Элементы теории графов
.pdfФедеральное агентство по образованию |
|
Ярославский государс венный университет им. П. . Демидова |
|
Êà åäðà òеоретической ин орматики |
|
В. С. ублев |
|
Элементы теории гра ов. |
|
Изомор изм, планарность, |
|
маршруты в гра ах |
|
(ин и и у льны оты • 6 и 7 по исциплин |
|
¾Îñíî û èñêð òíîé ì ò ì òèêè¿) |
|
Ì òî è÷ ñêè óê íèÿ |
|
мендовано |
à |
Научно-методическим советом |
для студентов, обучающихуниверситетя по специальности Ин ормационные технологии Ярославль 2010
|
82 |
|
|
|
|
|
екомендовано |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
едакционно-издательским советом университета |
|
|
|||||||||||
|
|
|
в качестве учебного издания. План 2009/10 года |
|
|
|||||||||||
|
ка едра теоретической |
|
|
ецензент |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Ярославского государственного |
|||||||||||
|
|
|
|
|
университетин орматикиим. П. . Демидова |
|
|
|||||||||
|
ублев, В. С. Элементы |
|
гра ов. Изомор изм, |
|||||||||||||
82 |
планарность, марш уты в гра ах: метод. указания |
|
|
|||||||||||||
/ В. С. ублев; Яросл. |
|
. унтеорииим. П. . Демидова. Яро- |
||||||||||||||
|
славль: Яр У, 2010. 84гос. |
|
|
|
|
|
ты индивидуаль |
|||||||||
|
Методические ук зания содержат |
|
|
|
||||||||||||
|
íûõ |
|
ïî |
|
|
Изомор измварипл |
|
арность гра ов , |
||||||||
|
Маршруты в гра ах |
|
|
плины Основы дискретн |
ìà |
|||||||||||
|
|
|
заданий такжтемамнеобхдисц |
ìûé |
|
|
|
|
ÿ åå |
|
ÿ |
|||||
|
òåльного |
|
|
âûï |
лнения инд видуальных заданий. |
|||||||||||
|
Дляматикичеств, |
íîãî óсвоения курсаматериалв здании данысамостоподр б |
||||||||||||||
|
ые определизученияпримеры,ия, |
иллюстрации |
|
|
. |
|
||||||||||
|
Предназначены для студентов, |
обучающихобоснованияпо специаль- |
||||||||||||||
|
|
ти 010400.62 Ин ормационные технологии (дисциплина |
||||||||||||||
|
Îñновы дискретной математики , блок ЕН), очной ормы |
|||||||||||||||
|
обучения. |
|
|
|
|
|
|
|
Ó |
|
|
519.2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÁÁÄÊ Â174ÿ73 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ярославский |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
государственный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
университет |
|
|
им. П. . Демидова, 2010
мноднозначноеÔóжеств. В общемсоотв |
случае,твиеоответствкогданаиболеесоответствиепростыечастныйнебинарныеслучайяв етсяотношениявзаимноункцио |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
кциональноеэлемент может иметь много |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
íàãëÿäíîå åãî |
ðåä |
||||||||||||||||||||||||||||||
став ение гра . Представление отношенийобразов,виде |
|
|
|
|
|
èñïîëü |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нальнымзова еще Леонард Эйлер, но как наук |
|
теория гра ов возникла в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
30годы прошлого века с вых дом |
моногра ии Кениггра Теорияов |
ã à |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
êíèã |
Êëî |
Áåðæ |
Теориякнигой, |
|
|
|
|
|
ее приложения |
ïåð âîäå |
ïðî |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ессора А.А. Зык |
|
|
(п триарха ов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
íà |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ов . В оссии первой |
|
|
|
|
|
|
|
посвященной этой теории, является |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ÑÑÑ ), |
изданнаяованач |
|
|
|
|
1960-õ ãîä |
|
. Îíà |
|
|
|
|
|
|
|
чтения, äî- |
|||||||||||||||||||||||||||||
статочное количество эк емпляров эт й книгипространствим етсдля библиотекбывшего |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ßð Ó. Ñ òåõ ïîð áûëî |
издано |
оч нь много у ебников и моногра ий |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Конечный гра (в последующемгра истовмин |
|
конечный |
всегда бу |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
теории гра ов как зарубежных, |
|
àê |
|
отечестве ных авторов. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
из которых н |
|
ÿ) G |
определяетсмножеством вершин |
гра а (каждый элемеет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ïî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
êàê ïàðà |
|
|
|
онечных мно |
|
åñòâ, îä î |
|||||||||||||||||||
вершинадразумеватьсгр зываетса), другое |
|
|
|
|
|
|
|
|
ÿ êàê |
множество |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
(первого множ |
|
|
|
|
называетсопределяетсмножеством ребер (к ждый эле |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мент ребро, |
соединяющее |
|
2 вершины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Таким обрпарзом,вершинîáî- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
значении G(X; |
ества)U X множество вершин,гра Uа) множество ребер (пар |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вершин). Например, |
|
; x |
|
; x |
|
g; ffx |
; x |
g; fx |
; x |
g; fx |
; x |
gg) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
G(fx |
; x |
3 |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
; x |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
гра , содержащий 4 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
; x |
; x |
4 |
|
и 3 ребра. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
åî |
|
|
етрически |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ребра |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãðà à |
|
|
зображаются точками, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
линияìè, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ýòè ðøèíû- |
|
|
|
|
|
|
|
. Ïðè ýòîì |
неважно, где |
|||||||||||||||||||||||||
располагаютссоединяющимивершинывершиныïер секаютсяточкиил не пересекаются ребра. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Íà ðèñ. 1 ïðиведены 3 изображения вышеприведенногî ãðà à G. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
1 |
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
|
x |
3 |
|
|
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
e 1 |
|
e |
|
|
e 4 |
|
||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èñ. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вых элементов (вершин), то кажд я такая |
|
|
|
|
|
изображ |
я линией, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ëåéидущей, а соответствующийиз ршины ту ãðàæå |
самуюгравершину,ом с петлямипарапотому. Примеромназываетсслужитя пет- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следующий гра G(fx |
; x |
; x |
|
|
g; ffx |
|
; x |
g; fx |
; x |
|
gg); |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
содержащий 3 вершины и 2 рåáðà, одно из которых петля (см. рис. 2). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èñ. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Если в определении множества U ребер допуст ть повторяющиеся |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
элементы |
|
|
то получим мультигра . Напрèìåð, ãðà |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(ребра),G fy ; y |
; y |
g; ffy |
1 |
; y |
g; fy |
|
|
; y |
g; f |
|
3 |
; y |
g; fy |
; y |
gg) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
содержит 3 ребра, соединяюùèõ âершины y |
|
è y |
3 |
(ñì. ðèñ. 3). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èñ. 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Чаще всего мы будем рассматривать гра ы без петель |
повторя- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а элеменòû |
множества U называютсявляютсдугами. Наприядоченнымиер, оргра |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ющих я ребер, которые называют обыкновенными гра ами. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Åñëè |
ýëå åíòû ìíîæ òâà U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÿ óïîð |
|
|
|
èëè |
|
парамиа о , |
|||||||||||||||||||||||||||||||
вершин, |
|
о гра называетñя ориентированным гра о |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
G(fy |
; y |
|
; y |
|
g; f(y |
|
; y |
|
); (y |
; y |
); (y |
|
|
; y |
)g) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||
содержит 3 вершины |
|
|
3 дуги, 2 из которых соединяют вершины y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
2 |
è èäóò |
|
разных |
направлениях. В наглядном изображении |
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
à ýòî |
|
а, указывàþùàÿ íàïðавление от вершиныорграначала |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
äóãи к вершинестрелконца дуги (см. рис. 4). |
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
- e |
|
|
|
|
- e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
èñ. 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шина x являетс |
концом ребра u, то гов рят что x |
|
|
u инциде тны |
|||||||||||||||
Вершины(вер ина x èнцидентнаy |
ребруÿ êàêu, а реброìåæ ûåu , сли существуетвершинереброx). |
||||||||||||||||||
fx; yg, связывающее эти вершины (инц дентноинцидентноэтим верши ам). Два |
|||||||||||||||||||
|
u |
v являютсопределяютсмежными, |
åñëè îíè |
инцидентны од ой той |
|||||||||||||||
Степень вершины x определяется как число d(x) ребер, |
инцидент- |
||||||||||||||||||
ребраж вершèíå. |
|
|
|
|
число вершин гра а G(X; U), а |
||||||||||||||
ных x. Обозначим n(G) jXj |
|||||||||||||||||||
m(G) jUj ч ло ребер этого гра а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Занумеруем |
ñе ершины гра а X = fx ; x ; : : : ; x g. Число ребер |
||||||||||||||||||
и степени вершин связаны следóющим соотношением |
n |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
X |
d(xi); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
m = 2 |
i=1 |
|
åñëè ìû |
|
|
åì |
|||||||
которое обосновывается следующим |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
раз, когда мы |
|
|
ребро |
степеобразом:дной из вершин,просуммирукот рой |
|||||||||||||||
степени всех вершин, |
мы пересчитаем дважды каждое ребро (один |
||||||||||||||||||
другой вершины, которой оно |
|
|
|
|
î). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В оргра е дугучитываемимеет начало (вершина, |
из которой она выхстепениодит) |
||||||||||||||||||
áûòü äóãè, |
выходящие из |
|
инцидент |
|
|
|
ÿùèå |
|
вершину. По- |
||||||||||
оно инцидент о, |
âòî |
|
раз, когда мы учитываем ребро |
|
|
||||||||||||||
конец (вершина, |
которую она вхо |
|
ò). Â |
|
|
|
|
|
с этим могут |
||||||||||
|
|
|
èñ |
( |
|
) ê |
|
|
|
|
|
соответствииисх дящих из вершины, и |
|||||||
полустепень захода d+(x) как |
|
|
дуги,вх дящихвершинывершину.еделяют |
||||||||||||||||
этому вместо степени вершинывершины,оргра е для |
|
|
|
îï |
|
||||||||||||||
èëè |
ж просуммировать все получислоуммироватьтепени зах да. Из этого следует со- |
||||||||||||||||||
ñ÷ |
ать все дуги можно, если про |
|
|
|
|
|
все полустепени исхПода |
||||||||||||
отношåíèå: |
|
m = |
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Xd (xi) = Xd+(xi): |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
изолированной. |
|||||
Еще несколько определений: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Âåðø |
|
гра а, имеющая степень 0,1 называется |
висячей. |
|
|||||||||||||||
ðà |
называется полным, если любые 2 его вершины соединены |
||||||||||||||||||
ребром, |
и пустым, если все его вершины изолированы (множество ре- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис. 5 приведено изображениеx2 e x3ãðàe à K45. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
ðà G(X; U) |
|
|
|
|
1 |
|
èñ. 5 |
|
|
|
ex5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ÿ двудольным если мно ество X его вер- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
øèí |
жет быть разбитоназываетс 2 так х непересекающих я подмножества |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
(X = X |
1 |
[ X |
; X |
1 |
\ X |
2 |
= ;) |
äîëè |
гра а, что смежными |
|
могут быть |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
; x |
g 2 U |
^ x |
|
2 X |
|
|
! x |
|
|
X |
. |
|||||||||||||
толькмоверш |
|
ны разных долей: fx |
i |
1 |
|
j |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
Íà ðèñ. 6 ïðèведен пример такого гра а с долями: X |
1 |
= fx |
; x ; x |
g, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
X2 = fx4; x5g. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ex4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
e èñ. 6 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Полный двудольный гра это |
|
|
дольный гра , у которого лю |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
бые 2 вершины, принадлежащие разным долям, смежны. Пол ый дву |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ä |
|
|
|
гра , имеющий n вершиндвупервой доле и m вершиí |
âî âòî- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ð |
льныйдоле (и потому n m ребер), обознач ется как K |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
если в гра , изображенный на рис. 6, добàвить ребро fx |
|
;Например,x g то мы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим |
полный двудольный |
|
|
K . |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3;2 |
|
|
|
|
|
|
|
n;m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-äîëü ûé ãðà . Îí îïðå- |
|||||||||||||||||||
|
Обобщением двудольного гра аявляется |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
деляется разбиением множества вершин на n подмíожеств-долей: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X = |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
[Xi; Xk \ Xj = ; (k =6 j); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а также смежностью только вершин, принадлежащих соседним до- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ëÿì: |
fx; yg 2 U; x 2 X |
i |
(1 < i < n) |
! y 2 X |
i+1 |
|
_ y 2 X |
i 1 |
: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
x4 |
|
76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
e |
|
5 |
|
ex8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èñ.e7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 Изомор изм гра ов и алгоритмические спосо- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
бы задания гра а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Ñò óêòó |
|
|
ãðà à |
|
изменится, если переименовать его вершины |
|||||||||||||||||||||
и ребра: х |
|
ðàктеристики гра а, такие как количество вершин, коли |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ребер, набор степеней |
|
|
|
|
количество элеме тарных цик |
|
||||||||||||||||||
честволов заданным |
числом вершин |
|
другие не зависят от |
|
|
|
|
- |
||||||||||||||||||||
вершин ребер. Поэтому гра вершин,отличающиеся тольк |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
åì |
|
вершин |
|
|
|
ребер, будем назûâàòü |
|
ìîð íûìè. Â òå ðèè ãðà û |
||||||||||||||||||||
|
учаются |
|
|
|
точностью до |
изомор изма. Дадим точноенаименованияпределение |
||||||||||||||||||||||
èçî |
|
îð èçìà |
ãðà îâ. |
|
(Y; V ) называются изомор ыми, если меж |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
ðà û G |
(X; U) G |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
взаимно- |
|||
ду множествами их |
вершин X и Y можно уста |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
однозначное соответствие ', сохраняющее смежность,овить. е. такое, |
||||||||||||||||||||||||||||
÷òî |
|
8x |
; x |
j |
2 X |
fx |
; x |
g 2 U $ f'(x |
); '(x |
)g 2 V: |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
j |
|
|
смежным в |
i |
j |
|
|
|
|
ñîîò- |
||||
Таким образом при |
|
|
|
|
|
|
ршинам гра а G |
1 |
||||||||||||||||||||
ветствуют смежные вершины гра а G |
, несмежным |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
вершинам из |
||||||||||||||||||||||||||||
G |
1 |
|
несмежные вершиныизомор измеG . |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Пусть дан гра G(X; U). В силу изомор изма мы можем считать, |
||||||||||||||||||||||||||
÷òî |
ество |
|
|
|
X = f1; 2; : : : ; ng. Таким образом, для зада |
|||||||||||||||||||||||
íèÿ |
множества вершин |
достаточно указать их число n. Множество |
||||||||||||||||||||||||||
ребер можно задать сп |
ском ребер как списком m пар номеров |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
. Ïðè ýòîì |
безразличн , |
какой из номеров в паре будет первым, |
øèíа какой вторым. Но в некоторых случаях удобно, когда номера вер- в паре (ребра) упорядочены и7 когда сами ребра упорядочены по
íû первомk íå áõèëèä ìîвторомподсчитаìåñòüå.количествоТрудоемкостьïàð,такогов которыхалгоритмаk находитсяO(m). |
||||||||||
Например, список f1; 2g; f1; 3g; f1; 4g; f2; 4g; f3; 4g |
|
|
|
|||||||
|
|
гра с 5 ребрами, где |
пень вершины 3 равна 2. Если |
|||||||
определяетж каждое ребро |
|
â ñïèñêå дважды |
дин раз, когда од |
|||||||
из вершин стоит на |
ðâîì ìå òå, à |
второй |
раз, к(огда другая |
|
íà |
|||||
на первом местопределить) этот писок упорядочить первой |
вершине, |
|||||||||
тогда для |
|
степени |
вершины необхподимо подсчит |
|
||||||
к личество пар,определенияэта вершина стоит на пе вом месте. Трудоемкосòü |
||||||||||
стоитакого алгоритма O(log m |
+ max d(i)). Для примера, |
написанного |
||||||||
выше, этот список выглядит следующим образом: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
f1; 2g; f1; 3g; f1; 4g; f2; 1g; f2; 4g; f3; 1g; f3; 4g; f4; 1g; f4; 2g; f4; 3g: |
||||||||||
Для оргра а порядок вершин в дуге риентирует ее и потому опре- |
||||||||||
деляет порядок в паре. Например, списîê äóã |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(1; 2); (1; 4); (2; 4); (3; 1); (4; 3) |
ориентацией |
||||||
определяет оргра с пятью дугами, которые |
|
|||||||||
В случае неориенти ованного гра а |
даполученыдобно задавать каж |
|||||||||
ребер предыдущего гра а. d+ = 2; d = 1. |
|
|
|
|
|
|||||
ое ребро |
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
. Например, это упрощаетиног ускоряет алгоритм опре |
|||||||||
äеления степени вершины. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Другойдваждыу бный способ задан я гра а G(X; U) матрица смеж- |
||||||||||
элемент a |
|
которой |
равен 1, если вершиныматрицуi j смежны (есть ребро |
|||||||
ности вершин. Она представляет собой |
|
A размерно |
è n n, |
|||||||
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fi; jg), или 0, если не смежны (нет такого ребра). |
|
|
|
|||||||
|
|
|
aij |
0; fi; jg 2= U: |
|
|
|
|
||
|
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
М трица смеж ости обыкновенного гра а без петель имеет нулевую |
||||||||||
главную диагональ |
и является симметрической: aij = aji. В качестве |
|||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
данного выше списком ребер: |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
73 |
|
|||||
|
|
|
62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
1 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
||
Изображение этого гра а приведено на рис. 8. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èñ. 8 |
|
|
|
|
||||
ра с петлями имеет на диагонали единицы. |
|||||||||||||||
Эле енты матрицы смежности оргра а определяются следующим |
|||||||||||||||
образоì: |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
1 |
|
|
|
j; i |
|
|
|
|
|
|
||
|
aij = : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0; (i; j) 2= U; (j; i) 2= U: |
||||||||||||
Матрица смежности оргра а является кососимметрической: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
ji |
= a |
ij |
: |
|
|
||||
В качестве примера приведем матрицу смежности оргра а, заданного |
|||||||||||||||
выше списком дуг: |
2 |
0 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
3 |
||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
7 |
||||||
|
|
4 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
5 |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
0 |
|
На рис. 9 приведено изображение этого гра а.
9
|
|
|
|
|
|
|
1 eI |
|
R- |
e4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èñ. 9 |
|
|
|
межности вершин обык |
|||||
В случае мультигра а элеме т матрицы |
|||||||||||||||||||
новенного гра а мож |
|
иметь значение k, если k дуг связывают вер |
|||||||||||||||||
Ещесоотведин способòñòвующиезаäàíèя гра а матрица инцидентности. Эле- |
|||||||||||||||||||
øèíû, |
|
|
|
|
|
|
индексам элемент |
матрицы. |
|
||||||||||
ìåíò b |
(i 2 1; n; j 2 1; m) матрицы инцидентности B определяется |
||||||||||||||||||
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
инцидентна ребру j; |
|
|||||||||||
|
|
bij = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0; вершина i |
не инцидентна ребру j: |
|
|||||||||||||
В каждом столбце матрицы инцидентности имеются ровно 2 един цы, |
|||||||||||||||||||
|
|
ве шинам, которые являются концами ребра. Ч сло |
|||||||||||||||||
соответствующиеединиц каждой ст оке |
|
|
|
|
|
степень соответствующей |
верши- |
||||||||||||
ны. В к честве примера |
п ив дем матрицу инцидентности для гра а, |
||||||||||||||||||
заданного |
выше спискомопределяетебер: |
|
|
0 3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
0 |
0 |
|
1 |
7 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
я подобным образом. |
||||||||
Матрица инцидентности оргра а |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
bij = : |
|
|
1 |
|
вершину i |
определяетсвх дуга j; |
|
||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
из вершины i исх дит дуга j; |
|
||||||||||||
|
|
< |
0; |
|
|
||||||||||||||
В каждом |
|
|
|
|
âершина i |
|
|
инцидентна дуге j: |
îâíî 1 |
||||||||||
столбце1 мину |
ìàòð |
û |
инциден |
ности |
оргра а имеются |
||||||||||||||
единица и |
|
|
|
èöà, |
соответствующие |
ршинам, кото ые яв |
|||||||||||||
дой строке определяет полустепеньонцамизах да соответствующей вершины, |
|||||||||||||||||||
ляются вых дящимединвх дящим к |
|
|
|
|
дуги. Число единиц |
êàæ- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|