Voprosy_po_D_U_Fiziki_primer_biletov

5

ВОПРОСЫ ПО КУРСУ

"ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ"

(специальность Физика II курс)

1. Понятие дифференциального уравнения. Простейшие виды дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные, в полных дифференциалах, Бернулли и Рикатти) и методы их решения. ([1] Гл.1,§ 2,3)

2. Линейные уравнения 1 порядка. ([1] Гл.1,§ 3,4).

3. Интегрирование линейных однородных уравнений порядка n (случай простых корней). ([1] Гл.1,§ 5,6).

4. Интегрирование линейных однородных уравнений порядка n (случай кратных корней). ([1] Гл.1,§ 5,6).

5. Интегрирование линейных неоднородных уравнений порядка n. Метод неопределенных коэффициентов и комплексных амплитуд. ([1] Гл.1,§ 7; [2] Гл.4,§ 5).

6. Интегрирование линейных неоднородных уравнений порядка n. Метод вариации произвольных постоянных. ([1] Гл.1, § 7; [2] Гл.4,§ 5).

7. Теорема существования и единственности для начальной задачи Коши в случае уравнения первого порядка. Метод Пикара. ([1] Гл.2,§ 1; [2] Гл.2,§ 6).

8. Принцип сжимающих отображений. ([1] Гл.2,§ 2,3).

9. Теорема существования и единственности для начальной задачи Коши в случае нормальной системы. ([1] Гл.2,§ 4,5; [3] Гл.4,§ 21).

10. Теорема существования и единственности решения начальной задачи Коши для линейных систем. ([1] Гл.3,§ 1).

11. Продолжаемость решений дифференциальных уравнений ([1] Гл.2,§ 5; [3] Гл.4, § 22).

12. Зависимость решений дифференциальных уравнений от параметров и начальных условий ([1] Гл.2,§ 6; [3] Гл.4, § 23).

13. Асимптотика решений дифференциальных уравнений по малому параметру (регулярный случай) ([1] Гл.2,§ 8; [2] Гл.7,§ 1).

14. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ([1] Гл.1,§ 8; [3] Гл.2,§ 14).

15. Интегрирование линейных неоднородных систем с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов и комплексных амплитуд. ([1] Гл.1,§ 8; [3] Гл.2,§ 14).

16. Функции от матриц, матричная экспонента. Способы построения матричной экспоненты. ([1] Гл.3,§ 2).

17. Теорема об оценке матричной экспоненты. ([1] Гл.3,§ 2).

18. Фундаментальная матрица линейной системы. Решение неоднородных систем линейных дифференциальных уравнений методом вариации произвольной постоянной. ([1] Гл.3,§ 5,6).

19. Определитель Вронского и его свойства. Линейная зависимость и независимость функций. ([1] Гл.3,§ 3).

20. Формула Остроградского-Лиувилля. ([1] Гл.3,§ 4).

21. Устойчивость. Определения, геометрический смысл понятия устойчивости. ([2] Гл.5,§ 1; [3] Гл.5,§ 26).

22. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. ([2] Гл.5,§ 2).

23. Функции Ляпунова. Второй метод Ляпунова. ([2] Гл.5,§ 3; [1] Гл.4,§ 6).

24. Теорема Четаева о неустойчивости. ([2] Гл.5,§ 3; [1] Гл.4,§ 6).

25. Траектории в окрестности точки покоя. Типы точек покоя. Фазовый портрет линейной системы на плоскости. ([2] Гл.5,§ 4; [1] Гл.4,§ 6); ([1] Гл.1,§ 9; [3] Гл.2,§ 15,16).

26. Краевые задачи. Постановка и физическое содержание. ([2] Гл.4,§ 2).

27. Неоднородные краевые задачи. Функция Грина. ([2] Гл.4,§ 2).

28. Численные методы решения начальной задачи Коши. Метод Эйлера, методы Рунге-Кутта.

29. Уравнение Эйлера ([4] Гл.6, § 2-3).

30. Достаточные условия экстремума ([4] Гл. 8).

31. Вариационные задачи на условный минимум ([4] Гл.9).

ЛИТЕРАТУРА

1. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. Наука, 1980.

2. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.

3. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1976.

4. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. (Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление: учебник - изд.5-е. - М.: Едиториал УРСС, 2002. - 320с.)

Дополнительная литература

1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учебное пособие для вузов. - М.: Наука, 1971. - 239с.

2. Босс В. Лекции по математике. Том 2. Дифференциальные уравнения. М.: Едиториал УРСС, 2004.

3. Глызин С.Д., Толбей А.О. Практикум по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений: учебное пособие. – Ярославль: ЯрГУ, 2011. – 68 с.

4. Самойленко А.М. и др. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи: учебное пособие для вузов. - Киев.: Высшая школа, 1989. - 382с.

Примеры экзаменационных билетов

ЯРОСЛАВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

_______________________________________________________________

Дисциплина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1.

1. Теорема существования и единственности решения начальной задачи Коши для линейных систем. Постройте 3 последовательных приближения решения системы

, .

2. Метод малого параметра. Общая схема применения метода и примеры. Найти два члена разложения

3. Найти общее решение системы x'=Ax, если

ЯРОСЛАВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

_______________________________________________________________

Дисциплина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 2.

1. Интегрирование линейных однородных уравнений порядка n (случай простых корней). Доказать, что из условия следует , где – корни многочлена , а – оператор дифференцирования.

2. Докажите теорему существования и единственности решения начальной задачи Коши для уравнений первого порядка и определите область применимости теоремы для уравнения:

.

3. Найти общее решение системы

ЯРОСЛАВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

_______________________________________________________________

Дисциплина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 3.

1. Сформулируйте принцип сжимающих отображений и определите, при каких a и b является сжимающим оператор вида

.

2. Опишите методы решения линейных дифференциальных уравнений 1 порядка и найдите интегрирующий множитель для уравнения

3. При каких значениях a устойчиво нулевое решение системы

.

ЯРОСЛАВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

_______________________________________________________________

Дисциплина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 4.

1. Фазовый портрет линейной системы на плоскости. Построить фазовый портрет системы

2. Интегрирование линейных однородных уравнений порядка n (случай кратных корней). Доказать, что из условия следует , где – корни многочлена , а – оператор дифференцирования.

3. Найти общее решение уравнения

и изобразить приближенно график решения с начальными условиями