Элементы теории графов

пользовать прием сопоставле ия по длине элементарных циклов этих

веденогра ов.нарарис.G12.изображенра G содерна ис. 10,элементарныеа изображениециклыгра а G2 при-

2

4

2 3

16, 1) è (5,

5);

цикла длины

4

6, 2)æèò(37, 8,4 8, 5, 3);

4

53:

(1, 2,

3,

5, 7, 1), (1, 2, 3, 4, 6, 1), (3, 4, 8, 7, 5, 3) è

(1, 6, 4, 8, 7, 1);

также циклы длины большей 5.

ðà G2

со ержит элементарные циклы

2);

2

4

4,

1) è (2,

цикла длины

1, 3 6, 1) è (25, 7,3 8, 5, 2);

4

53:

(4, 6, 86,

5, 7, 4), (1, 3, 8, 6, 4, 1), (2, 3, 8, 5, 7, 2) è

(1, 3, 2, 7, 4, 1);

à ò

е циклы длины большей 5.

Òàê

число

арных циклов с одной длин й, пох же, динак -

о, попробуем уст

овить изомор изм гра ов. Для этого определим

дляакжаждой

элементы длину элементарных циклов (до 5), в которые

входит эт вершина.

Äëÿ ãðà à

G

(вершина 1 входит в 1 цикл длины 3 и 3 цикла длины

1

3,

5,

, 1

;

5);2

3

4,

4

, 5;

6

5

5

;

7

8

.

Äëÿ ãðà à G2

1

4

, 5;

3

2

5

4

5

3, 4, 5, 5;

6

21

8 4, 4, 5, 5, 5.

âåð

Набор длин элем нтарных циклов (3, 4, 5, 5, 5) имеет тольк

øèíà 6 ãðà à G è

ршина 1 гра а G . Поэтому устанавливаем един-

ственно оз

æíîå1

соответствие ýòèõ

2вершин гра а: '={(6 1)}.

ìи для вершины 6

G

являются вершины (с

набором

циклов, в которые вх

äÿ

): 1 (3, 5, 5, 5), 2 (3, 4, 5, 5)

4 (4, 4, 5, 5, 5).

Смежными

для соответсòвующей вершины 1

G вершины: 3 (4, 4,

1

2

циклов имеют

5, 5, 5), 4 (3, 5, 5, 5) и 6 (3, 4, 5, 5). Одинаковые

пары вершин: 1 из G

4 из G , 2 из G и 6 изнаборыG ,

àêæå 4 èç G

и 3 из G . Добавляем эти пары

2

строящееся соответствие: '

1

1

2

={(6 1),

(1 4), (2 6), (4 3)}.

вошедшая

âåтствие, а смежными

является

3, åùå íå

Смежными для вошедших

ршины 2

4 èç G

для соответст ующих им

соответствие6 3 из G является вершина 8.

Далее, вершина

1 из Gвершинам, уж вошедшая в с

2

среди вер-

Поэтому доба ляем пару (3 8)

строящееся соответствие: '={(6 1),

(1 4), (2 6), (4 3), (3 8)}.

1

твие, смежна

ответствие,льк вершиной 7,

шин, не вошедших в с

соответствие, смежна толькответс

вершиной

. Поэтому

ïàðó

ующая ей вершина

из G среди вершин, не вошедших в

(7 7): '={(6 1), (1 4), (2 6),

(4 3), (3 8),

(7 7)}.

среди

смежной вершине 3 из G

2

óæ

вошедшей добавляем

не вошедших в

соответствие,1

является тольксоответствие,верши

на Затем5, для соответствующей ей

вершины 8 из G

среди

вершин, не

этому

ïàðó (5 5): '={(6 1), (1 4),

(2 6),

(4 3),

(7 7),

вошедшихвершин,соответствие, смежной является только вершина 5. По-

(5 5)}.добавляемаетс еще не

соответствие вершина 8 из(3G8),смеж

наяОстверш нами 4,вошедшая5 7,

G вершина 2, которая смежна1 с

а G , а y={(6соответствующая1), соответствиеей ршина

гра а (5G 5),определяется

вершинами 3, 5

2

7. Добавляем эту пару

ñîîò

Взаующимимно-однозначное

' = y(x(7 7),äå x

вершина

ãðà-

ветств

å: '

(1 4), (2 6), (4 3), (3 8),

2

(8 2)}.

1

следующей таблицей:

22

y

4

6

8

3

5

1

7

2

соответствияПроверка, чторебер' являетсягра овизоморG

Gизмом,:

дается следующей таблицей

x ; x g 1 2 1 6 1

2 3

1

2 6

23 4

3

4 6 4 8

8

8

fyk; ylg 4;

6 4; 1 4; 7

6; 8 6; 1 8; 3

8; 5

3; 1 3; 2

5; 7 5; 2

7; 2

6

i j

Планарность гра а

ðà

я планарным (плоским), если он до ускает реали

жащие всеназываетсзможные ребра)

K из 3Например,вершин

K из 4 вершин

зацию на

сти без пе есечения ребер.

ïолные (содер-

являютсяплоскими (см. рис. гра13), ыK5

плоским не является.

3

4

èñ. 13

èñ. 14

обосновывается тем, что его клика 4 в ршин x ; x ; x ; x

(полный подгра , содержащий эти вершины) при реализации на плос-

Последнеек ти без пересечения ребер разбивает плоскость на 4 области (см.

ðèñ.

2

3

1

2

3

4

1)14):

; x

) (вне ее лежит вер-

2) ограниченную ребрами цикла (x

; x

; x

øèíà x2);

23

1

3

4

1

øèíà x

);

x

3

)4). лежащую вне цикла (x2; x3; x4; x2) (внутри цикла лежит вершина

1

какую бы из областей ìû не поместили в ршину x

какая-

Теперь

то из первых 4 вершин x

i

(i 2 1; 4) будет лежать вне этой

5области,

потому ребро fx

; x

g пе есечет какое-либо из ребер, лежащих на

границе

5

i

не является планарным.

области. Таким об азом гр K

5

Другим важным примером непл нарного подгра а является пол-

ный двудольный гра K3;3

êаждая доля гра а имеет по 3 вершины

между любыми

разных долей сть ребро (см. рис. 15).

Обоснование

этого

проводится подобным образом его под-

гра , содержащий все 3 вершины x

; x

; x

3

первой доли и 2

x

; x

1

2

5

второй доли,вершинамиактакж все ребра, соединяющие любые вершины

4

разных долей, разбивает плоскость на 3 области (см. рис. 16):

1) ограниченную ребрами цикла (x

1

; x

; x

; x

; x

) (вне ее лежит вер-

øèíà x

);

5

2

4

1

3

; x

; x

; x

; x

) (вне ее лежит вер-

2) ограниченную ребрами цикла (x

2

x

);

5

3

4

2

1

; x

; x

; x

; x

) (внутри цикла лежит вер-

3) леж щую вне цикла (x

øèíà x2).

1

5

3

4

1

èñ. 15

24

èñ. 16

из первых 3 вершин x

i

(i 2 1; 3) будет лежать вне этой области,

потому ребро fx

; x

áåð, ëåæ ùèõ íà

g пе есечет какое-либо из

6

i

ãðà K

не явля тся планарным.

границе области. Таким

òî

Если гра содержит в к честве своей части3;3

непланарный подгра ,

îí òàêæ

является неплобразомнарным.

произвольногоg fx ; x g.

øèíà x

,операциюэто ребро заменяе

я на 2 ребра: fx ; x

Введем

подразбиения ребр

fx ; x g 2 U

гра а GfX; Ug: к n = jXj вершинам гра а добавляется (n+ 1)-я вер

ñòâî ïëàí ðíîñòè (íåïë

ãðà à.

i

j

изомор ны

îùè.

öèé ïîдразбиенèÿ

ребранарности)их ì æíî

делать

n+1

i

n+1

n+1 j

Соверше но я но, что операция под

збиения ребра не меняет свой

Äâà

à

ãî åîì ð íûìè, åñëè ï

ïî

опера-

åñëè

ãðà

содержитазываютсч стве

части подгра , гоì

K èëè K

,

îí íå

являетс пла арным. Оказывается, еоморэтоПоэтомусловный

является не

тольк

необх димым,своей и достаточным,

о устанавли-

5

н, н обходимоягинаостатКуратовск÷íî, чтобы он в качесòве своих ча-

3;3

ãðà à.

Íà ýòîé

теореме оснпован алгоритм проверки планарности5 3;3

âàåò

Ïîí

-

овского.

÷ îáû ãðà áûë

Ò

îãî. Äëÿ òîãî

планарстейтеоремасод ржал бы

äгра ов, меомор ных K

K .

Ввиду его сложности мы приведем

методику проверки планарности

для небольших гра ов.

ðå

1. Попытатьс

еализовать гра на плоскости без

ðенесения расположения

вершин

целью уменьшпересечениять число пе-

б . Если это не удаетс

сразу то

некоторого

сла попыток

ïåð

это, возможно,

удапослется (если гра планарный).

вершсеченияменьшребер5, то подгра а, гомеомор ного K , нет.

2. Найти число в ршин, степень которых не меньше 4. Если таких

3. Если число вершин со степенью не меньше 4

больше

4, òî ïîïû-

таться найти подг а , гомеомор ный K :

5

(a) Åñëè

вершин со степенью не меньше 4 есть 5

5

попар о связных между собой, то подгра , изомор вершин,ный K

найдесредиí гра непланарен.

5

25

ïî1),дразбиениятакж вершиныреб (заменаñòåï è 2ä операцией,ух ребер, инцидентныхобратной опертакойöèè

вершине, на

дно ребро, связывающее смежные с ней верши

íû).

после этого шага н т 5 вершин степени 4 попарно связ-

( ) Åñëè

íûõ

то следу

ò

3. Óäàë

иемсобой,дного из реб р кàссмотретьждой ойвершины

возмомеждуåí перебор удаляемых ребер,

акотором порядокстепени

ребора зависит от гра а)

добприться получе ия(здесьпо -

, гомеомор ного K

, следуетчто с анавливает

непланарность

ãðà à.

5

(d) Если выполнен е предыдущего пункта не дало результат то

следует

перейти к следующему пункту поиску подгрà à,

гомеомор ного K

3;3

.

нью не меньше . Если таких вершин

4. Найти число вершин со

меньше 6, то по

ãîì îìîð îãî

K3;3, нет. Если подгра ,

гомеомор ный Kдгратакжа,степå

найдеí, то необходимо снова попы-

таться

5

ãðà

на плоскости без пересечения ребер.

5. Если число верш н со степенью не меньше 3 больше 5, то следует

попытаться найт

подгра , гом омор ный K

3;3

:

(a) Åñëè

еди вершин со степенью

ñòü 2

меньше 3

по 3реализоватьве шины т

что каждая в

øèíà èç ïåрвого набора

смежна

3 верши ам из второго

бо а, то подгра , изомор -

íûé K

3;3

,

àêèõ,ãðà

непланарен.

т, то следует у

висячие вершины

(b) Если этого

1), такжнайденв ршины степ

2 операцией, обратной опер ци

подразбиения ребра (замåíдалитьдвух ребер инцидентных(степениакой

вершине на одно ребро, связывающее смежные с ней верши-

íû).

, не нах дится,

( ) Если после эт го подгра , изомор ный K

3;3

то следует по îчереди удалять (здесь возможен перебор у

ляемых ребер, при котором порядок перебора зависит от грда-

26

подгра , изомор ный K

3;3

, не будет найден.

(d) Åñëè

оследние действия не дали резу ьтата, то следует сно

ва попытаться реализовать гра на пëоскости без пересече-

ния ребер.

7 Примеры задач на планарность гра а с их ре-

Â

шениями

отмечать т лько их номером (без

мы будем

буквы),примераребрах парой номероввершины игурных скобках.

Пример 4.

2 110

110

10 3

6

010

00

10

7

1

4

0110

5

000

, что все в ршины

Анализ матрицы смежности вершин уст

èñ. 17

27

èñ. 18

1

110

10

6

010

01

7

000

110

1

0

4

5

Этот гра отличается от предыдущ го добавлением ребра {5, 6} (на

ребер {3, 4}

{5, 6}. Îò

пересечения

ребер неполучаетсдается

ÿ

перемещением вершинпунктиром)6 4 в область цикла (1, 2, 3, 7, 5,

избавитьс1), ак как

с. 17 обозначено

. Однако теперь

я пересече-

тогда ребро {8, 4} начинает пересекаться с ребром {1, 7} или {5, 7}.

аемс установить

ãðà à.

Попытле

бавления

ребра непланарность(5; 6) удается реализоваòü ãðà íà ïëîñ-

Имеетс

2 вершины степени 4 (5 6) и 6 вершин с

3. Òàê êàê

êîñти, то следует искать подг а , гомеомор ный K

епени, добавленное

Вершина 5 смежна в

вершинами3, 6, 7, 8, причем из этих 4

ребро должно быть

разных долей.

3;3

, 2

èç

о вершины 7 между8 см жны между собой. Поэтому, по-

3, 7, 8

принадлежат одной доле вместе с вершиной 6,вершинтак

толькаквершин7 8 см жны между собой, то это либо 3 7, либо 3

видимому8.

3, 6, 7, 8.

Вершина 4 смежна вершинам 3, 6, 8. Вершина 1 смежна

Анализ этих

показывает, чтовершинам

3, 6, 8 смежны вер

Исследуем теперь связь остальных

1, 2, 4, 5 с вершинами

вершинам 2, 6, 7. Вершина 2 смежна

1, 3, 6. Вершина 5

смежна

3, 6, 7, 8.

лить ребравершинам(5, 7)

(2, 6), то мы получим подгра , гомеомор ный K

через вершину связейвершиной 3 черåз вершину 2. Поэтому если уда-

шины 4 5. Вершина 1, смежная в ршине 6, связана с вершиной 8

(см. рис. 18), что и доказывает непланарность гра а.

3;3

28

8.1 Общее задание

ли гра , заданный ма рицей смежнос

1. Определить, являетс

вершин, планарным. В случае планарности построить реализацию гра-

на плоскости без пересечения ребер. В случае еплана ности найти

ч сть гра а (указав удаляемые при этом вершины или ребра), кото-

р ая является гомеомор ной K

5

èëè K

3;3

.

2. Îïðå åë

2 ãðà à, äèí èç ê

являются ли изомо ны

из задачить,1 а второй задан списк

ребер. В случае из мор

взятнос гра ов

изомор изм

взаимно-однозначное

торыхот

ствие вершин

ïервогоостроитьвторого гра ов, сохраняющее смежность вер-

øèí.

8.2 Варианты индивидуального задания 6

1.

2

0 Задача 110

3

110

1

1

01

011

0

110

100

6

10

7

00

4

5

29