Лекция 11
Связь между базисами линейного пространства.
Линейные подпространства
Матрица перехода от базиса к базису. Связь координат одного и того же вектора в двух базисах. Линейные подпространства. Примеры |
11.1. Связь между базисами линейного пространства
Пусть
-
линейное пространство,
(I)
и
(II)
- два базиса в
.
Так как (I)
- базис, любой вектор из
,
в частности любой вектор системы (II),
можно представить в виде линейной
комбинации векторов системы (I),
т.е. найдутся такие числа
,
что
………………………………. (11.1)
Определение 1.
Матрица
называется матрицей перехода от базиса
(I) к базису (II).
Замечание 1. Столбцы матрицы перехода , являются координатами в разложении векторов по базису (I).
Справедливость этого замечания непосредственно следует из равенств (11.1).
Замечание 2. Матрица перехода от базиса к базису является невырожденной матрицей.
Доказательство этого факта опустим.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть
- линейное пространство,
(I) и
(II) - два базиса в
,
- матрица перехода от (I)
к (II),
,
и
,
тогда
.
(11.2)
Доказательство.
Подставим в разложение
по базису (II) выражения
из (11.1), получим
.
Последнюю сумму запишем развернуто:
.
По условию , используя теорему о единственности разложения вектора по базису (теорема 3 в лекции 10), получим
,
,
……………………………………
,
что в матричном виде выглядит как равенство
.
Отсюда следует
.
Теорема доказана.
Пример
1.
- линейное пространство всех геометрических
векторов плоскости,
(I)
- произвольный декартов базис,
(II)
- декартов базис, полученный поворотом
векторов
и
на угол
против хода часовой стрелки. Найти
матрицу перехода от (I) к
(II) и связь координат
одного и того же вектора в (I)
и (II).
Имеем
,
(рис. 11.1). Тогда
.
- матрица перехода от (I) к (II).
Найдем
.
и
.
Формула (11.2) в этом случае имеет вид
,
где
- координаты произвольного вектора
в базисе (I), а
– координаты этого же вектора в базисе
(II).
(Сравните с формулами (5.24) в Лекции 5).
Пример
2.
- произвольное линейное пространство,
.
Векторы
,
и
заданы своими координатами в некотором
базисе
.
Доказать, что система
- базис в
,
и найти координаты вектора
в базисе
.
Сначала докажем,
что система
- базис. Рассмотрим линейную комбинацию
векторов
и
,
равную нулевому вектору
:
.
Покоординатно последнее равенство запишется в виде системы двух уравнений:
(11.3)
Определитель
системы (11.3)
,
следовательно, система (11.3) имеет
единственное решение
.
Итак, допустив, что линейная комбинация векторов и равна , мы с необходимостью получили, что коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю. Это означает, что система векторов линейно независима, а так как , векторы являются базисом в . Обозначим этот базис (II).
Найдем матрицу перехода от (I) к (II).
В силу определения
1
(координаты векторов
и
в (I) располагаем по
столбцам).
Обозначим через
координаты
вектора
в (II).
Воспользуемся теоремой 1. Найдем . Имеем
,
и по формуле (11.2) получим
.
Итак,
.
Упражнения.
1.
- линейное пространство многочленов
степени
.
Доказать, что система многочленов
образует базис в
.
Найти матрицу перехода от базиса
к этому базису и координаты многочлена
в нем.
2. В произвольном
линейном пространстве векторы
и
заданы своими координатами в некотором
базисе
:
,
,
,
.
Доказать, что система векторов
- базис в
,
и найти координаты
в этом базисе.
3. В произвольном
линейном пространстве
векторы
(I)
и
(II)
заданы своими координатами в некотором
базисе
,
,
,
,
,
.
Доказать, что системы (I)
и (II) являются базисами в
,
и найти матрицу перехода от (I)
к (II).
11.2. Линейные подпространства
Определение 2.
Пусть
- линейное пространство. Непустое
подмножество
линейного пространства
(
)
называется линейным подпространством
в
,
если выполняются два условия:
1)
;
2)
при любом вещественном числе
.
Пример
3. Пусть
- линейное пространство всех
арифметических
-мерных
векторов
;
- совокупность всех векторов, у которых
первая и последняя компоненты равны
нулю, т.е. векторов вида
.
- подпространство в
.
Действительно,
пусть
и
,
следовательно, по определению
и
.
По правилу сложения векторов в
и, таким образом, сумма любых двух
векторов из
принадлежит
.
Пусть
и
- произвольное вещественное число.
Но
(так как
),
следовательно, по правилу умножения
вектора на число в
и вместе с любым вектором произведение
его на
тоже принадлежит
.
В соответствии с определением 2 это
означает, что
- линейное подпространство в
.
Замечание. Если - линейное подпространство в , то само является линейным пространством относительно введенных в операций сложения и умножения на число.
Действительно, требования 1) и 2) в определении 2 означают, что в определены операции сложения векторов и умножения вектора на число.
Аксиомы 1 и 2 выполняются в , так как они имеют место в . Убедимся в справедливости аксиомы 3.
Пусть
,
,
следовательно, согласно условию 2)
,
но по следствию 5 из аксиом в
,
таким образом,
и в
справедлива аксиома 3.
Пусть
,
.
Следовательно, согласно условию 2)
,
но по следствию 8 из аксиом в
,
таким образом,
и в
справедлива аксиома 4.
Аналогично проверяется справедливость аксиом 5 - 8, следовательно, - линейное пространство.
Пусть
- произвольное линейное пространство,
- некоторая система векторов в
.
Рассмотрим совокупность всех векторов
вида
,
где
принимают всевозможные вещественные
значения. Обозначим множество этих
векторов
.
называется линейной оболочкой
векторов
.
является подпространством в
.
Действительно,
(так как, например, сами векторы
,
,
принадлежат
).
Пусть
,
,
следовательно, по определению
такие, что
,
.
Имеем
и
.
Пусть
,
- произвольное вещественное число.
Имеем
и
.
Таким образом, выполняются условия 1) и 2) определения 2 и является линейным подпространством в .
Говорят, что порождено системой векторов или "натянуто" на систему .
Заметим, что само линейное пространство может рассматриваться как линейная оболочка любого своего базиса.
Пример
4.
Найти
размерность и базис линейной оболочки
векторов
,
,
.
Найдем ранг матрицы,
строками которой являются данные векторы
,
,
:
~
~
.
Минор второго
порядка
,
следовательно, первые две строки матрицы
линейно независимы. Значит, векторы
и
составляют линейно независимую систему
векторов в
,
а следовательно, и в линейной оболочке
,
и вектор
через них линейно выражается. Тогда
любой вектор
тоже линейно выражается через
и
.
Векторы
и
являются базисом в
,
.
Упражнение.
-
линейное пространство арифметических
векторов
.
Найти размерность и все
базисы линейной оболочки векторов
,
,
,
.