Моделирование случайной величины
Нормальный закон распределения
Осуществим генерацию псевдослучайной последовательности, соответствующей нормальному закону распределения. Одним из способов выполнения данной операции является вызов функции normrnd().
Нижеприведенные инструкции позволят смоделировать требуемую выборку и вывести её график на экран:
% ввод параметров
Mx=19;
sigma=4.359;
N=300; % объём массива
norm_f3=normrnd(Mx, sigma, N, 1); % моделирование СВ нормальный ЗР
figure(1);
plot(norm_f3);
title('Моделирование СВ средствами MATLAB (норм. ЗР)');
xlabel('Номер элемента в выборке');
ylabel('Значения СВ');
Распределение значений выборки наглядно отображено на рисунке 9.
|
Рисунок 9 – График распределения СВ, сформированной с помощью normrnd() |
В качестве второго метода моделирования массива случайной величины воспользуемся специальными математическими формулами. Программные выкладки, подходящие для среды MATLAB, имеют следующий вид:
% ввод параметров
Mx=19;
sigma=4.359;
N=300; % объём массива
a1=rand(1,N); % сгенерировать a1 размерностью N
a2=rand(1,N); % сгенерировать a2 размерностью N
c=2*pi;
r=sqrt(-2*log(a1));
f=a2*c;
X1=r.*sin(f);
norm_f4=Mx+sigma*X1;
figure(2);
plot(norm_f4);
title('Моделирование СВ по алгоритму (норм. ЗР)');
xlabel('Номер элемента в выборке');
ylabel('Значения СВ');
График выборки случайной величины, заданной аналитическими выражениями, показан на рисунке 10.
|
Рисунок 10 – График распределения СВ, сформированной алгоритмически (норм. ЗР) |
Для полноценного исследования сгенерированной последовательности построим её функцию плотности вероятности и сопутствующую гистограмму. Реализуем данную задачу следующим образом:
N=300; % объём массива
[kol_Y Y]=hist(norm_f4,50);
p=kol_Y/N;
figure(3);
plot(Y,p); % построение графика функции
title('График функции норм. ЗР СВ при N=300');
xlabel('Значения СВ');
ylabel('Вероятность');
figure(4);
histfit(norm_f4,50,'kernel'); % построение гистограммы
title('Гистограмма норм. ЗР СВ при N=300');
На рисунках 11-12 отображены образованные кривая и гистограмма функции нормального закона распределения.
|
|
Рисунок 11 – График функции нормального закона распределения смоделированной выборки |
Рисунок 12 - Гистограмма функции нормального закона распределения смоделированной выборки |
Найдём значения таких параметров массива случайной величины, как: математическое ожидание, дисперсия, коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса. В приложении MATLAB для определения каждой из перечисленных величин разработана специальная функция. Применим их, как представлено далее:
norm_mx1 = mean (norm_f4); % математическое ожидание средствами MATLAB
norm_d1 = (std(norm_f4))^2; % дисперсия средствами MATLAB
norm_as1 = skewness(norm_f4); % коэффициент асимметрии средствами MATLAB
norm_ex1 = kurtosis(norm_f4); % коэффициент эксцесса средствами MATLAB
Проверим найденные программно характеристики путём повторного вычисления по математическим формулам.
Запишем в Script-файл следующие инструкции:
N=300; % объём массива
norm_mx2=sum(norm_f4)/N; % математическое ожидание по алгоритму
norm_d2=sum((norm_f4-norm_mx2).^2)/N; % дисперсия по алгоритму
norm_as2=sum((norm_f4-norm_mx2).^3)/(N* (sqrt(norm_d2))^3); % коэффициент асимметрии по алгоритму
norm_ex2=(sum((norm_f4-norm_mx2).^4)/ (N*(sqrt(norm_d2))^4))-3; % коэффициент эксцесса по алгоритму
Сравнить вычисленные показатели можно в таблице 1.
Таблица 1 – Параметры выборки СВ, распределенной по нормальному закону (N=300) |
||
Характеристика |
Вычисления средствами MATLAB |
Вычисления по алгоритму |
Математическое ожидание |
19.1061 |
18.854 |
Дисперсия |
18.1047 |
18.211 |
Коэффициент асимметрии |
0.4128 |
0.4322 |
Коэффициент эксцесса |
3.6456 |
3.66 |