Элементы теории графов
.pdfностиствующейäëÿ вершиныгра а, заданного. В к чествеâûøåпримераспискомприведемäóã: |
матрицу инцидент- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
0 1 |
0 3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
0 |
|
7 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
зависит от удоб- |
||||||||
|
Выбор алгоритмического способа задания |
|
|
|
|||||||||||||||
ñòâà ê |
|
|
|
|
алгоритмов работы |
гра ом.граМатрица смежности |
|||||||||||||
вершинонкретныхмож вляться неэкономным ñпособом, если каждый элемент |
|||||||||||||||||||
задается в памÿ |
|
омпьютера к |
|
|
|
|
|
. Íî åñëè |
|
ìàò- |
|||||||||
рицу определить |
|
массив строак из нулейчислоед |
ниц (строкакуюбит в |
||||||||||||||||
амяти |
|
|
|
|
|
то можно не толькцелое |
оном ть на памяти, но и |
||||||||||||
|
аждой |
э ективныйрши заданного множества,оторых |
д статочнработывзять логи- |
||||||||||||||||
ïолучить |
|
|
|
|
|
способ для нек |
|
|
|
операций |
|
ãðà |
|||||||
ом. Такомпьютера),если нуж найти все вершины, сэкаж ая из от рых |
смежна |
||||||||||||||||||
âûøå ïèñà íîì |
|
|
|
матрицы |
|
|
|
|
|
обыкновенногоествагр а |
|||||||||
ческое произâåдение ст ок |
|
|
|
|
вершинам множ |
. Â |
|||||||||||||
äëÿ ï ëó÷å |
|
вершин, смежныхсоответствующихверш нами 1 |
4, после логическо- |
||||||||||||||||
ãî |
óìíîæåíèÿпервойпримеречетвертой строксмежностиматрицы получим строку: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 1 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которая определяет такими вершины 2 и 3. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
Операции над гра ами |
части гра а и образующие но- |
|||||||||||||||||
|
ассмотрим операции, |
|
|
|
|||||||||||||||
|
ðà G (X ; U ) |
íазываетсвыделяющиеподгра ом гра а G(X; U), если |
|||||||||||||||||
вые гра ы по задан ым. |
X |
X; |
U |
U: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ес и G =6 G, то подгра 1собственн1 |
й. Если подгра G гра а G |
||||||||||||||||||
являе ся полным (любые 2 его вершины смежны), содержащим n вер- |
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
шин, то он называется кликой из n вершин. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
содержит все вершины гра а. Таким образом, остовный по |
|
îá |
||||||||||||||||||
ныхграразуетсима, возможно,ребер,èç òàêæàóóдалениемог |
некоторыхудалением вершинещеребер,некоторыхà(íåлюбойвсех)реберподгра. Íà ðèèç |
|||||||||||||||||||
ìåð, |
äëÿ ãðà à |
G(f1; 2; 3; 4g; ff1; 3g; f1; 4g; f2; 3gg) следующийинцидентпо - |
||||||||||||||||||
ãðà G |
(f1; 2; 3; 4g; 1; 3g; f1; 4gg) |
|
|
|
|
я остовным по |
|
à |
||||||||||||
ïîäã |
1 |
|
(f2; 3; 4gff; f2; 3gg) |
|
являетсостовным подгра . |
|
||||||||||||||
|
ðà G(X; U |
называется |
дополнением |
ãðà à G(X; U)äãðà(ä |
полниом, - |
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельным ãðа ом), если u 2 U $ u 2= U. Таким образом, дополне ии |
||||||||||||||||||||
гра а смежные вершины не смежны, а несмежные вершины смежны. |
||||||||||||||||||||
Например, для гра а пятиугольника |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
G(f1; 2; 3; 4; 5g; ff1; 2g; f2; 3g; f3; 4g; f4; 5g; f5; 1gg) |
|
|
|||||||||||||||
дополненèåм является звезда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
G(f1; 2; 3; 4; 5g; ff1; 4g; f4; 2g; f2; 5g; f5; 3g; f3; 1gg); |
|
|
|||||||||||||||
которая изомор на гра у G, а для гра а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
P (f1; 2; 3; 4g; ff1; 2g; f2; 3g; f2; 4g; f3; 4gg) |
|
|
||||||||||||||
дополнением являетñÿ ãðà |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
íå |
|
|
|
|
P (f1; 2; 3; 4g; ff1; 3g; f1; 4gg); |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
ãðà ó P . |
|
|
|
лавной |
|
|
|
|
|
|
элементов матри- |
|||||
тированиеизомор ныйне принадлåжащих |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Матрица смежности A |
дополнительного. заменой нулей |
|
гра а получается инвер |
||||||||||||||||
цы A основного гра а, . |
|
|
|
единицы и единиц |
|
|||||||||||||||
íó |
|
для всех элементов |
атрицы кромедиагонали. Так, для гра на |
|||||||||||||||||
пятлиугольника матрица смежности |
вершин: |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
A = 2 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
6 |
0 |
0 |
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
2 |
|
0 |
|
|
1 |
1 |
3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
|
1 |
5 |
|
смежности гра а, для |
||||||||||||
В тех случ ях, когда уæ определена |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
задания подгра а, содержащего все ребраматрицагр а, которые инц де |
- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ны вершинам |
подгра а, íе обязательно задавать |
го матрицу смеж |
|||||||||||||||||||||||||||||
сти достаточно задать булев вектор из нулей |
|
диниц, де единицы |
|||||||||||||||||||||||||||||
определяют |
|
|
|
|
|
|
подгра а. |
|
|
|
|
|
|
ое произведение эт й строки |
|||||||||||||||||
þòñ |
бъединение гра ов полезнымипрямое ро |
|
зведение |
дграов. Пода, |
объеди- |
||||||||||||||||||||||||||
на строки м три ы, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вершинам по |
|
|
опреде |
|
||||||||||||||||
âñå |
ребра,вершиныöидентныесоответствующиершинамЛогическдгра а. |
|
ãðà àìè ÿâëÿ |
||||||||||||||||||||||||||||
В некоторых случаях |
|
|
|
|
|
|
ïерациями н |
||||||||||||||||||||||||
нением |
|
|
|
|
G( |
|
U) è H(Y; V ) |
ïîíèìàþò |
ãðà |
|
[ |
|
|
U [ V ). |
|||||||||||||||||
Прямоеграпроизоведение гра ов G(X; U) H(Y; V ) = |
E(X Y; W ), ãäå |
||||||||||||||||||||||||||||||
W = f f(x |
; y |
h |
); (xX;y |
h |
) j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
g |
|
|
|
|
g |
|
g |
|
|
h |
|
|
|
h |
|
|
|
h h |
|
|
|
g |
g |
|
|||||
|
|
i |
|
|
k |
|
|
j |
g l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4 |
Методик |
(fxi ; xj g 2 U ^ yk |
= yl |
) _ (fyk ; yl g 2 V ^ xi |
= xj )g: |
||||||||||||||||||||||||||
|
установления изомор изма гра ов |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Следующая |
лемма |
|
просто обос овываåòñÿ. |
|
|
|
G (Y; V ). |
|
|
||||||||||||||||||||||
тогда, когда изомор ны их дополнения |
G (X; U) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Лемма. |
|
ðà û G |
(X; U) è G |
(Y; V ) изомоð íû òîãäà и только |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Эт й леммой имеет смысл пользоваться в тех случаях, когда коли |
|||||||||||||||||||||||||||||||
должно |
|
|
|
ть колич ство вершин, |
|
оличество ребер, кол |
|
||||||||||||||||||||||||
честв |
ребер дополнительного гра а меньше количеñòва ребер основ- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ãî ãðà à. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из определения изомор изма следует, что для изомор ных гра ов |
|||||||||||||||||||||||||||||||
заданным числом вершин |
др гие характеристики гра ов, нечествоза - |
||||||||||||||||||||||||||||||
сящие от наименования (èëè óмерации) вершин. Поэтому если при |
|||||||||||||||||||||||||||||||
попыткаких характеристикизоморстепенью,азличнаносòî |
|
граа ыовне изомор ны. Если же од- |
|||||||||||||||||||||||||||||
вершин ñовпаддин к |
|
îé |
|
|
|
|
количество элементарных |
циклов |
|||||||||||||||||||||||
|
|
å ó |
|
анови ь |
|
|
|
|
|
|
ü |
|
|
|
|
|
оказывается, что одна |
èç |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следует изом р ность гра ов: для обоснования изомор ности необ |
||||||||||||||||||||||
ìîðõ äèìîВ ностибщемó ановитьдвухслучае1íåò-1ñ, сохраняющеехорошегосущест енносмежностьотличногодля. |
ó |
ановлениясложности)изоот |
||||||||||||||||||||
переб |
|
|
n! вариантгра ов,проверки 1-алгоритма1с, де n чис(повершин каждо- |
|||||||||||||||||||
ãî èç |
гра ов. Однак для гра ов с небольшим коëичеством |
вершин |
||||||||||||||||||||
ëèáî |
|
|
выводу |
|
íåê омор ности ãðà ов, либо ведущую к построенидящую |
|||||||||||||||||
можно |
указать |
|
от рую последов тельность действий, приво |
|
||||||||||||||||||
ункции изомор èçма. Мы будем считать, что г а ы, для которых |
||||||||||||||||||||||
исследуется вопрос их изом р ности, связны, так к |
в противном |
|||||||||||||||||||||
случае можно исследовать вîпрос для каждой пары акомпонент связ- |
||||||||||||||||||||||
ности гра ов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) (i = 1; 2) и количество ребер |
||||||||||||
1. Найти количество вершин n(G |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
m(G ) (i = 1; 2) каждого из гра ов. Если они не совпадают: |
|||||||||||||||||||||
|
n(G i) =6 n(G |
) èëè m(G |
|
) =6 m(G |
), то гра ы не изомор ны. |
|||||||||||||||||
2. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
наборы степеней вершин каждого из гра ов (n1; n2; : : : ) |
|||||||||||||||||
|
Найти(n2; n |
; : : : ), ãäå ni |
означает количество вершин степени k i-го |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гра а. Если эти наборы не совпадают, то гра ы не изомор ны. |
|||||||||||||||||||||
3. Если наборы степеней вершин гра ов совпадают |
есть вершины |
|||||||||||||||||||||
|
разных степеней, то делаем попытку построения |
èзомор изма ' |
||||||||||||||||||||
|
следующим образом: |
|
, для которой число вершин в наборе ми- |
|||||||||||||||||||
|
1 |
o |
. Находим степень |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
íèì |
|
|
|
ni0 = minifnig. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
= fx 2 Xj d(x) = i g è |
|
|
|||||
|
|
|
|
íàìèльно:ем жества X |
|
|
|
- |
||||||||||||||
|
2 . Äåë |
|
|
попытку установления соответствия ' между |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x 2 X находим набор степеней вершин, межных свершинаминей. Т |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Y |
|
= fy 2 Y j d(y) |
|
i |
= i |
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
i |
|
|
g. Для этого для каждой вершины |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
ìîæ |
|
|
|
|
|
делаем для каждой вершины y 2 Y . Если эти |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
о сопост |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
не к лькими вариантами, то выбратьнаборыдин из |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
шинами),авитьальные запомнить для последующих выборов, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
их (и положить |
ñîîтветствие между сопоставленными вер |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
если принятый выбор окажется неприемлемым. Если |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
ры нельзя сопоставить, то выбор предыдущего вариантнабос - |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
нет, товзятьê сноваíåìóследующий(ликвидироваввариантк предыдущемуâñåсопоставлениявариантывариантувыборов. Еслив |
послебораак - |
||||||||||
|
него)ступитьпоставления. Еслиотступатьакого |
, то гра ы неизомор ны. |
||||||||||
3o. Для каждого из наборов ужнетсопоставленных вершин найти |
||||||||||||
|
|
|
|
|
смежные |
|
íèìè, íî |
âõ |
сопоставление, |
|||
|
станов ть их относительную смнежнîдящиесть |
|
äëÿ ñîïî |
|||||||||
|
вершины,ставлен я в каждом наборе те вершины, которые имеют аи- |
|||||||||||
|
меньшую о |
|
|
смеж ость. Есливыбратьаких вариантов |
||||||||
|
не колько, òносительнуювыбрать дин из |
их, запомнив |
|
альные для |
||||||||
|
следующих выборов. Этот пункт |
|
äî òåõ ïîð, |
|||||||||
|
|
|
|
все вершины |
обоих гра ов не выполнятьокажутс |
поставлен- |
||||||
|
íûìè (è ýòî |
|
авление дает изомор изм |
|
|
ëèáî |
||||||
|
ïîêà |
|
будет опостановлено, что нет |
сопостгра ов),ления. |
||||||||
|
В последнем случае надо отступить к предыдущему вариан |
|||||||||||
|
ту сопоставления |
|
|
|
всевариантовнты |
|
послетак - |
|||||
|
|
|
|
|
и взять следующий вариант сопоставления. Если |
|||||||
|
нет, то снова |
(ликвидировавпредыдущему вариантувыборов |
áîðà |
|||||||||
|
него)с поставления. Если |
акого нет, то гра ы |
|
|
. |
|||||||
4. Если все вершины имеют |
динаковую степень, то |
|
жно приме |
|||||||||
|
ить прием попыткиотступать |
соответствия меж у верши- |
||||||||||
íàìè, âõî |
в элементарные ц клы (цикл,неизоморсоäержащийны |
|||||||||||
повторяющихсдящимиве шин ановленияребе ) динаковой длины. При |
|
|||||||||||
если для одного гра а |
некоторая |
ршина вх дит в несколькэтом, |
||||||||||
циклов, |
|
|
|
для другого гра а соотâåтствующая |
изомор изме |
|||||||
ò |
îé æ |
тоакже должна вх дить |
àêîå æ |
|
циклов |
|||||||
|
|
длины. Поэтому вместо степеней вершины |
выбирается |
|||||||||
вакершиначестве показателя набор к |
циклов |
определенной |
||||||||||
ä |
ëè î , |
|
|
держащих эту вершину,оличествиспользуется алгоритм, по |
||||||||
áíûé |
алгоритму предыдущего пункта, но такжоличествоучетом смеж- |
|||||||||||
н сти сопоставляемых вершин. |
|
|
я изомор - |
|||||||||
Ýòîò прием хорошо раб тает, когда гра ы не |
|
|||||||||||
ными. Например, в днîм гра е есть цикл определенной длины, |
||||||||||||
которого нет в другом |
гра е. Если же это неявляютсак, то требуется |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
риводит к ошибочному заключению. |
ребражноïðèнаборприменитьдинаковостепенейследуюòè âåðñòå- |
|||||||||||||||
щпенейВ случаеп всиемпредполагае. вершинОпределимкажîéогокаждогогра а |
||||||||||||||||
øèн, смежных |
обоими вершинамиизомор ностибра, |
будем |
|
влять |
||||||||||||
те ребра |
îá èõ ãðà îâ, |
äëÿ |
которых |
|
|
акие наборысопостдинак . |
||||||||||
Ïðè |
жности акого сопоставления |
для каких-либо ребер |
||||||||||||||
бираемневозмдинизоморвариантов,íû |
запоминая |
|
|
льные для последую- |
||||||||||||
ãðà û |
|
|
. При неоднозна |
|
сопост |
|
îâû |
|||||||||
(второй вариантовзапом нается). П ием повторяется,авленияприребрамэто |
||||||||||||||||
щих выборов. В сопоставляемых реб ахчностиàêæ |
выбираетс |
äèí |
||||||||||||||
èç äâóõ |
|
|
сопоставления веðшин, инцидент ых |
|
||||||||||||
определяются наборы степе ей веðшин, смежных с |
обоими кон |
|||||||||||||||
цами ребер, не |
вошедших уж |
соп ставление. Л |
такое повто |
|||||||||||||
рение приводит к |
становлению из мо |
|
|
ëèáî |
ïðè |
äà÷å |
||||||||||
èä ðîâàâ âñå |
|
ы выборов после него) |
взять следнеующий |
|||||||||||||
сопост |
лении следует |
|
|
|
ê |
|
ðедыдущему |
|
(ëèê- |
|||||||
âàðèант сопоставления. |
отступитьЕсли акого нетизма,то сновавыборуступать к |
|||||||||||||||
предыдущему |
варианту |
выбора сопоставления. Если òакого нет, |
||||||||||||||
то гра ы неизомор ны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 Примеры задач на изомор изм гра ов с их ре- |
||||||||||||||||
шенияìè |
|
(X; U) задан матрицей смежности вершин |
||||||||||||||
Пример 1. ра G |
||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
1 |
110 |
10 |
3 |
; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
6 |
010 |
|
00 |
10 |
7 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
000 |
0110 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
|
16 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{3,4}, {3,7}, {4,8}, {5,6}, {5,8}, {6,7}, {7,8}). |
|
|
|||||||
еализации (изображения) гра ов приведены на рис. 10 и 11. |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
6 |
||
|
|
|
|
||||||
|
7 e |
|
3 |
|
|
|
|
|
e4 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8 e |
|
HHHHHHH |
|
|
e5 |
|
|||
|
|
|
|||||||
|
èñ. 10 (ãðà |
G1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
èñ. 11 (ãðà G |
) |
|
|
|
Оба гра а имеют |
8 |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
все вершины степени 3. Поэтому |
||||||||||
число реб р у них динаковвершине, |
алгоритм сопоставления по степеням |
||||||||||
ìîæ |
иметь полный |
переб сопоставления вершин, если гра ы |
|||||||||
èçî |
ор ны. Попробуем |
спольз |
ать прием сопоставления по длиíå |
||||||||
ýëå |
|
ентарных |
|
ýòèх гра ов. Наглядно видно на рисунках, что |
|||||||
Ïîэтому гра ыцикловG |
G не изомор ны. |
|
|
не имеет таких циклов. |
|||||||
G |
1 |
|
имеет 2 элементарных цикла длины 3, а G |
2 |
|||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
Пример 2. ра G1(X; U) задан следующей матрицей смежности |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
11001 |
|
10 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
010 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
à ãðà G |
|
|
|
|
|
|
000 |
110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
(Y; V ) задан списком ребер: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
({1,4}, {1,5}, {1,7} {1,8}, {2,4}, {2,5}, {2,8}, {3,5}, {3,6}, {3,8}, |
|
|
|||||||||||||||||||||
{6,7}, {6,8}). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
степень{4,7}, |
||||||||||
|
Оба гра а имеют по 8 вершин, 2 из которых |
|
|||||||||||||||||||||
|
остальные |
|
степень 3. При попытк |
|
установить зомор |
ность |
|||||||||||||||||
|
G |
: |
åñòü 2 |
|
à îòî |
|
|
íèÿ |
вершин |
степенимеют4 гра ов G |
1 |
||||||||||||
|
|
|
|
6 8}вариант{5 8, 6 1}. Выберå |
|
первый вариант ' ={5 1, |
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
6 1} оставим |
памяти для последующего выбора6 8}, |
|||||||||||||
гравтоов{5ой1, |
|
|
|
||||||||||||||||||||
åñëè |
первый вариант будет отвергнут. |
|
|
|
|
|
|
|
èå |
|
|
|
|||||||||||
|
В ршина{5 8, |
G кромеждествлуж выбранной в |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6 смежна |
|
|
|
ершингра ами1 3, 7, 8, из которых 7 |
|
8 |
|
жны между собой, |
|||||||||||||||
à |
|
|
|
|
|
|
ующая ей вершина 1 гра а G |
2 |
кросоответстìå óæ |
выбранной |
|
||||||||||||
|
|
|
|
âèå вершины 8 смежна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7 |
|
|
|
вершинами 4, 5, 7, из которых 4 |
|
||||||||||||||||||
межны между |
бой. Поэтому продолжением |
ÿâëÿ òñÿ |
вершины- |
||||||||||||||||||||
соответсстроящийся |
|
' |
|
|
|
3 5, êàê |
|
|
|||||||||||||||
øèí |
соответствующих гра ов, которые |
|
ежны с ужединственныхвключеннойвключение |
||||||||||||||||||||
' парой вершинизомор неизмсмежны другиìè |
|
|
|
смежными с |
|||||||||||||||||||
этой парой: '={5 1, 6 8, 3 5}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èå |
|
|
|
||||||||||
|
В ршина 6 |
|
G кромесоответствияуж выбраннойвершинами, |
|
|
|
|||||||||||||||||
5 смежна |
|
|
|
ершингра ами1 1, 2, 4, из которых 1 |
|
2 |
|
жны между собой, |
|||||||||||||||
à |
|
|
|
|
|
|
ующая ей вершина 8 гра а G |
2 |
кросоответстìå óæ |
выбраннойвершины |
|||||||||||||
|
|
|
|
âèå вершины 1 смежна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6 |
|
|
|
вершинами 2, 3, 6, из которых 3 |
|
||||||||||||||||||
межны между |
бой. Поэтому продолжением |
ÿâëÿ òñÿ |
|
âåð- |
|||||||||||||||||||
соответсстроящийся |
|
' |
|
|
|
4 2, êàê |
|
|
|
||||||||||||||
øèí |
соответствующих гра ов, которые |
|
ежны с ужединственныхвключеннойвключение |
' парой вершинизомор6 8 неизмсмежнысоответствиядругиìи вершинами, смежными с этой парой: '={5 1, 6 8, 3 5, 4 2}.
18
риантGàêæà2, Gсмежных1à, выборавершинысоответствующеймежду7 8,собойа среди.вершин:Поэтомуåùåвершинойне рассмотренныхäëÿ 1, вершины{7 7, |
вершинåñòü7,. Выберемкоторыеäâàãðàâàà- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
'={5 1, 6 8, 3 5, 4 2,{7 4,8дальнейшего7}, второй8 4} {5 1, 6 8, |
||||||||||||||||||||||||
3 5, 4 2, 7 7, 8соответствия4} авим |
памяти для последующего выбора, |
|
|||||||||||||||||||||||||||
первый вариант |
этого выбора |
будет отвергнут. |
|
|
|
|
|
|
вершинеесли8 |
||||||||||||||||||||
в гра е G вершины 3 |
|
è |
6, смежные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Среди еще не рассмотренных вершин гра а G вершины 1 |
2, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ñ |
вершиной 6 смежные между собой. Им соответствуют |
|||||||||||||||||||||||||
смежные между собой. Есть два вариант выбо а |
1 |
|
ответствия вер |
||||||||||||||||||||||||||
к противор чию: вершина 1 ãðà à G |
|
смежнасоответствующейвершиной 7 этого |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
{ 6, 2 3}. Но выбор пе вого варианта ведет |
|||||||||||||||||||||
øèí ãðà îâ: {1 3, 2 6} |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
, а соотвåтствующ |
åé |
|
|
|
|
31ãðà à G |
не смежна с вершиной |
|||||||||||||||||||||
4 этого гра а, ко |
ðàÿ |
âûáð |
|
|
êàê |
|
|
|
|
2 ующая вершине 7 |
ãðà- |
||||||||||||||||||
есть противоречие: вершивершина1 гра а G смежна с вершиной 7 этого |
|||||||||||||||||||||||||||||
а G . Поэтому |
ýòîò |
|
|
|
|
выборасоответстне подх дит, перейдем к |
|
|
ó |
||||||||||||||||||||
следующего второго вариант |
{1 6, 2 3}. Íî è |
â |
этом варианте |
выборà |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ыбрана как соотве ствующая вершине |
|||||||||||||||||
шиной 4 этого гра а, которая |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
гра а, а соответствующая ей вершина 6 гра а G не смежна |
|
||||||||||||||||||||||||||||
больше нет, то следует отступить к предыдуще |
|
точке рассмотрения |
|||||||||||||||||||||||||||
7 гра а G . Так как вариантоâ выбора в данной |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
вместо варианта {7 4, 8 7} выбрать |
|
следующий вариант {7 7, 8 4}. |
|||||||||||||||||||||||||||
Ïðè |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ýòîì '={5 1, 6 8, 3 5, 4 2, 7 7, 8 4}. |
|
|
соот етствия остав- |
||||||||||||||||||||||||||
|
Теперь снова нужно рассмотреть 2 вариант |
|
|||||||||||||||||||||||||||
вариант опять возникает про |
иворечие: |
вершина 1 гра а G |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
шихся вершин гра ов: {1 3, 2 6} |
|
{1 6, 2 3}. Ïðè |
âыборе первого |
||||||||||||||||||||||||||
G íå |
смежна с вершиной 7 |
этого гра а, которая выбрана как соот- |
|||||||||||||||||||||||||||
с вершиной 7 этого гра а, |
|
соответствующая |
|
|
вершина1 |
3смежнагра |
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
вершине 7 |
ãðà à |
G . Поэтому перейдем |
к следующему |
||||||||||||||||||||||
Gетствующаяакж смежнасоответствиявершиной |
7 ýòого гр а, которая выбрана как |
||||||||||||||||||||||||||||
âари нту выбора |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
âåðø í: {1 6, 2 3}. |
|
|
|
|
|
|
|
ñìåæ- |
|||||||||||||||
|
Í |
|
этот раз противореч |
|
íå âîçíèкает: вершина 1 г а а G |
1 |
|||||||||||||||||||||||
íà |
|
вершиной 7 этого гра а, |
|
соо ветствующая ей |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
øèíà 6 |
ãðà à |
|||||||||||||||||||||||
соответствующая |
вершине 7 |
гра а G . Аналогично |
|
вершина |
2 |
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вершина 3 гра а G такж |
смежна с |
|
|
|
5, 6, 8 этого гра а, |
|||||||||||||
'которые={5Таким1, 6выбраныобразом,8, 3 5, êàêмы получаемс ответствующие8 4, 1окончательный6, 2 вершинами3}. вариант-3,однозначное1, 6соответствия:ãðà à G1. - |
||||||||||||||||||
ветствие ' = y(x), где |
7x 7,вершина гра аВзаимноG , y соответствующая |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ей вершина гра а G определяется следующей таблицей: |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
4 2, |
x |
|
1 2 3 4 5 6 |
7 |
8 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
y |
|
6 |
3 |
5 |
2 |
1 |
8 |
4 |
|
|
|
|
|
Проверка, что ' является |
|
|
|
|
|
|
дается следующей таблицей |
|||||||||||
соответствия ребер гра овизоморG Gизмом: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x ; x |
1 2 1 6 1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
5 8 |
8 |
|||
|
2 3 2 6 3 4 3 5 4 6 4 8 5 6 5 |
|||||||||||||||||
yi |
; yj |
6; 3 6; 8 6; 7 |
|
3; |
5 3; 8 5; 2 5; 1 2; |
8 2; 4 1; 8 1; 7 |
1; 4 |
7; 4 |
||||||||||
k |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïðè |
|
|
|
|
|
|
Îòìå èì, î ìû íå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
âò ðîé |
вариант |
соответствияиспользовалипервой точкпостроениирассмотрения. Можно |
||||||||||||||||
проверить, что в этом случае получается другой вариантизомор изма- |
||||||||||||||||||
ìà ãðà îâ. |
|
|
(X; U) возьмем из примера 1, а гра G |
(Y; V ) |
||||||||||||||
Ïð |
åð 3. ðà G |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
зададèì списком ребер: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
({1,3}, {1,4}, {1,6}, {2,3}, {2,5}, {2,7}, {3,8}, {4,6}, {4,7}, {5.7}, {5,8}, {6,8}).
|
èñ. 12 (ãðà G |
) |
||
Оба гра а имеют по 8 |
|
|
2 |
|
|
все вершины ст пени 3. Поэтому |
|||
число ребер у них одинакоâершиналгоритмое, |
сопоставления по степеням |
|||
|
20 |
|
|
|