Лекция 14
Квадратичные формы
Определение квадратичной формы. Линейное преобразование неизвестных. Ранг формы. Основная теорема о квадратичных формах. Положительно определенные формы. Критерий Сильвестра. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду |
14.1. Приведение квадратичной формы
к каноническому виду
Определение 1. Квадратичной формой
от
неизвестных
называется сумма вида
,
(14.1)
или развернуто
.
(14.2)
Матрица
,
называется матрицей квадратичной
формы (14.1), а ее ранг – рангом формы
(14.1).
Если ранг формы равен
,
форма называется невырожденной (в
этом случае ранг матрицы
равен
и матрица
невырожденная).
В (14.2)
,
,
,
поэтому коэффициент при слагаемом
можно обозначить
,
т.е. допустить, что
.
Ввиду последнего равенства - симметрическая матрица.
Запишем квадратичную форму (14.1) в
матричном виде. Пусть
,
тогда
и
.
(14.3)
Действительно, по определению умножения матриц имеем
Далее
находим
и равенство (14.3) выполняется.
Определение 2. Линейным преобразованием
неизвестных называется такой переход
от системы
неизвестных
к системе
неизвестных
,
при котором старые неизвестные выражаются
через новые линейно с некоторыми
коэффициентами:
(14.4)
Линейное преобразование (14.4) однозначно
определяется матрицей из коэффициентов
,
.
Систему равенств (14.4) можно записать в матричном виде
.
(14.5)
Определение 3. Линейное преобразование
неизвестных с матрицей
называется невырожденным, если
- невырожденная матрица.
Теорема
1.
Пусть
вслед за линейным преобразованием
(14.4) с матрицей
выполняется
линейное преобразование
с матрицей
,
,
.
Результирующее преобразование будет
линейным с матрицей
.
Доказательство. По условию
(14.6)
Подставив
в (14.4) выражения для
,
,
из (14.6), получим линейные выражения для
через
, т.е. результат последовательного
выполнения двух линейных преобразований
неизвестных является линейным
преобразованием.
Далее
имеем
,
.
Таким образом, результирующее
преобразование имеет матрицей
.
Пример 1. Вслед за линейным преобразованием
выполняется линейное преобразование
Найти матрицу результирующего
преобразования и выписать выражения
через
.
Решение. Имеем , , где
,
.
По теореме 1 матрица результирующего преобразования
,
и, таким образом,
Утверждение 1. Для любых двух матриц А и В
.
Доказательство. Пусть
,
.
Обозначим
,
,
,
.
По
определению произведения матриц
.
Обозначим
.
По определению транспонированной
матрицы
.
Обозначим
.
Элемент
равен сумме произведений элементов
-ой
строки матрицы
на соответствующие элементы
-го
столбца
=
сумме произведений элементов
-го
столбца
на соответствующие элементы
-й
строки
,
и приходим к равенству
.
Таким
образом,
,
т.е.
.
Теорема
2.
Квадратичная
форма от n
неизвестных с матрицей
после
выполнения линейного преобразования
неизвестных с матрицей
превращается в квадратичную форму от
новых неизвестных с матрицей
.
Доказательство. Пусть
(14.7)
и
,
,
.
В
соответствии с утверждением 1
.
Подставим
и
в (14.7):
.
Матрица симметрическая, так как
.
Таким
образом,
преобразовалась в квадратичную форму
от неизвестных
с матрицей
.
Докажем два вспомогательных утверждения.
Утверждение 2. Ранг произведения матриц не выше ранга сомножителей.
Доказательство. Достаточно провести доказательство для двух сомножителей.
Пусть
,
,
,
.
По определению произведения двух матриц
,
,
(14.8)
,
,
……………………………….
,
или
,
т.е.
k-й
столбец матрицы
является линейной комбинацией столбцов
матрицы
с коэффициентами
и система столбцов матрицы
линейно выражается через систему
столбцов матрицы
,
следовательно,
.
По определению произведения матриц .
Аналогично,
фиксируя в (14.8)
и придавая
значения
,
получаем, что
-я
строка
является линейной комбинацией строк
матрицы
и
.
Утверждение 2 доказано.
Утверждение 3. Ранг произведения произвольной матрицы на невырожденную квадратную матрицу слева или справа равен рангу .
Доказательство.
Пусть
.
В соответствии с утверждением 2
.
Умножим
последнее равенство на
справа:
и
опять воспользуемся леммой 2:
.
Отсюда
.
Следствие из теоремы 2. Ранг квадратичной формы не изменяется при выполнении невырожденного линейного преобразования неизвестных.
Доказательство. Пусть - матрица квадратичной формы , - матрица некоторого невырожденного линейного преобразования неизвестных, - матрица квадратичной формы после выполнения преобразования .
По
теореме 2
,
а в силу утверждения 3
(
).
Определение 4. Каноническим видом квадратичной формы называют сумму квадратов неизвестных с некоторыми коэффициентами.
Замечание. Число отличных от нуля коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы равно рангу формы.
В самом деле, пусть квадратичная форма
(14.9)
приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием неизвестных к каноническому виду
,
(14.10)
где
- новые неизвестные.
Пусть
-
матрица квадратичной формы (14.9),
,
,
,
- матрица квадратичной формы (14.10).
Матрица
имеет следующий вид:
.
Согласно следствию из теоремы 2
.
Утверждение, что
,
означает, что в матрице
на диагонали ровно
элементов отличны от нуля, тогда в
каноническом виде (14.10) ровно
слагаемых с коэффициентами, отличными
от нуля.
Теорема 3 (основная теорема о квадратичных формах). Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду.
Доказательство. Доказательство проведем индукцией по числу неизвестных.
При
имеем
,
т.е.
- канонического вида.
Пусть
утверждение теоремы справедливо для
:
всякую квадратичную форму от
неизвестного можно привести к каноническому
виду некоторым невырожденным линейным
преобразованием и пусть
-
квадратичная форма от неизвестных .
Случай
1.
В форме
присутствует квадрат хотя бы одного
неизвестного. Не ограничивая общности
рассуждений, можно считать, что
(в противном случае можно заново
перенумеровать неизвестные). Тогда
можно записать в виде
.
(14.11)
Действительно,
,
и
в первое слагаемое в (14.11) вошли все члены
формы
,
содержащие неизвестное
;
для того, чтобы (14.11) было справедливо,
пришлось добавить, а затем вычесть
несколько слагаемых, не содержащих
,
поэтому в (14.11)
- некоторая квадратичная форма от
неизвестных
.
От
неизвестных
перейдем к
по формулам
(14.12)
или
в матричной записи:
,
где
.
Матрица
невырожденная, так как
,
следовательно,
и
.
Невырожденное линейное преобразование неизвестных приводит форму к виду
.
(14.13)
Квадратичная
форма
- форма от
-го
неизвестного и по предположению индукции
найдется невырожденное линейное
преобразование неизвестных
,
приводящее ее к каноническому виду
.
Пусть это преобразование с матрицей
,
:
(
- невырожденная матрица и
).
Рассмотрим теперь линейное преобразование неизвестных :
(14.14)
или
в матричной записи
,
где
.
Линейное
преобразование (14.14) невырожденное, так
как
и приводит квадратичную форму (14.13) к
виду
(14.15)
Последовательное
выполнение линейных преобразований
(14.12) и (14.14) является линейным преобразованием
и имеет матрицей
(теорема 1). Оно будет невырожденным, так
как
.
Линейное преобразование
приводит квадратичную форму
к каноническому виду (14.15).
Утверждение теоремы в случае 1 доказано.
Случай
2.
Квадратичная форма
не содержит ни одного квадрата неизвестного
(
).
Совершим
невырожденное линейное преобразование,
приводящее к появлению квадратов
неизвестных. Пусть, например,
:
.
(14.16)
Положим
или
.
Линейное
преобразование
невырожденное, так как
,
оно приведет квадратичную форму (14.16) к
виду
,
появились
квадраты неизвестных
и
,
свели к уже рассмотренному случаю 1.
Теорема 3 полностью доказана.
Пример 2. Квадратичную форму
привести к каноническому виду посредством невырожденного линейного преобразования.
Решение. Соберем все слагаемые, содержащие неизвестное , и дополним их до полного квадрата
.
(Так как
.)
Положим
(14.17)
и
от неизвестных
форма
примет вид
.
Далее
положим
(14.18)
и от неизвестных форма примет уже канонический вид
.
(14.19)
Разрешим равенства (14.17) относительно :
Последовательное
выполнение линейных преобразований
и
,
где
,
,
имеет матрицей
.
Линейное
преобразование неизвестных
приводит
квадратичную форму
к каноническому виду (14.19).
14.2. Положительно определенные квадратичные формы
Определение 5. Нормальным видом
квадратичной формы называется сумма
квадратов неизвестных с коэффициентами
«+!» или «
».
Теорема 4. Всякую квадратичную форму можно привести некоторым невырожденным линейным преобразованием неизвестных к нормальному виду.
Доказательство.
Пусть
-
квадратичная форма ранга
.
Следовательно,
- линейное преобразование неизвестных,
приводящее
к виду
,
(14.20)
где
,
(теорема 3 и следствие из теоремы 2).
Положим
(14.21)
Равенства (14.21) можно записать в виде следующего матричного равенства:
,
где
-
невырожденная матрица (так как
),
следовательно, существует
и равенство
можно разрешить относительно
:
.
Последовательное
выполнение линейных преобразований
и
является линейным преобразованием с
матрицей
(теорема 1); линейное преобразование
приводит квадратичную форму
к нормальному виду
.
Теорема 4 доказана.
Определение 6. Квадратичная форма
от n неизвестных
называется положительно определенной,
если она приводится к нормальному виду,
содержащему n
квадратов неизвестных с коэффициентами
«+1»:
Теорема 5. Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда при любых значениях неизвестных, хотя бы одно из которых отлично от нуля, эта форма принимает положительные значения.
Доказательство. Пусть положительно определена, т.е. приводится некоторым невырожденным линейным преобразованием к виду