Равномерный закон распределения
Осуществим генерацию псевдослучайной последовательности, соответствующей раномерному закону распределения. Одним из способов выполнения данной операции является вызов функции unifrnd().
Нижеприведенные инструкции позволят смоделировать требуемую выборку и вывести её график на экран:
% ввод параметров
a=19;
b=38;
N=300; % объём массива
unif_f3=unifrnd(a, b, N, 1); % моделирование СВ равномерный ЗР
figure(1);
plot(unif_f3);
title('Моделирование СВ средствами MATLAB (равномер. ЗР)');
xlabel('Номер элемента в выборке');
ylabel('Значения СВ');
Распределение значений выборки наглядно отображено на рисунке 13.
|
Рисунок 13 - График распределения СВ, сформированной с помощью unifrnd() |
В качестве второго метода моделирования массива случайной величины воспользуемся специальными математическими формулами. Программные выкладки, подходящие для среды MATLAB, имеют следующий вид:
% ввод параметров
a=19;
b=38;
N=300; % объём массива
a1=rand(1,N); % сгенерировать a1 размерностью N
unif_f4=a+(b-a)*a1;
figure(2);
plot(unif_f4);
title('Моделирование СВ по алгоритму (равномер. ЗР)');
xlabel('Номер элемента в выборке');
ylabel('Значения СВ');
График выборки случайной величины, заданной аналитическими выражениями, показан на рисунке 14.
|
Рисунок 14 - График распределения СВ, сформированной алгоритмически (равномер. ЗР) |
Для полноценного исследования сгенерированной последовательности построим её функцию плотности вероятности и сопутствующую гистограмму. Реализуем данную задачу следующим образом:
N=300; % объём массива
[kol_Y2 Y2]=hist(unif_f4,50);
p2=kol_Y2/N;
figure(3);
plot(Y2,p2); % построение графика функции
title('График функции равномер. ЗР СВ при N=300');
xlabel('Значения СВ');
ylabel('Вероятность');
figure(4);
histfit(unif_f4,50,'kernel'); % построение гистограммы
title('Гистограмма равномер. ЗР СВ при N=300');
На рисунках 15-16 отображены образованные кривая и гистограмма функции равномерного закона распределения.
|
|
Рисунок 15 - График функции равномерного закона распределения смоделированной выборки |
Рисунок 16 - Гистограмма функции равномерного закона распределения смоделированной выборки |
Найдём значения таких параметров массива случайной величины, как: математическое ожидание, дисперсия, коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса. В приложении MATLAB для определения каждой из перечисленных величин разработана специальная функция. Применим их, как представлено далее:
unif_mx1 = mean (unif_f4); % математическое ожидание средствами MATLAB
unif_d1= (std(unif_f4))^2; % дисперсия средствами MATLAB
unif_as1= skewness(unif_f4); % коэффициент асимметрии средствами MATLAB
unif_ex1= kurtosis(unif_f4); % коэффициент эксцесса средствами MATLAB
Проверим найденные программно характеристики путём повторного вычисления по математическим формулам.
Запишем в Script-файл следующие инструкции:
N=300; % объём массива
unif_mx2=sum(unif_f4)/N; % математическое ожидание по алгоритму
unif_d2=sum((unif_f4-unif_mx2).^2)/N; % дисперсия по алгоритму
unif_as2=sum((unif_f4-unif_mx2).^3)/(N* (sqrt(unif_d2))^3); % коэффициент асимметрии по алгоритму
unif_ex2=(sum((unif_f4-unif_mx2).^4)/ (N*(sqrt(unif_d2))^4))-3; % коэффициент эксцесса по алгоритму
Сравнить вычисленные показатели можно в таблице 2.
Таблица 2 - Параметры выборки СВ, распределенной по равномерному закону (N=300) |
||
Характеристика |
Вычисления средствами MATLAB |
Вычисления по алгоритму |
Математическое ожидание |
28.7163 |
28.4315 |
Дисперсия |
29.0925 |
29.0733 |
Коэффициент асимметрии |
0.0273 |
0.03 |
Коэффициент эксцесса |
1.853 |
1.8244 |