.
Так
как
- невырожденная матрица,
и
.
Пусть
,
,
тогда
(14.22)
Пусть
-
набор неизвестных, среди которых хотя
бы одно отлично от нуля. Следовательно,
в равенствах (14.22) среди соответствующих
значений
найдется
.
Действительно, допустим,
.
Тогда система линейных алгебраических
уравнений
с
определителем
имеет единственное решение
,
а по условию хотя бы одно из неизвестных
,
,
отлично от нуля, получили противоречие
и, следовательно, среди
,
,
есть
.
Тогда
(так как
).
Обратно.
Пусть
.
Допустим, что
не является положительно определенной,
- это означает, что в нормальном виде, к
которому приводится квадратичная форма
некоторым невырожденным линейным
преобразованием
,
либо отсутствует квадрат хотя бы одного
неизвестного, либо входит с коэффициентом
.
Пусть это неизвестное
.
Тогда
,
либо
.
Рассмотрим следующий набор неизвестных :
,
.
(14.23)
Пусть неизвестные , , связаны с , , равенствами (14.22). Набор неизвестных , соответствующий (14.23), найдем из системы уравнений
(14.24)
Пусть
- решение системы (14.24), следовательно,
,
так как если
,
не удовлетворяется, например, последнее
уравнение в (14.24).
Имеем
и, таким образом,
,
получили противоречие, и, значит,
нормальный вид квадратичной формы
содержит
квадратов неизвестных с коэффициентами
+1 и
является положительно определенной
формой.
Теорема 5 доказана.
Определение 7. Пусть
,
,
.
Миноры
,
,
,
…,
называются главными минорами квадратичной
формы
.
Сформулируем без доказательства следующее утверждение.
Теорема 6 (критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры строго положительны.
Пример 3.
Определить, является ли положительно
определенной квадратичная форма
.
Решение. Составим матрицу квадратичной формы
Главные миноры формы
,
,
,
согласно критерию Сильвестра форма не
является положительно определенной.
14.3. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
Пусть на плоскости задана декартова
система координат (декартов базис
,
и точка О – начало координат).
Рассмотрим общее уравнение 2-го порядка:
.
(14.25)
Обозначим через
сумму старших слагаемых:
и рассмотрим квадратичную форму
.
Ее матрица
симметрическая.
Пусть
- произвольное евклидово пространство,
,
- линейный оператор в
с матрицей
в базисе
,
,
следовательно,
- самосопряженный оператор в
.
Тогда существует ортонормированный
базис, состоящий из собственных векторов
оператора
(см.
лекцию 13, § 13.3, теорема 9), в этом базисе
матрица оператора
диагональная и имеет вид
,
где
- собственные значения (см. § 12.3).
Если матрица перехода от базиса
,
к базису
,
то
(см.
§ 12.2).
Рассмотрим теперь линейное преобразование
неизвестных с матрицей
:
.
Квадратичная форма от новых неизвестных
имеет вид
,
где
.
Итак, если
- ортонормированный базис из собственных
векторов оператора
,
матрица
как матрица перехода от ортонормированного
базиса к ортонормированному ортогональна
(
)
, следовательно, матрица квадратичной
формы от неизвестных
диагональная и
.
Такой способ приведения квадратичной формы к каноническому виду называется методом собственных векторов.
Пример 4.
Привести квадратичную форму
к каноническому виду методом собственных
векторов.
Матрица
квадратичной формы имеет вид
.
Рассмотрим в произвольном евклидовом
пространстве
,
,
линейный оператор
с матрицей
в некотором ортонормированном базисе
.
Найдем его собственные векторы.
Характеристическое уравнение
,
,
его корни
,
.
Имеем для
:
и
,
;
для
:
и
,
.
Положим
,
и получим
,
.
В базисе
,
матрица оператора
диагональная:
.
Нормируем векторы
и
:
и
,
.
Матрица перехода от базиса
,
к базису
,
.
Вернемся к квадратичной форме. Положим
,
т.е.
(14.26)
Тогда
.
Замечание.
Формулы (14.26) – формулы поворота осей
координат на угол
против хода часовой стрелки. Угол
определяется соотношениями
,
(
).
В общем случае преобразование поворота
(14.27)
приведет линию (14.25) к виду
.
(14.28)
Эта процедура называется приведением
линии 2-го порядка к главным осям (из
дальнейшего изложения будет ясно, что,
если (14.25) – эллипс или гипербола, новые
оси
и
параллельны главным осям кривой).
Коэффициенты
и
в уравнении (14.28) – характеристические
числа матрицы
и могут быть найдены как корни уравнения
, или
.
(14.29)
Обозначим
,
.
Имеем
(действительно, из (14.29) находим
,
или
,
и по теореме Виета
).
Случай 1.
(кривая эллиптического типа).
Преобразуем (14.28) следующим образом:
,
или, обозначив
,
придем к равенству
.
Положим
(14.30)
и в новой системе координат
имеем
.
(14.31)
Формулы (14.30) – формулы параллельного
переноса начала координат в точку
.
Случай 1. а) Знак
противоположен знаку
(и, следовательно, знаку
).
Тогда (14.31) определяет эллипс:
;
б)
,
уравнение (14.31) определяет одну точку:
;
в) Знаки и совпадают, нет точек (мнимый эллипс).
Случай 2.
(кривая гиперболического типа).
В этом случае знаки и противоположны.
а)
,
уравнение (14.31) определяет гиперболу:
;
б) , уравнение (14.31) принимает вид:
.
Пусть
,
тогда
и уравнение (14.31) можно переписать в
следующем виде:
.
(14.32)
Уравнение (14.32) определяет пару
пересекающихся прямых:
.
Случай 3.
(кривая параболического типа).
Пусть для определенности
(тогда
).
Уравнение (14.25) преобразованием (14.27) приводится к виду
.
(14.33)
Пусть
,
тогда (14.33) можно переписать следующим
образом:
.
Получим
и
.
(14.34)
Уравнение (14.34) определяет параболу.
Если же
,
то уравнение (14.33) перепишем в виде
.
Обозначив
и положив
,
придем к уравнению
.
(14.35)
а)
,
уравнение (14.35) определяет пару параллельных
прямых:
.
б)
,
уравнение (14.35) определяет пару совпадающих
прямых:
.
в)
,
нет точек (пара мнимых прямых).
Сведем полученные результаты в таблицу:
Кривая эллиптического типа |
и разных знаков |
Эллипс |
|
и одного знака |
Мнимый эллипс |
||
|
Точка |
||
Кривая гиперболического типа |
|
Гипербола |
|
|
Пара пересекающихся прямых |
||
Кривая параболического типа |
|
и одного знака |
Пара мнимых параллельных прямых |
и разных знаков |
Пара параллельных прямых |
||
|
Пара совпадающих прямых |
||
|
|
Парабола |
|
Пример 5. Определить вид и расположение кривой 2-го порядка
.
(14.36)
Слагаемые 2-го порядка в (14.36) составляют квадратичную форму
,
которую преобразование неизвестных по формулам
(14.37)
приводит к сумме квадратов
(пример 4).
Тогда уравнение кривой (14.36) преобразованием (14.37) приводится к виду
.
Здесь
,
и, следовательно,
,
кривая эллиптического типа.
Как в случае 1, соберем слагаемые,
содержащие неизвестное
и дополним их до полного квадрата,
аналогично поступим со слагаемыми,
содержащими
:
,
или
Положим
и получим
.
(14.38)
Уравнение (14.38) – уравнение эллипса с
полуосями
и центром в точке
.
Рис. 14.1 - схематический рисунок кривой.