переменных.

Пусть функция

(17.9)

дифференцируема в окрестности по каждому аргументу.

Разложим в ряд Тейлора и отбросим члены высших порядков малости.

(17.10)

где

Вычитая уравнение статики

(17.11)

получаем с учетом обозначений

, ;

(17.12)

где коэффициент линеаризации .

Уравнениям (17.9) и (17.12) соответствуют схемы:

3. Линеаризация уравнений в переменных состояния.

(17.13)

(17.14)

Разложим и в ряд Тейлора в окрестности точки и отбросим

(17.15)

(17.16)

Вычтем из уравнения (17.15) и (17.16) уравнения статики

с учетом обозначений

; ; ; , получаем

В векторной форме