- •Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Производная параметрически и неявно заданных функций
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Определения
- •Теорема Ролля
- •Теорема Лагранжа
- •Тейлора многочлен
Определения
Пусть дана функция и — внутренняя точка области определения f. Тогда
x0 называется точкой локального максимума функции f, если существует проколотая окрестность такая, что
x0 называется точкой локального минимума функции f, если существует проколотая окрестность такая, что
Если неравенства выше строгие, то x0 называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.
x0 называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если
x0 называется точкой абсолютного минимума, если
Значение функции f(x0) называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.
великая теорема Ферма, знаменитая теорема Ферма, большая теорема Ферма, последняя теорема Ферма,- утверждение, что для любого натурального числа п>2 уравнение xn+yn=zn (уравнение Ферма) не имеет решений в целых ненулевых числах х, у, z.
Ферма малая теорема, одна из основных теорем теории чисел, состоящая в том, что если р – простое число и а –целое число, не делящееся на р, то ap-1 – 1 делится на р, т. е. ap-1º1(modp). Теорему высказал без доказательства П.Ферма, первое доказательство дал Л. Эйлер.
45
Теорема Ролля
Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда существует точка c (a, b), в которой f ' (c) = 0. Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a, b],то по свойству непрерывных функций она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m. Возможны два случая: максимум и минимум достигаются на концах отрезка или что – либо (или максимум, или минимум) попадает вовнутрь интервала. В первом случае f (x) = const = M = m. Поэтому производная равна нулю f ' (c) = 0 в любой точке отрезка [a, b], и теорема доказана. Во втором случае, так как f (x) дифференцируема в точке c, из теоремы Ферма следует, что f ' (c) = 0.
46
Теорема Лагранжа
Если функция f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с (a, b), что выполняется равенство
f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим уравнение хорды, проходящей через точки (a, f(a)), (b, f(b))
y = f(a) + Q·(x - a),
где есть угловой коэффициент хорды. Рассмотрим разность ординат функции и хорды
F(x) = f(x) − f(a) − Q·(x − a).
Очевидно, что функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому на интервале (a, b) найдётся такая точка с, для которой F ' (c) = 0. То есть F ' (c) = f ' (c) − Q = 0. Откуда следует
.
И, наконец, f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).
47
tg угла наклона хорды АВ к оси х.
tg угла наклона касательной.
В (a,b) найдется по крайней мере одна точка , в которой касательная к графику функции будет параллельна хорде АВ.
Следствия:
1. Если функция f дифференцируема в (a,b) и всюду в этом интервале неотрицательна (неположительна), то f не убывает (не возрастает) на этом интервале.
Доказательство:
Если .
Так как точки - произвольные точки, то для отрезка и функции f будут выполняться все условия теоремы Лагранжа, так как .
Тогда .
Если в любой точке интервала, то .
аналогично, если , то .
Доказано.
48
Теорема Коши
Теорема 20.1 (теорема Коши). Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причём производная отлична от нуля во всех внутренних точках отрезка [a;b]. Тогда внутри отрезка [a;b] найдётся такая точка c, что справедлива формула
Последнюю формулу называют формулой Коши или обобщённой формулой конечных приращений.
Доказательство. Убедимся сначала в том, что знаменатель левой части формулы Коши не равен нулю (так как в противном случае это выражение не имело бы смысла). В самом деле, если бы было , то для функции были бы выполнены все условия теоремы Ролля, и, следовательно, внутри отрезка [a;b] нашлась бы такая точка c, что, а это равенство противоречит условию теоремы. Рассмотрим теперь вспомогательную функцию.
Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна на отрезке [a;b] (поскольку непрерывныи ) и во всех внутренних точках отрезка [a;b] имеет производную, равную
.
Кроме того, очевидно, что . Таким образом, как следует из теоремы Ролля, внутри отрезка [a;b] найдётся такая точка c, что, то есть
, или
.
Разделив это равенство на (в данном случае это возможно, та как ), получим требуемое равенство.
Теорема доказана.
49