Экспоненциальный закон распределения
Осуществим генерацию псевдослучайной последовательности, соответствующей показательному закону распределения. Одним из способов выполнения данной операции является вызов функции exprnd().
Нижеприведенные инструкции позволят смоделировать требуемую выборку и вывести её график на экран:
% ввод параметров
lambda=3.8;
N=300; % объём массива
exp_f3=exprnd(lambda, N, 1); %моделирование СВ экспоненциальный ЗР
figure(1);
plot(exp_f3);
title('Моделирование СВ средствами MATLAB (эксп. ЗР)');
xlabel('Номер элемента в выборке');
ylabel('Значения СВ');
Распределение значений выборки наглядно отображено на рисунке 17.
|
Рисунок 17 - График распределения СВ, сформированной с помощью exprnd() |
В качестве второго метода моделирования массива случайной величины воспользуемся специальными математическими формулами. Программные выкладки, подходящие для среды MATLAB, имеют следующий вид:
% ввод параметров
lambda=3.8;
N=300; % объём массива
a1=rand(1,N); % сгенерировать a1 размерностью N
exp_f4=-(1/lambda)*log(a1);
figure(2);
plot(exp_f4);
title('Моделирование СВ по алгоритму (эксп. ЗР)');
xlabel('Номер элемента в выборке');
ylabel('Значения СВ');
График выборки случайной величины, заданной аналитическими выражениями, показан на рисунке 18.
|
Рисунок 18 - График распределения СВ, сформированной алгоритмически (экспонен. ЗР) |
Для полноценного исследования сгенерированной последовательности построим её функцию плотности вероятности и сопутствующую гистограмму. Реализуем данную задачу следующим образом:
N=300; % объём массива
[kol_Y3 Y3]=hist(exp_f4,50);
p3=kol_Y3/N;
figure(3);
plot(Y3,p3); % построение графика функции
title('График функции экспонен. ЗР СВ при N=300');
xlabel('Значения СВ');
ylabel('Вероятность');
figure(4);
histfit(exp_f4,50,'kernel'); % построение гистограммы
title('Гистограмма экспонен. ЗР СВ при N=300');
На рисунках 19-20 отображены образованные кривая и гистограмма функции показательного закона распределения.
|
|
Рисунок 19 - График функции экспоненциального закона распределения смоделированной выборки |
Рисунок 20 - Гистограмма функции экспоненциального закона распределения смоделированной выборки |
Найдём значения таких параметров массива случайной величины, как: математическое ожидание, дисперсия, коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса. В приложении MATLAB для определения каждой из перечисленных величин разработана специальная функция. Применим их, как представлено далее:
exp_mx1 = mean (exp_f4); % математическое ожидание средствами MATLAB
exp_d1 = (std(exp_f4))^2; % дисперсия средствами MATLAB
exp_as1 = skewness(exp_f4); % коэффициент асимметрии средствами MATLAB
exp_ex1 = kurtosis(exp_f4); % коэффициент эксцесса средствами MATLAB
Проверим найденные программно характеристики путём повторного вычисления по математическим формулам.
Запишем в Script-файл следующие инструкции:
N=300; % объём массива
exp_mx2=sum(exp_f4)/N; % математическое ожидание по алгоритму
exp_d2=sum((exp_f4-exp_mx2).^2)/N; % дисперсия по алгоритму
exp_as2=sum((exp_f4- exp_mx2).^3)/(N* (sqrt(disp_alg_exp))^3); % коэффициент асимметрии по алгоритму
exp_ex2=(sum((exp_f4- exp_mx2).^4)/(N* (sqrt(exp_d2))^4))-3; % коэффициент эксцесса по алгоритму
Сравнить вычисленные показатели можно в таблице 3.
Таблица 3 - Параметры выборки СВ, распределенной по экспоненциальному закону (N=300) |
||
Характеристика |
Вычисления средствами MATLAB |
Вычисления по алгоритму |
Математическое ожидание |
0.2481 |
0.3172 |
Дисперсия |
0.0584 |
0.0603 |
Коэффициент асимметрии |
1.8983 |
1.7426 |
Коэффициент эксцесса |
8.3456 |
8.1503 |