12.2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Определение 4. Квадратные матрицы и называются подобными, если существует невырожденная матрица , такая, что

.

Теорема 2. Пусть - линейное пространство, (I) и (II) - два базиса в , - матрица перехода от (I) к (II), - линейный оператор в , - матрица оператора в (I), - матрица оператора в (II). Тогда

.

Это утверждение примем без доказательства.

Пусть . Матрица , где - единичная матрица порядка , а - произвольное вещественное число, называется характеристической матрицей для . Она имеет вид

.

Определитель - некоторый многочлен порядка относительно .

Определение 5. Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы , а его корни - характеристическими корнями матрицы .

Теорема 3. Подобные матрицы имеют одинаковый набор характеристических корней.

Доказательство. Пусть , - невырожденная матрица. Имеем

.

Характеристические многочлены матриц В и С совпадают, следовательно, совпадают и характеристические корни.

Теорема доказана.

Следствие. Матрицы, задающие линейный оператор в различных базисах, имеют один набор характеристических корней (теорема 2 + теорема 3).

Определение 6. Характеристические корни матрицы линейного оператора (в любом базисе) называются характеристическими корнями линейного оператора.

Определение 7. Весь набор характеристических корней называется спектром оператора.

Определение 8. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в . Вектор называется собственным вектором оператора , если найдется действительное число такое, что

.

Число называется собственным значением, соответствующим данному собственному вектору .

Справедливо следующее утверждение, которое приведем без доказательства.

Теорема 4. Действительные характеристические корни линейного оператора, если они существуют, и только они, служат собственными значениями линейного оператора.

Пример 5. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора зеркального отражения относительно оси .

Решение. Матрица оператора была найдена в примере 2: .

Составим характеристическое уравнение:

,

откуда и , .

Числа , - характеристические корни линейного оператора (в соответствии с определением 6), они действительны и, согласно теореме 4, являются собственными значениями. Найдем соответствующие им собственные векторы.

По определению собственного вектора , но , следовательно, ищем векторы, удовлетворяющие уравнению , или , или

. (12.3)

При имеем . Подставим ее в (12.3):

,

что равносильно системе уравнений

(12.4)

откуда , и решением системы (12.4) являются все векторы вида

,

- произвольное вещественное число, отличное от нуля.

При получаем , подставляем в (12.3):

,

получаем систему уравнений

откуда , - произвольное вещественное число, отличное от нуля.

Г еометрически это означает, что любой ненулевой вектор, приложенный к началу координат с концом на оси , является собственным, отвечающим собственному значению (действие на него оператора сводится к умножению его на , а любой ненулевой вектор с концом на оси является собственным, отвечающим собственному значению (т.е. действие оператора на этот вектор заключается в умножении его на (рис. 12.5)).

Упражнение. - линейное пространство всех геометрических векторов, - линейный оператор проектирования на ось . Найти все его собственные числа и собственные векторы.