7.5. Ламинарное и турбулентное течения

Можно выделить два вида течения жидкости (или газа). В одних случаях жидкость как бы разделяется на слои, которые скользятдруг относительно друга, не перемешиваясь. Такое течение называется ламинарным (слоистым). Если в ламинарный поток ввести подкрашенную струйку, то она сохраняется, не размываясь, на всей длине потока, так как частицы жидкости в ламинарномпотоке не переходят из одного слоя в другой. Ламинарное течение стационарно. При увеличении скорости или поперечных размеров потокахарактер течения существенным образом изменяется. Возникает энергичное перемешивание жидкости. Такое течение называется турбулентным.При турбулентном течении скорость частиц в каждом данном месте все время изменяется беспорядочным образом – течение нестационарное. Если в турбулентный поток ввести окрашенную струйку, то уже на небольшом расстоянии от места ее введения окрашенная жидкость равномерно распределяется по всему сечению потока.

Английский ученый Рейнольдс установил, что характер течения зависит от значения безразмерной величины:

Re= (vl)/= (vl)/v, (7.17)

где  – плотность жидкости (или газа), v– средняя (по сечению) скорость потока,,–коэффициент вязкости жидкости,l– характерный для поперечного сечения размер (например, радиус или диаметр трубы при круглом сечении),v– кинематическая вязкость, равная отношению /.Величина (7.17) называется числом Рейнольдса. При малых значениях числа Рейнольдса наблюдается ламинарное течение. Начиная с некоторого определенного значенияRe, называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Если в качестве характерного размера для круглой трубы взять ее радиусr, то критическое значение числа Рейнольдса окажется равным примерно 1000.

Число Рейнольдса может служить критерием подобия для течения жидкостей и газов: характер течения будет совершенно одинаков, если каждому течению соответствует одно и то же значениеRe.

7.6. Течение жидкости в круглой трубе

При движении жидкости в круглой трубе скорость равна нулю у стенок трубы и максимальна на оси трубы. Полагая течение ламинарным, найдем закон изменения скорости с расстоянием r от оси трубы.

Выделим воображаемый цилиндрический объем жидкости радиуса r и длиныl(рис. 7.8). При стационарном течении скорости всех частиц жидкости остаются в каждой точке неизменными. Следовательно, сумма внешних сил, приложенных к любому объему жидкости, равна нулю. На основания рассматриваемого цилиндрического объема действуют силы давления, сумма которых равна (р₁– р₂)r². Эта сила действует в направлении движения жидкости. Кроме того, на боковую поверхность цилиндра действует сила трения, равная в соответствии с (7.16) 2rldv/dr), (имеется в виду значениеdv/dr на расстоянииr от оси трубы). Условие стационарности будет имеет вид:

(р₁– р₂)r²= – 2rl(dv/dr), (7.18)

где знак «–» выбран, поскольку скорость убывает с расстоянием от оси трубы. После разделения переменные, получим уравнение:

dv= –{(р₁– р₂)rdr}/2l, (7.19)

интегрирование которого дает:

v= –{(р₁– р₂)r²}/4l+ С. (7.20)

Постоянную интегрирования нужно выбрать так, чтобы скорость обращалась в нуль на стенках трубы, т. е. при r=R(R– радиус трубы). Из этого условия

С = {(р₁– р₂)R²}/4l. (7.21)

После подстановки С из (7.21) в (7.20) получим:

v(r) = {(р₁– р₂)(R²–r²}/4l= {(р₁– р₂)R²(1 –r²/R²}/4l. (7.22)

Значение скорости на оси трубы (r=0) равно

v₀=v(0) = {(р₁– р₂)R²}/4l. (7.23)

С учетом этого формуле (9) можно придать вид

v(r) =v₀(1 –r²/R²). (7.24)

Таким образом, при ламинарном течении скорость изменяется с расстоянием от оси трубы по параболическому закону (рис. 7.8). При турбулентном течении скорость в каждой точке меняется беспорядочным образом. При неизменных внешних условиях постоянной оказывается средняя по времени скорость в каждой точке сечения трубы. Профиль средних скоростей при турбулентном течении изображен на рис. 7.9. Вблизи стенок трубы скорость изменяется гораздо сильнее, чем при ламинарном течении, в остальной же части сечения скорость изменяется меньше.

а б

Рис. 7.8. Рис. 7.9.

Полагая течение ламинарным, можно вычислить поток жидкости Q т. е. объем жидкости, протекающий через поперечное сечение трубы за единицу времени, который будет равен

Q= {(р₁– р₂)R⁴}/8l. (7.25)

Эта формула называется формулой Пуазейля. Согласно (7.25) поток жидrости пропорционален перепаду давления на единице длины трубы, четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален коэффициенту вязкости жидкости. Формула Пуазейля применима только при ламинарном течении. Соотношение (7.25) можно использовать для определения вязкости жидкостей. Пропуская жидкость через капилляр известного радиуса, и измеряя перепад давления и потокQ, можно найти.