Определения

Пусть дана функция  и — внутренняя точка области определения f. Тогда

• x₀ называется точкой локального максимума функции f, если существует проколотая окрестность  такая, что

• x₀ называется точкой локального минимума функции f, если существует проколотая окрестность  такая, что

Если неравенства выше строгие, то x₀ называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

• x₀ называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

• x₀ называется точкой абсолютного минимума, если

Значение функции f(x₀) называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

великая теорема Ферма, знаменитая теорема Ферма, большая теорема Ферма, последняя теорема Ферма,- утверждение, что для любого натурального числа п>2 уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ (уравнение Ферма) не имеет решений в целых ненулевых числах х, у, z. 

Ферма малая теорема, одна из основных теорем теории чисел, состоящая в том, что если р – простое число и а –целое число, не делящееся на р, то a^p-1 – 1 делится на р, т. е. a^p-1º1(modp). Теорему высказал без доказательства П.Ферма, первое доказательство дал Л. Эйлер.

45

Теорема Ролля

   Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда существует точка c  (a, b), в которой f ' (c) = 0.    Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a, b],то по свойству непрерывных функций она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m.    Возможны два случая: максимум и минимум достигаются на концах отрезка или что – либо (или максимум, или минимум) попадает вовнутрь интервала. В первом случае f (x) = const = M = m. Поэтому производная равна нулю f ' (c) = 0 в любой точке отрезка [a, b], и теорема доказана.    Во втором случае, так как f (x) дифференцируема в точке c, из теоремы Ферма следует, что f ' (c) = 0.

46

Теорема Лагранжа

   Если функция f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с  (a, b), что выполняется равенство

f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим уравнение  хорды, проходящей через точки (a, f(a)), (b, f(b))

y = f(a) + Q·(x - a),

где  есть угловой коэффициент хорды. Рассмотрим разность ординат функции и хорды

F(x) = f(x) − f(a) − Q·(x − a).

Очевидно, что функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому на интервале (a, b) найдётся такая точка с, для которой F ' (c) = 0. То есть F ' (c) = f ' (c) − Q = 0. Откуда следует

.

И, наконец, f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).

47

 tg угла наклона хорды АВ к оси х.

tg угла наклона касательной.

В (a,b) найдется по крайней мере одна точка , в которой касательная к графику функции будет параллельна хорде АВ.

Следствия:

1. Если функция f дифференцируема в (a,b) и  всюду в этом интервале неотрицательна (неположительна), то f не убывает (не возрастает) на этом интервале.

Доказательство:

Если .

Так как точки  - произвольные точки, то для отрезка и функции f будут выполняться все условия теоремы Лагранжа, так как .

Тогда .

Если в любой точке интервала, то .

                             

аналогично, если , то .

Доказано.

48

Теорема Коши

Теорема 20.1 (теорема Коши). Пусть функции f(x) и g(x)  непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причём производная отлична от нуля во всех внутренних точках отрезка [a;b]. Тогда внутри отрезка [a;b] найдётся такая точка c, что справедлива формула

 

Последнюю формулу называют формулой Коши или обобщённой формулой конечных приращений.

Доказательство. Убедимся сначала в том, что знаменатель левой части формулы Коши не равен нулю (так как в противном случае это выражение не имело бы смысла). В самом деле, если бы было , то для функции были бы выполнены все условия теоремы Ролля, и, следовательно, внутри отрезка [a;b] нашлась бы такая точка c, что, а это равенство противоречит условию теоремы. Рассмотрим теперь вспомогательную функцию.

Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна на отрезке  [a;b] (поскольку непрерывныи ) и во всех внутренних точках отрезка [a;b] имеет производную, равную

 .

Кроме того, очевидно, что . Таким образом, как следует из теоремы Ролля, внутри отрезка [a;b] найдётся такая точка c, что, то есть

 , или

 .

Разделив это равенство на (в данном случае это возможно, та как ), получим требуемое равенство.

Теорема доказана.

49