mechanica-metod / Lab11

Федеральное агентство по образованию Сибирский государственный аэрокосмический университет

имени академика М. Ф. Решетнева

ИЗУЧЕНИЕ ПРЕЦЕССИИ ГИРОСКОПА

Методические указания к выполнению лабораторной работы 11

Красноярск 2005

УДК 537.2 (075.5)

Рецензент доктор физико-математических наук, профессор

Ю. Д. ТРОПИН

Изучение прецессии гироскопа: Метод. указания к выполне-

нию лабораторной работы 11 / Сост. Г. И. Баринов, Т. А. Слинкина, А. Г. Баранов; СибГАУ. Красноярск, 2005. 16 с.

В методической разработке приведены краткая теория, описание экспе- риментальной установки и порядок проведения работы. Даны вопросы и список рекомендуемой литературы, необходимые для подготовки, проведения и защи- ты работы.

© Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, 2005

2

Рис. 1

Для устойчивости вращения большое значение имеет, какая именно из свободных осей служит осью вращения. Опыт и теория

показывают, что вращение около осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции оказывается устойчивым, а вращение около оси со средним моментом – неустойчивым.

Так, если подбросить тело, имеющее форму параллелепипеда, приведя его одновременно во вращение, то оно, падая, будет устой- чиво вращаться вокруг осей 1 и 2 (рис. 1). Если, например, палочку подвесить за один конец нити и другой конец привести с помощью центробежной машины в быстрое вращение, то палочка будет вра- щаться в горизонтальной плоскости около вертикальной оси, перпен- дикулярной длине палочки и проходящей через ее середину (рис. 2). Это и есть свободная ось вращения (момент инерции при этом по- ложении палочки максимальный). Если теперь палочку, вращаю- щуюся вокруг свободной оси, освободить от внешних связей, то по- ложение оси вращения в пространстве некоторое время сохраняются.

5

Рис. 2

Для свободного вращения гироскопа сила тяжести не может изменить ориентацию его вращения, так как эта сила приложена к центру масс (центр вращения совпадает с центром масс), а момент

силы тяжести относительно закрепленного центра масс равен нулю, r

няет свое значение и направление в пространстве, следовательно, ось вращения гироскопа сохраняет свое положение в пространстве.

Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в простран- стве, необходимо, чтобы момент внешних сил, приложенных к вра-

щающемуся гироскопу относительно оси его центра масс, отличен от нуля, то наблюдается явление, получившее название гироскопиче-

r

ского эффекта. Оно состоит в том, что под действием пары сил F , приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось гироскопа (рис. 3) поворачивается вокруг прямой О3О3 , а не вокруг прямой О2О2, как

это казалось бы на первый взгляд (О1О1О2О2 лежат в плоскости чер- r

тежа, а О3О3 и силы F перпендикулярны ей).

6

Гироскопический эффект объясняется следующим обра-

зом. Момент М пары сил F направлены вдоль прямой О2О2. За

нет равным L¢ = L + dL.

Направление вектора L¢ совпадает с направлением вращения гироскопа (рис. 3). Таким образом, ось вращения гироскопа повора- чивается вокруг прямой О2О2. Если время действия силы мала, то,

хотя момент сил М и велик, изменение момента импульса dL гиро- скопа будет также весьма малым. Поэтому кратковременное дейст- вие сил практически не приводит к изменению ориентации оси вра- щения гироскопа в пространстве.

Рис. 3

Гироскопы применяются в различных гироскопических нави- гационных приборах (гирокомпас, гирогоризонт и т. д. Другое важ- ное применение гироскопов – поддержание заданного направления движения транспортных средств «судна, самолета» и т. д.). При вся-

7

ком отклонении от курса, вследствие каких-то воздействий положе- ние оси гироскопа в пространстве сохраняется.

2.ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

ИМЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ

Рассмотрим гироскоп, состоящий из диска, который может вращаться вокруг горизонтальной оси О1О2 и противовеса Р2 (рис. 4). Ось гироскопа шарнирно закреплена в точке О1 вертикальной под- ставки.

Противовес можно перемещать вдоль оси О1О2. Если противо- вес расположен таким образом, что точка О1 является центром тяже- сти, т. е. Р1 ×l1 = P2 ×l2 , где Р1 – вес диска гироскопа; Р2 – вес проти- вовеса (весом стержня пренебрегаем), то результирующий момент сил, действующих на систему, равен нулю (М = 0). В противном случае система бы отклонилась от положения равновесия.

Рис. 4

Пусть диск вращается с угловой скоростью ω, то на основании

Поскольку момент инерции диска I есть величина постоянная, то угловая скорость диска также постоянна.

Так как момент импульса гироскопа L = const, то гироскоп со- храняет направление своей оси в пространстве.

Передвинем противовес на небольшое расстояние вправо. Центр тяжести переместится в точку О¢ (рис. 5). Равновесие нару- шится, ось гироскопа наклонится на угол a. На основании закона

обусловленный смещением центра тяжести. Напомним, что момент

который приложен в точке О1 и направлен перпендикулярно верти- кальной плоскости, проходящей через штангу гироскопа (рис. 5).

Рис. 5

9

r

Это означает, что ось гироскопа изменит свое положение в пространстве, повернувшись за время dt на угол dj. За следующий

промежуток времени dt снова произойдет изменение момента им- r

пульса на величину dL и т. д. В результате ось гироскопа будет

непрерывно вращаться с некоторой угловой скоростью 6, описывая в пространстве конус. Такое движение называется прецессией.

Величина Ω = dϕ называется угловой скоростью прецессии. По- dt

кажем, как угловая скорость прецессии зависит от угловой скорости гироскопа. Из уравнений (1) и (2) следует, что

но dL = AB ×sin dj » AB × dj.

Из треугольника АВО1 следует, что AB = L ×sin a, тогда

Из уравнения (6) следует, что с увеличением угловой скорости вращения гироскопа w угловая скорость прецессии 6 уменьшается. Если скорость вращения диска постоянная (w = const), то отношение

10

Задача состоит в определении скорости прецессии 6 и провер- ке соотношения, полученного из (6):

3. ОПИСАНИЕ ПРИБОРА

Гироскоп, применяемый в данной работе состоит из следую- щих основных частей: электромотора с диском, штанги с делением, противовеса Р2, основания прибора с лимбом. Мотор помещен внут- ри металлического кожуха, скрепленного со штангой. Гироскоп может вращаться в вертикальной плоскости относительно оси, про- ходящей через точку О (рис. 6). Угол поворота гироскопа φ отсчиты- вается по лимбу и передается фотоэлектрическим датчиком на изме- ритель угла. Скорость вращения диска регистрируется вторым фотоэлектрическим датчиком и передается на частотомер. Точка О1 – центр тяжести системы, состоящей из мотора, кожуха, диска и штан- ги, О2 – центр тяжести противовеса Р2. Условие равновесия для этой системы может быть записано в виде

где l1 = OO1; l2 = OO2.

Передвинем противовес вправо так, чтобы расстояние его от

точки О равнялось l′ .

2

Равновесие системы нарушиться, центр тяжести переместиться в точку, отстоящую от точки О на расстояние r.

Условие равновесия относительно нового центра тяжести за- пишется так:

Или, принимая во внимание (8), получим:

11

Подставляя последнее выражение в (6), получим формулу

Если ω = const, то для различных положений противовеса

где Dli – смещение противовеса от положения равновесия.

Рис. 6

12

4.ПОДГОТОВКА К ИЗМЕРЕНИЯМ

1.Включить вилку прибора.

2.Нажать клавишу «СЕТЬ», проверяя все ли индикаторы вы- свечивают цифру нуль и светятся ли лампочки фотоэлектрических датчиков.

3.Включить двигатель и плавно поворачивая ручку потен- циометра «РЕГУЛЯТОР СКОРОСТИ» проверить, работает ли двига- тель и отклоняется ли стрелка частотомера.

4.Выключить двигатель.

5.Измерения.

Задание 1. Определение угловой скорости прецессии и мо- мента инерции ротора двигателя и диска. Проверка соотноше-

ния (10).

1.При помощи противовеса установить штангу гироскопа в горизонтальное положение.

2.Включить двигатель и отрегулировать его обороты пример- но на n = 6 000 об/мин.

3.Переместить противовес на Dl1 = 0,02 м влево или вправо.

4.Нажать клавишу «СБРОС». Нажатие этой клавиши вызыва- ет сброс схем блока измерений и генерирование сигнала разрешения на измерения.

5.После поворота гироскопа на угол j не менее 30º нажать клавишу «СТОП». Записать в таблицу j и t.

6.Вычислить угловую скорость прецессии 6 после перевода

угла j в радианы по формуле

W = j (рад/с) [1o =1,75 ×10−2 рад]. t

7. Повторить не менее 5-и раз измерения по пунктам 4, 5, 6 и вычислить среднюю скорость прецессии

Wср = 1 ∑K Wi ,

k i =1

где k – число измерений.

13

сать в табл. 2 значения W1, W2 , ..., W5 и Dl1, Dl2 , ..., Dl5.

10.Отжать Клавишу «СЕТЬ», выключить прибор из сети.

11.Проверить соотношение (10):

12. По формуле (9) вычислить момент инерции ротора двига- теля и диска, взяв P2 = m2 × g; m2 = 0,375 кг.

14

Задание 2. Проверка зависимости угловой скорости пре- цессии от угловой скорости диска.

1.При помощи противовеса установить штангу гироскопа в горизонтальное положение. Нажать клавишу «СЕТЬ».

2.Включить двигатель. Настроить частоту оборотов на n1=4000 об/мин.

3. Переместить противовес на l = 0,03 м влево или вправо.

4.Нажать клавишу «СБРОС».

5.После поворота гироскопа на угол ϕ, не менее 30º, нажать клавишу «СТОП». Записать в табл. 3 значения.

6.Отжать клавишу «СЕТЬ».

7.Повторить измерения по пунктам 1–6, изменяя при каждом

измерении частоту оборотов двигателя (для n2 = 6 500 об/мин, n3 = 7 000 об/мин, n4 = 7 500 об/мин, n5 = 8 000 об/мин.). Записать в таб- лицу значения n, φ, t для каждого измерения.

8. Вычислить угловую скорость прецессии 6 для n1, n2, n3,

n4, n5.

9. Вычислить угловую скорость двигателя по формуле

w= 2 × p× n.

10.Проверить выполняется ли соотношение

W1w1 = W2w2 = ××× = W5w5 ,

полученное из уравнения (6).

11. Сделать вывод о зависимости скорости прецессии от угло- вой скорости двигателя.

Таблица 3

15

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что называется моментом силы и моментом импульса тела относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси?

2.Какая физическая величина служит основной динамической характеристикой вращающегося тела?

3.От чего зависит момент инерции тела? Какую роль он игра- ет во вращательном движении?

4.Сформулируйте закон динамики для вращательного движе-

ния.

5.Сформулируйте закон сохранения момента импульса и про- иллюстрируйте его примерами.

6.Что называется гироскопом?

7.Запишите условие равновесия системы имеющей непод- вижную ось вращения.

8.Как определить направление момента силы?

9.Изменится ли скорость прецессии с изменением положения противовеса?

10.Изменится ли скорость прецессии с изменением угловой скорости двигателя.

11.Изменится ли момент инерции ротора двигателя и диска при изменении положения противовеса?

12.Изменится ли момент инерции ротора двигателя и диска при изменении угловой скорости двигателя?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. М.:

Высш. шк., 1998.

2.Детлаф, А. А. и др. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Явор-

ский. Т. 1. М.: Высш. шк., 1999.

3.Савельев, И. В. Курс общей физики: в 5-ти кн. Кн. 1. Меха- ника / М.: Астрель-АСТ, 2001.

16