Практические способы линеаризации.

1. Описанная выше процедура с разложением в ряд Тейлора, на примере функции .

• Представляем все переменные как

;

• Выполняем все действия предусмотренные в .

• Вычитаем уравнение статики.

3. Самый короткий.

1. Записываем полный дифференциал.

2. Заменяем

Пример 17.1.

.

§18. Передаточная матрица динамической системы.

(18.1)

(18.2)

Поскольку вход и выход векторы, то вместо понятия передаточной функции необходимо рассматривать более общее понятие передаточной матрицы (ПМ).

Преобразуем (18.1) и (18.2) по Лапласу при ННУ.

(18.3)

(18.4)

Определение 18.1. Матрица размера удовлетворяющая уравнению (18.5)

называется передаточной матрицей или просто передаточной матрицей (ПМ).

Определение 18.2. Матрица размера удовлетворяющая уравнению (18.6)

называется матрицей подсостояния.

Сравнивая (18.5) и (18.4), а также (18.6) и (18.3) находим:

(18.7)

(18.8)

Запишем компоненту согласно (18.5)

строка .

Вывод: Элемент стоящий в строке и столбце передаточной матрицы есть обычная передаточная функция от входа к выходу.

Для системы с одним входом и одним выходом передаточная матрица вырождается в передаточную функцию.

§19. Управляемая каноническая форма.

При различном выборе переменных состояния получаются различные уравнения в форме переменных состояния.

Пусть и векторы состояния в двух различных базисах одного и того же линейного пространства. При этом они связаны не особенным преобразованием.

(19.1)

неособенная матрица.

Найдем связь между матрицами для обоих описаний. Подставим из (19.1) в (19.2).

(19.6)

(19.7)

Сравнивая (19.6) и (19.7) с (19.4) и(19.5) получаем:

(19.8)

Отсюда:

(19.9)

Преобразования вида преобразования подобных. С его помощью получать различные специальные (канонические) формы матриц и уравнений.

Например:

Если , где , а собственный вектор матрицы соответствующий собственному значению (здесь говорим о случае, когда все попарно различные, т.е. простые), то .

Рассмотрим УКФ, она характеризуется следующим видом матрицы системы:

(19.10)

где коэффициенты приведенного характеристического полинома.

(19.11)

Рассмотрим получение УКФ по ПФ системы с одним входом и одним выходом.

(19.12)

1. , т.е.

Для получения УКФ в качестве переменных состояния выбирают выходную переменную и все ее производные до включительно.

(19.13)

Таким образом (19.14)

Поэтому из (19.13) сразу получаются все уравнения состояния кроме последнего (смотри (19.14)), а также уравнение выхода (19.15)

Последнее уравнение состояния получаем из передаточной функции переходом во временную область.

(19.16)

На основании (19.14. … 19.16) получаем

где матрица имеет форму (19.10), а матрицы и таковы:

(19.17)

Уравнениям УКФ соответствует структурная схема.

2. Передаточная функция (19.12).

В этом случае выбирать в качестве переменных состояния нельзя, поскольку в последнем уравнении состояния появится производная от входного воздействия благодаря числителю ПФ.

Поэтому для получения УКФ поступают следующим образом: Поступают, что по аналогии с (19.14) первые уравнения имеют вид:

(19.18)

Кроме того (19.19)

В этом случае последнее уравнение состояния примет вид:

(19.20)

Тогда матрица имеет прежний вид (19.10), а и таковы:

(19.21)

Анализ и синтез САУ.