mkn_contr11

Задание № 1

1.Отрезок прямой, ограниченной точками A( 1; 8; 3) и B(9; 7; 2) разделен точками C; D; E; F на пять равных частей. Найти координаты точек деления.

2.Отрезок прямой, ограниченной точками A( 5; 8; 12) и B(3; 0; 16) разделен точками C; D; E на четыре равные части. Найти координаты точек деления.

3.Определить координаты концов отрезка, который точками C(2; 0; 2)

иD(5; 2; 0) разделен на три равные части.

Даны вершины треугольника ABC: Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине B :

4.A(1; 2; 1); B(2; 1; 3); C( 4; 7; 5);

5.A( 5; 2; 6); B(1; 1; 3); C(2; 1; 2);

6.A(1; 1; 3); B(2; 4; 8); C( 12; 6; 10):

7.Найти координаты центра тяжести тетраэдра ABCD; если в вер-

шинах его помещены равные массы: A(x1; y1; z1); B(x2; y2; z2); C(x3; y3; z3); D(x4; y4; z4):

8. В вершинах тетраэдра A(1; 1; 2); B(2; 3; 1); C( 5; 0; 4);

D( 1; 3; 10) сосредоточены массы 1, 2, 4 и 3 соответственно. Найти координаты центра тяжести системы этих масс.

Прямая проходит через точки A и B: Найти точки ее пересечения с координатными плоскостями:

9.A( 1; 6; 6); B(3; 6; 2);

10.A( 2; 2; 3); B(14; 2; 5):

11.Даны две вершины треугольника A(1; 3; 2); и B(6; 8; 3): Найти третью вершину C; если середина стороны AC лежит на оси Ox; а середина стороны BC – в плоскости Oyz:

12.Найти точку, в которой прямая AB пересекает плоскость Oxy; если

A(3; 4; 10); B( 3; 8; 2):

Даны две точки A и B: Установить, пересекает ли прямая AB какуюнибудь из осей координат. Найти точки пересечения:

13.A(8; 6; 7); B( 20; 15; 10);

14.A(7; 10; 15); B(1; 2; 3):

Даны четыре точки A; B; C и D: Установить, пересекаются ли прямые AB и CD: Если да, то найти точку пересечения:

15.A( 3; 5; 15); B(0; 0; 7); C(2; 1; 4); D(4; 3; 0);

16.A(2; 3; 7); B( 4; 9; 11); C(7; 3; 6); D( 8; 2; 1):

17.Отрезок AB разделен на пять равных частей. Известны первая точка деления C(3; 5; 7) и последняя F ( 2; 4; 8): Определить координаты концов отрезка и остальных точек деления.

18.Найти точку пересечения медиан треугольника ABC; если даны его вершины A(3; 2; 5); B(1; 4; 3); C( 3; 0; 1):

1

19.Даны две вершины параллелограмма A(2; 3; 5) и B( 1; 3; 2) и точка пересечения его диагоналей E(4; 1; 7): Найти две другие вершины параллелограмма.

20.Найти длину медианы треугольника ABC; проведенной из вершины

A; если A(2; 1; 4); B(3; 2; 6); C( 5; 0; 2):

21.Даны три последовательные вершины трапеции A(1; 2; 1); B(3; 4; 5)

иC(5; 5; 7): Найти четвертую вершину D; если длина основания AD в 4 раза больше, чем длина BC: Найти точку пересечения диагоналей трапеции

иточку пересечения продолжений боковых сторон.

22.Даны три последовательные вершины трапеции B(2; 3; 4); C(4; 5; 5)

иD(9; 10; 6): Найти первую вершину A; если длина основания AD равна 9. Найти точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжений боковых сторон.

23.Даны три вершины трапеции C(4; 5; 6); D(4; 7; 7) и A(1; 1; 1): Найти вершину B; если длина основания AD в 3 раза больше, чем длина BC: Найти точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжений боковых сторон.

24.Даны три вершины трапеции A(2; 2; 2); B(4; 4; 5) и D(5; 8; 8): Найти вершину C; если длина основания BC равна 3. Найти точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжений боковых сторон.

25.Даны вершины треугольника A(1; 3; 11); B(4; 2; 5); C(17; 1; 1): Вычислить длину медианы BP:

26.Даны три вершины параллелограмма ABCD : A(3; 4; 7);

B( 5; 3; 2); C(1; 2; 3): Найти четвертую вершину D:

27.Отрезок AB разделен точками C1; C2; C3 на четыре равные части. Найти координаты точек деления, если A( 1; 8; 3); B(9; 7; 2):

28.Установить, пересекает ли прямая, проходящая через точки

A(7; 10; 15) и B(1; 2; 3) какую-нибудь из осей координат. Найти координаты точек пересечения.

29.Прямая проходит через точки A(5; 3; 6) и B(3; 2; 3): Найти точки

еепересечения с координатными плоскостями.

30.Даны две вершины параллелограмма A(4; 3; 2) и B(5; 7; 6) и точка пересечения его диагоналей M( 1; 4; 5): Найти две другие вершины параллелограмма.

Задание № 2

Найти вектор p; получающийся при проектировании вектора a на плоскость, натянутую на векторы b; c; если проектирование проводится паралллеьно вектору d :

1.a = (2; 8; 5); b = (1; 3; 1); c = (2; 4; 4); d = (1; 1; 2);

2.a = ( 6; 4; 1); b = (2; 2; 1); c = (4; 2; 5); d = (3; 1; 2);

2

3.a = (8; 12; 6); b = (3; 2; 1); c = (4; 5; 2); d = (1; 1; 2);

4.a = (13; 7; 7); b = (1; 1; 1); c = (4; 6; 3); d = (2; 2; 1);

5.a = ( 4; 3; 2); b = (3; 3; 2); c = (4; 1; 3); d = (1; 2; 2);

6.a = (3; 1; 7); b = (1; 2; 3); c = (4; 5; 2); d = (1; 0; 1);

7.a = (4; 11; 1); b = (2; 3; 1); c = (0; 4; 2); d = (1; 1; 2):

Найти вектор p; получающийся при ортогональном проектировании вектора a на плоскость, перпендикулярную к вектору b :

8.a = (3; 6; 9); b = (2; 2; 1);

9.a = (3; 6; 21); b = (2; 1; 2);

10.a = (1; 8; 4); b = (2; 1; 2);

11.a = ( 14; 28; 14); b = (3; 2; 6);

12.a = (6; 8; 11); b = (3; 4; 0);

13.a = ( 2; 5; 5); b = ( 2; 3; 6);

14.a = (6; 5; 1); b = (3; 1; 1);

15.a = (5; 16; 5); b = ( 2; 3; 4):

Найти вектор p; получающийся при проектировании вектора a на координатную плоскость, если проектирование проводится параллельно вектору b :

16.Oxy; a = (12; 14; 6); b = (2; 1; 2);

17.Oxz; a = (21; 15; 7); b = (1; 5; 4);

18.Oyz; a = (18; 2; 11); b = (3; 4; 5);

19.Oxy; a = (15; 13; 6); b = (1; 2; 3);

20.Oyz; a = (24; 13; 8); b = ( 4; 9; 7);

21.Oxz; a = (5; 16; 7); b = (1; 8; 3);

22.Oxy; a = (3; 9; 15); b = (6; 4; 5);

23.Oyz; a = (8; 5; 3); b = (4; 9; 7):

Найти вектор p; получающийся при ортогональном проектировании вектора a на прямую, параллельную вектору b :

24.a = (6; 3; 9); b = (2; 1; 2);

25.a = (21; 3; 6); b = (2; 2; 1);

26.a = (8; 4; 1); b = (1; 2; 2);

27.a = (28; 14; 14); b = (2; 3; 6);

28.a = (8; 7; 6); b = (4; 0; 3);

29.a = (5; 6; 1); b = (1; 3; 1);

30.a = (16; 5; 5); b = (3; 2; 4):

Задание № 3

Найти вектор c; перпендикулярный вектору a; образующий с вектором b угол ; имеющий длину d и направленный так, чтобы тройка a; b; c была

правой:

1. a = (0; 1; 1); b = (1; 1; 0); = 4 ; d = 1;

3

Найти вектор c; перпендикулярный вектору a; образующий с вектором b угол ; имеющий длину d и направленный так, чтобы тройка a; b; c была

Найти вектор d длины d; образующий с векторами a и b равные углы, с вектором c – угол и направленный так, чтобы тройки a; b; c и a; b; d

Найти вектор d длины d; компланарный векторам a и b, перпендикулярный вектору c и направленный так, чтобы тройки a; b; c и a; d; c

Найти вектор c длины d; перпендикулярный векторам a и b и направленный так, чтобы тройка a; b; c была правой:

4

Найти вектор d длины d; перпендикулярный векторам a и b и направленный так, чтобы тройки a; b; c и a; b; d имели одинаковую ориентацию:

Задание № 4

Векторы a и b ортогональны. Зная jaj = 3 и jbj = 4; вычислить:

1.j [ a + b ; a + b ] j;

2.j [ 3a b ; a 2b ] j:

Векторы a и b образуют угол 23 : Зная jaj = 1 и jbj = 2; вычислить:

3.( [ 2a + b ; a + 2b ] ; [ 2a + b ; a + 2b ] );

4.( [ a + 3b ; 3a b ] ; [ a + 3b ; 3a b ] ):

5.Векторы a; b; c и d связаны соотношениями [ a ; b ] = [ c ; d ];

[a ; c ] = [ b ; d ]: Доказать коллинеарность векторов a d и b c:

6.При каком значении векторы p = a + 5b и q = 3a b окажутся коллинеарными, если a и b неколлинеарны?

7.Разложить вектор p = [ 3a + b 2c ; a b + 5c ] по взаимно перпендикулярным ортам a; b; c; образующим правую тройку.

8.Вычислить длину вектора q = [ 3a + 4b + 5c ; a + 6b + 4c ]; если a; b; c образуют левую ортонормированную тройку.

9.Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, по-

строенного на векторах a = 2e1 + e2 e3 и b = e1 3e2 + e3:

Даны векторы a = (3; 1; 2) и b = (1; 2; 1): Вычислить координаты вектора:

10.[ a ; b ];

11.[ 2a + b ; b ];

12.[ 2a b ; 2a + b ]:

Даны точки A(2; 1; 2); B(1; 2; 1); C(3; 2; 1): Найти координаты вектора:

13.[ AB ; BC ];

14.[ BC 2CA ; CB ]:

15.Вычислить синус угла, образованного векторами a = (2; 2; 1) и b = (2; 3; 6):

16.Вычислить проекцию вектора a = 3e1 12e2 +4e3 на ось, имеющую направление вектора b = [ e1 2e3 ; e1 + 3e2 4e3 ]:

5

17.Вычислить синус угла между векторами a = (1; 1; 2) и b = (3; 5; 4):

18.Вычислить проекцию вектора a = 2e1 e2 + 3e3 на ось, имеющую

направление вектора b = [ e1 e2 + 3e3 ; e2 + e3 ]: Вычислить площадь треугольника ABC :

19.A(1; 2; 0); B(3; 0; 3); C(5; 2; 6);

20.A( 1; 0; 1); B(0; 2; 3); C(4; 4; 1):

Вычислить длину высоты треугольника ABC; опущенной из вершины

B :

21.A(1; 1; 2); B(5; 6; 2); C(1; 3; 1);

22.A(3; 2; 1); B(3; 4; 5); C(7; 0; 3):

23.Вектор x перпендикулярен векторам a = (4; 2; 3) и b = (0; 1; 3); образует с осью Oy тупой угол. Зная, что j x j = 26; найти его координаты.

24.Вектор x перпендикулярен оси Oz и вектору a = (8; 15; 3); образует острый угол с осью Ox: Зная, что j x j = 51; найти его координаты.

25.Найти вектор x; ортогональный векторам a = (2; 3; 1) и b = (1; 2; 3); если он удовлетворяет условию ( x ; c ) = 10; где c = (1; 2; 7):

26.Найти вектор x; ортогональный векторам a = (1; 1; 2) и b = (1; 2; 3); и удовлетворяющий условию ( x ; c ) = 6; если c = (1; 5; 5):

Векторы a и b ортогональны. Зная jaj = 3 и jbj = 4; вычислить:

27.j [ 5a 2b ; 3a + b ] j;

28.j [ 4a 7b ; a + 3b ] j:

Векторы a и b образуют угол 23 : Зная jaj = 1 и jbj = 2; вычислить:

29.( [ a + 2b ; 5a b ] ; [ a + 2b ; 5a b ] );

30.( [ 2a b ; 5a + 4b ] ; [ 2a b ; 5a + 4b ] ):

Задание № 5

Известны три вершины тетраэдра ABCD и его объем v ед3: Найти координаты четвертой вершины, если она лежит на оси O :

Известны три вершины треугольной призмы ABCA0B0C0 и ее объем v ед3: Найти координаты остальных вершин, если одна из них лежит на оси

6

Вычислить объем тетраэдра ABCD :

10.A(2; 1; 1); B(5; 5; 4); C(3; 2; 1); D(4; 1; 3);

11.A(1; 2; 3); B(9; 6; 4); C(5; 2; 6); D(3; 0; 4);

12.A(0; 1; 2); B(1; 3; 4); C( 2; 5; 6); D(8; 11; 3);

13.A(1; 1; 0); B(5; 3; 5); C(7; 7; 6); D( 3; 2; 7):

Вычислить объем треугольной призмы ABCA0B0C0 :

14.A(1; 2; 3); B(2; 4; 5); C( 1; 6; 7); A0(9; 12; 2);

15.A(2; 0; 1); B(6; 4; 6); C(8; 8; 7); A0( 2; 1; 8);

16.A(3; 0; 2); B(6; 6; 5); C(4; 3; 0); A0(5; 2; 4);

17.A(2; 3; 4); B(10; 7; 5); C(6; 3; 7); A0(4; 1; 5):

Найти длину высоты тетраэдра ABCD; опущенной из вершины D :

18.A(2; 3; 1); B(4; 1; 2); C(6; 3; 7); D( 5; 4; 8);

19.A(1; 3; 2); B(1; 2; 4); C(4; 4; 2); D(4; 8; 8);

20.A(3; 1; 2); B(7; 5; 7); C(9; 9; 8); D( 1; 0; 9):

Найти объем параллелепипеда, натянутого на векторы p; q; r :

Вычислить объем параллелепипеда ABCDA0B0C0D0; зная вершину A

иконцы выходящих из нее ребер:

26.A(1; 2; 3); B(9; 6; 4); C(3; 0; 4); A0(5; 2; 6);

27.A(1; 1; 2); B(3; 5; 6); C(4; 0; 10); A0(8; 2; 1);

28.A(1; 2; 0); B(4; 4; 3); C(2; 1; 2); A0(3; 0; 2);

29.A(0; 1; 2); B(8; 5; 3); C(4; 1; 5); A0(2; 1; 3);

30.A( 1; 0; 1); B(0; 2; 3); C( 3; 4; 5); A0(7; 10; 4):

Задание № 6

Найти какой-нибудь базис системы векторов. Определить координаты остальных векторов в этом базисе:

1.a1 = (2; 3; 4); a2 = (3; 4; 6); a3 = (1; 1; 1); a4 = (1; 1; 2); a5 = (4; 5; 7);

2.a1 = (2; 2; 1); a2 = (1; 2; 2); a3 = (2; 1; 2); a4 = (4; 3; 3); a5 = (5; 5; 5);

3. a1 = (1; 1; 1); a2 = ( 1; 1; 1); a3 = (1; 1; 1); a4 = (4; 0; 0); a5 = (3; 5; 6);

4. a1 = (3; 2; 1); a2 = (4; 3; 2); a3 = (1; 1; 1); a4 = (2; 2; 0); a5 = (6; 5; 2);

5.a1 = (4; 3; 1); a2 = (1; 3; 4); a3 = (1; 0; 1); a4 = (3; 3; 3); a5 = (9; 7; 4);

6.a1 = (5; 6; 2); a2 = (4; 5; 1); a3 = (3; 2; 2); a4 = (12; 13; 5); a5 = (6; 9; 1);

7.a1 = (2; 3; 1); a2 = (3; 1; 2); a3 = (1; 2; 3); a4 = (4; 4; 4); a5 = (1; 3; 2);

8.a1 = (7; 8; 6); a2 = (6; 4; 5); a3 = (1; 3; 1); a4 = (2; 7; 2); a5 = (9; 15; 8);

7

9. a1 = ( 3; 4; 1); a2 = (2; 1; 1); a3 = (1; 1; 1); a4 = (0; 5; 2); a5 = (2; 7; 0);

10. a1 = (6; 4; 2); a2 = (4; 6; 2); a3 = (2; 6; 4); a4 = (3; 6; 3); a5 = (7; 12; 5);

a5 = (1; 0; 1):

8