12.3. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду путем перехода к новому базису

Линейный оператор задается в базисе (I) диагональной матрицей тогда и только тогда, когда все векторы базиса (I) - собственные.

Действительно, пусть (I) - собственные векторы, отвечающие собственным значениям соответственно, т.е.

,

,

………………. (12.5)

.

Из равенств (12.5) следует справедливость разложений по базису (I):

,

,

…………………………………….

,

и по определению матрицы оператора (определение 3) имеем

, (12.6)

т.е. матрица оператора в (I) - диагональная (по диагонали стоят собственные значения).

Обратно. Пусть - матрица оператора в базисе (I) имеет диагональный вид (12.6), следовательно, ,…, и, таким образом, векторы - собственные с собственными значениями .

Вопрос о том, можно ли линейный оператор задать в некотором базисе диагональной матрицей, равносилен вопросу о том, существует ли для данного оператора базис, состоящий из собственных векторов.

Теорема 5. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в , - собственные векторы оператора , отвечающие собственным значениям . Если , то - линейно независимы.

Доказательство. Доказательство проведем индукцией по числу векторов .

При имеем один вектор (по определению собственный вектор отличен от нулевого), вектор составляет линейно независимую систему.

Пусть утверждение теоремы справедливо для : всякая система собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям, является линейно независимой.

Пусть имеется система собственных векторов , относящихся к различным собственным значениям ( ).

Предположим, система линейно зависима, т.е. найдутся числа , не все равные нулю, такие, что выполняется равенство

. (12.7)

Не ограничивая общности рассуждений, можем считать, что (иначе перенумеруем векторы).

Применим к обеим частям равенства (12.7) оператор :

.

Из последнего равенства получим

. (12.8)

Обе части равенства (12.7), умноженные на , вычтем почленно из обеих частей (12.8), получим

. (12.9)

Равенство (12.9) означает, что векторы линейно зависимы (их линейная комбинация с коэффициентами, не равными одновременно нулю, например, коэффициент при отличен от нуля, равна ), но это противоречит предположению индукции: векторы собственные, относящиеся к различным собственным значениям. Следовательно, - линейно независимы, и утверждение теоремы справедливо при любом . Теорема доказана.

Определение 9. Линейный оператор называется линейным оператором с простым спектром, если все его характеристические корни действительны и различны.

Теорема 6. Всякий линейный оператор с простым спектром может быть задан диагональной матрицей.

Доказательство. Пусть - линейное пространство, , - линейный оператор в , имеет простой спектр. Тогда характеристических корней . Пусть это числа , в силу теоремы 4 - собственные значения оператора .

Пусть - соответствующие этим собственным значениям собственные векторы, тогда согласно теореме 5 линейно независимы, и так как , - базис. В этом базисе, как было отмечено выше, матрица оператора имеет вид

и является диагональной матрицей.

Теорема доказана.

Пример 6. Линейный оператор задан своей матрицей в некотором базисе. Выяснить, существует ли для данного оператора базис, в котором его матрица имеет диагональный вид. В случае положительного ответа найти этот базис и соответствующую ему матрицу .

Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение:

,

,

откуда , - характеристические корни оператора . Они вещественны и различны, следовательно, согласно теореме 6 для оператора существует базис, состоящий из собственных векторов, и в этом базисе матрица оператора имеет вид

.

Находим собственные векторы.

При имеем

,

или . Все ненулевые векторы вида являются собственными с собственным значением .

При имеем

,

или . Все ненулевые векторы вида - собственные с собственным значением .

Полагаем , имеем , .

В базисе матрица оператора имеет вид .

155