Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

mechanica-metod / Lab06

.pdf
Скачиваний:
31
Добавлен:
17.03.2015
Размер:
345.61 Кб
Скачать

Федеральное агентство по образованию Сибирский государственный аэрокосмический университет

имени академика М. Ф. Решетнева

ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

Методические указания к выполнению лабораторной работы 6

Красноярск 2005

УДК 531.0+371.388

Рецензент доктор физико-математических наук,

профессор, заведующий кафедрой физики Е. В. БАБКИН

Изучение динамики вращательного движения на маятнике Обербека: Метод. указания к выполнению лабораторной работы 6 /

Сост. Т. А. Слинкина; СибГАУ. Красноярск, 2005. 16 с.

В методических указаниях дано описание работы по разделу физики «Меха- ника, молекулярная физика и термодинамика». По содержанию и объему работа соответствует программе курса общей физики для высших технических учебных заведений.

© Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, 2005

Подписано в печать 12.01.2005. Формат 60×84/16. Бумага офисная. Гарнитура «Таймс». Печать плоская. Уч-изд. л. 1,11. Усл. п. л. 0,93.

Тираж 200 экз. Заказ С

Отпечатано в отделе копировально-множительной техники СибГАУ. 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

2

Лабораторная работа 6

ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

Цель работы: Экспериментальная проверка основного урав- нения вращательного движения твердых тел.

Приборы и принадлежности: набор грузов, секундомер, штан- генциркуль, маятник Обербека.

1. Кинематика вращательного движения твердого тела.

Твердое тело можно рассматривать как систему частиц (атомов или молекул), расположенных в узлах кристаллической решетки. Если взаимное расположение этих частиц при механическом движении тела изменяется незначительно, то им можно пренебречь и исполь- зовать модель абсолютно твердого тела.

Абсолютно твердым телом в физике называют тело, размеры, форма и внутренняя структура которого не меняются в процессе его механического движения.

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором все точки его движутся по окружностям, и центры этих ок- ружностей расположены на одной прямой. Эта прямая называется

осью вращения.

Пусть твердое тело произвольной формы вращается вокруг неподвижной оси ОО′, совпадающей с осью Z, точка О ― начало координат (рис. 1).

Положение произвольной точки М тела будем задавать с по-

мощью радиуса-вектора R . Радиус-вектор любой точки твердого

тела R представим суммой

= r + r

R r a,

где a ― радиус-вектор центра инерции (ЦИ) тела, а вектор r опре- деляет расположение точки относительно ЦИ. За малое время dt век- тор r поворачивается в плоскости, перпендикулярной оси ОО′, на малый угол dϕ. На такой же угол поворачивается за время радиус- вектор любой другой точки тела, так как в противном случае рас- стояния между этими точками должны были бы изменяться.

Таким образом, угол поворота dϕ характеризует угловое перемещение всего вращающегося тела, за малый промежуток

времени.

3

Удобно ввести вектор dϕ элементарного (малого) поворота

тела, численно равный dϕ и направленный вдоль оси вращения ООтак, чтобы из его конца поворот тела был виден происходящим про- тив часовой стрелки (рис. 1). Направление этого вектора совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка кото- рого вращается вместе с телом, т. е. подчиняется правилу буравчика.

Z

О

ωr

 

dϕ

ЦИ

v

a r

r

M aτ

R

dϕ

x

O

y

Рис. 1

Угловой скоростью тела называют вектор ω, численно рав- ный первой производной от угла поворота ϕ по времени и направ- ленный вдоль оси вращения по правилу буравчика, т. е. так же как вектор элементарного поворота dϕ [3]:

4

r

 

r

(1)

ω = dϕ ,

dt

где модуль угловой скорости ω = dϕ . dt

r

Угловая скорость ω характеризует направление и быстроту

r

вращения тела вокруг оси. Если ω = const, то движение тела называ- ют равномерным вращением вокруг оси.

Скорость v произвольной точки M тела, вращающегося с уг-

r

ловой скоростью ω, называют линейной скоростью этой точки. За время dt точка М проходит по дуге окружности радиуса r путь

dS = vdt = rdj,

так что

 

 

v = r

dϕ

= ωr.

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

Из рис. 1 видно, что вектор v направлен перпендикулярно и к

r

что и векторное произведение

r r

].

Так

ω и к r в ту же сторону,

[ω, r

r

 

 

взаимно перпендикулярны, то

 

 

как, кроме того, векторы ω и r

 

 

 

 

r r

]

 

= ωr = v.

 

 

 

 

 

[ω, r

 

 

 

 

Следовательно,

 

r

 

 

 

r r

 

 

 

 

 

v

= [ω, r ].

 

 

(3)

Для характеристики неравномерного вращения тела вводится

r

понятие углового ускорения. Угловым ускорением называют вектор ε, равный первой производной по времени от угловой скорости:

v

 

r

(4)

ε = dω .

dt

В случае вращения тела вокруг неподвижной оси изменение

r

вектора ω обусловлено изменением только его численного значе-

r

ния. При этом вектор ε направлен вдоль оси вращения (рис. 2) в ту

r

dω

 

 

 

 

 

же сторону, что и ω при ускоренном вращении

 

> 0

, и в проти-

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dω

< 0

 

воположную сторону

при замедленном вращении

 

 

 

[2].

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

Тангенциальное ускорение aτ (рис. 1) произвольной точки М тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, связано с угловым ускорением тела:

 

 

 

aτ =

dv

=

d r)

= r

dω

= εr

(5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

dt

 

dt

 

 

 

 

 

или

 

 

r

 

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

τ = [ε, r ].

 

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dω

r

 

 

 

 

 

dω

 

 

r

 

 

 

ω2

 

 

 

 

 

 

 

ω1

 

 

 

 

> 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< 0

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω2

 

 

 

 

r

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

М

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2

2. Динамка твердого тела, вращающегося вокруг непод-

вижной оси. Чтобы твердое тело с. неподвижной осью привести во

вращательное движение, необходимо хотя бы в одной из его точек r

приложить внешнюю силу F , не проходящую через ось вращения и

r

не параллельную ей. Рассмотрим простейший случай, когда сила F

лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. При этом r

действие силы F зависит не только от ее величины, но и от крат- чайшего расстояния от оси вращения до линии действия силы, назы- ваемом плечом l.

Произведение силы на плечо носит название вращательного момента М или момента силы относительно оси вращения (рис. 3):

M = F ×l = Fr sin a

(7)

6

 

или в векторной форме

 

r

(8)

M = [r , F ],

где r ― радиус-вектор, соединяющий в плоскости действия силы ось с точкой приложения силы F; α ― угол между векторами r и F.

Вектор M считается направленным по оси вращения в сторо- ну, определяемую правилом векторного произведения или правилом правого винта: если вращать головку винта, ориентированного вдоль оси вращения, в направлении действия силы, то поступательное

движение его укажет направление момента M .

В случае, когда на тело действуют несколько сил, результи- рующий момент сил равен векторной сумме моментов отдельных сил. Так как все моменты сил направлены по одной оси, то вектор- ная сумма может быть заменена алгебраической.

M

 

 

F

 

r

 

 

l

 

α

 

 

r

Рис. 3

Произведение массы материальной точки (частицы) на квад-

рат ее расстояния от оси вращения называется моментом инерции материальной точки относительно этой оси. Сумму моментов инер- ций материальных точек называют моментом инерции тела J отно- сительно заданной оси

7

n

2 .

 

J = m r

(9)

i i

 

i=1

Всистеме СИ единицей измерения момента инерции является

кг ·м2.

Величина момента инерции зависит не только от массы всего тела и ее распределения в теле, но также от положения тела относи- тельно оси вращения.

Если ось вращения произвольна (рис. 4), то по теореме Штей-

нера момент инерции J тела относительно оси

O O

равен сумме

 

 

1

1

 

 

момента инерции этого тела J0 относительно оси

 

проходящей

OO ,

параллельно оси O Oчерез центр инерции тела,

и произведению

1

1

 

 

 

 

массы этого тела на квадрат расстояния α между осями O Oи OO′,

 

 

 

 

1

1

(рис. 4):

J = J O + mα 2 .

O

1

α

O1

Рис. 4

Соотношение

r

r M

ε =

J

(10)

O

C

r

O

(11)

8

называют основным законом динамики вращения (или вторым зако- ном Ньютона для вращательного движения). Этот закон формулиру- ется так:

Угловое ускорение, которое тело приобретает под действи- ем момента сил, прямо пропорционально результирующему мо- менту всех внешних сил, приложенных к телу, и обратно про- порционально моменту инерции тела относительно некоторой оси.

Из формулы (11) видно, что угловое ускорение, приобретае- мое телом под действием момента силы, зависит от момента инер- ции тела. Чем больше момент инерции, тем меньше угловое ускоре-

ние. Следовательно, момент инерции характеризует инерционные свойства тела при вращательном движении подобно тому, как масса характеризует инерционные свойства тела при поступа-

тельном движении. Однако в отличие от массы момент инерции твердого тела может иметь множество значений в соответствии с множеством возможных осей вращения. Поэтому, говоря о моменте инерции твердого тела, необходимо указать относительно какой оси он рассматривается.

Уравнение (11) можно записать так

r

r

 

 

 

 

dω

 

d

r

 

 

 

 

M = J

=

(Jω),

(12)

dt

dt

 

 

 

 

где J = const.

Произведение момента инерции на угловую скорость враще- ния называется моментом импульса тела L относительно оси

r

r

(13)

Jω = L.

Учитывая (13), можно основное уравнение динамики враща- тельного движения (11) переписать так:

r

r

 

dL

(14)

= M ,

dt

т. е. скорость изменения момента импульса тела относительно не-

которой оси равна результирующему моменту относительно той же оси всех внешних сил, приложенных к телу.

Для выяснения физического смысла величины Jω вернемся к рассмотрению движения отдельных точек вращающегося тела [1].

9

Каждая из этих точек с массой mi движется по окружности радиу- сом r1.

r

Ее скорость в данный момент времени vi и вектор импульса

r

точки mi vi перпендикулярны к этому радиусу. Таким образом, ра-

r

диус ri является плечом по отношению к mi vi и мы можем (анало-

гично моменту силы) ввести понятие момента импульса материаль-

ной точки (момента количества движения)

Li = mi vi ri

(15)

как произведение величины вектора количества движения на его плечо относительно оси вращения.

r

Li

r

r

mi vi

mi vi

 

r

 

mi

 

 

 

 

ri

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5

 

 

 

В векторной форме

 

 

 

 

 

 

r

r

r

 

 

 

 

Li =

[ri , mi vi ],

 

 

(16)

т. е. векторное произведение радиуса-вектора

r

 

 

ri

материальной точ-

 

r

 

 

 

 

r

ки на вектор импульса

mi vi называют моментом импульса L i этой

 

 

r

 

 

 

 

материальной точки.

Вектор

L i

направлен

перпендикулярно к

 

 

 

r

r

 

 

плоскости, проведенной через векторы ri и mi vi

и образуют с ними

 

 

 

 

 

r

 

правую тройку векторов (при наблюдении из конца L i

видно, что

 

 

 

 

r

r

 

вращение по кратчайшему расстоянию оси

ri

к mi vi

происходит

против часовой стрелки (рис. 6)).

10

Алгебраическая сумма моментов количества движения всех точек вращающегося твердого тела носит название момента количе-

ства движения тела L относительно оси (момента импульса тела):

 

 

n

 

 

 

 

 

L = Li .

 

 

(17)

 

 

i=1

 

 

 

Подставляя в (17)

выражение

для Li

из (15) и, используя

v = ωr, получаем, что

 

 

 

 

 

n

 

n

n

 

= Jw,

L = m v r

=m wr 2

= wm r

2

i

i i

i i

i i

 

i =1

 

i =1

i =1

 

 

т. е. величина Jw есть момент импульса вращающегося тела. На- правление Jw совпадает с направлением угловой скорости.

Если внешние силы отсутствуют (замкнутая система) или та-

ковы, что их суммарный момент равен нулю (M внеш = 0), то (14) принимает вид так называемого закона сохранения момента импуль- са тела [1]:

J × w = const.

Уравнение (11) по формуле сходно с уравнением второго за-

 

 

 

r

 

 

кона Ньютона для поступательного движения

r

=

F

 

Из их сопос-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

тавления вытекает, что при вращательном движении роль силы игра- ет момент силы, роль массы ― момент инерции и роль линейного ускорения ― угловое ускорение. Для наглядности дадим это сопос- тавление в виде таблицы.

 

 

 

Поступательное движение

 

 

Вращательное движение около

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

неподвижной оси

1.

Линейная скорость v

 

1.

 

 

 

r

 

 

Угловая скорость w

 

2.

Линейное ускорение a

 

2.

 

 

 

 

r

 

 

Угловое ускорение e

 

3.

Масса m

 

 

 

 

3.

Момент инерции J

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

4.

Момент силы M

 

 

4.

Сила F

 

 

 

 

r

 

5. Импульс тела р = mv

 

 

 

 

 

 

 

r

 

5.

Момент импульса L =

 

J × w

6.

Второй закон Ньютона

 

6.

Второй закон Ньютона

 

 

d

 

r

r

r

r

 

 

d

 

r

r

r

r

 

 

 

 

(mv) = F , ma

= F

 

 

 

 

(Jw) = M , J × e =

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончание таблицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поступательное движение

Вращательное движение около

 

 

 

 

 

 

 

 

 

неподвижной оси

 

 

7.

Кинетическая энергия T =

mv2

7.

Кинетическая энергия T =

Jw2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

8.

Работа момента силы

 

 

8.

Работа силы A = Fdl

 

 

 

ϕ

 

 

 

 

 

0

 

 

 

A = Mdj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

9.

Связь работы с изменением ки-

9.

Связь работы с изменением ки-

нетической энергии

 

 

нетической энергии

 

 

A = T =

mv22

mv12

 

 

 

A = DT =

Jw22 - Jw12

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

2

 

 

 

3. Описание установки и методики измерения

Маятник Обербека представляет собой систему, состоящую из крестовины четырех взаимно перпендикулярных одинаковых стерж- ней с надетыми и закрепленными на них четырьмя одинаковыми ци- линдрическими грузами массами m1 (рис. 6). Эта система может свободно, вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О [3]. Грузики m1 расположены на равных расстояниях от оси О. Кресто- вина жестко скреплена со шкивом А, на который намотана нить (шкив А имеет две цилиндрические поверхности радиусами r1 и r2 ). Один конец нити закреплен на шкиве, а к другому привязан груз массой m. Если груз m отпустить, то он будет падать вниз, натяги- вая нить и приводя крестовину во вращательное движение.

Момент инерции маятника J O (или момент инерции системы

«маятник―грузики» J) можно определить экспериментально с по- мощью маятника Обербека.

На основании основного закона динамики вращательного

движения (11),

 

 

 

J O

=

M

(18)

e

 

 

 

(J вычисляется по этой же формуле). Момент силы М, действующий на шкив, равен произведению силы натяжения Т нити на плечо r

(рис. 6):

12

M = T × r.

(19)

Груз массой m участвует в поступательном движении, поэто- му на основании второго закона Ньютона для поступательного дви- жения

mg - T = ma,

отсюда

 

 

T = m(g - a).

(20)

Ускорение, с которым движется груз массой

m, находим по

формуле пути для поступательного движения

 

h =

at 2

,

 

 

 

 

2

 

 

 

отсюда

 

 

a =

2h

,

 

(21)

 

 

 

 

t 2

 

 

где h ― высота падения груза;

 

m1

 

ω

m1

O A

m1

t ― время его падения.

R

m1

r

r

T

r

T a

m

mg

Рис. 6. Система «маятник с грузами»

13

Ускорение поступательного движения груза массой m равно тангенциальному ускорению точек на ободе шкива (рис. 6). Следо- вательно, на основании (5)

 

 

ε =

a

,

 

(22)

 

 

 

 

 

r

 

где r ― радиус шкива.

 

 

 

 

 

 

Подставляя (19), (20) и (22) в формулу (18), получим

J O

=

m(g a)r 2

.

(23)

 

 

 

 

a

 

Момент инерции J1 четырех грузиков массой m1 ,

насаженных на

стержни, можно найти

 

 

 

 

 

 

J1 = J J O .

(24)

Момент инерции J1 можно также определить теоретически. Поскольку мы, брали R >> l, то грузики можно считать материаль- ными точками, момент инерции их будет

J

1

= 4m R 2 .

(25)

 

1

 

Сравнивая значения J1 ,

найденные экспериментально по фор-

муле (24) и теоретически по формуле (25), можно убедиться в спра- ведливости основного закона динамики вращательного движения.

14

ПОРЯДОК РАБОТЫ

Определение момента инерции маятника JO (без грузиков на стержнях)

1.Измерить m ― массу груза на нити.

2.Найти ускорение a, с которым движется груз, по формуле

(21). Для этого измерить h ― высоту падения груза по шкале и t ― время его падения с помощью секундомера (опыт повторить 3 раза при неизменной высоте падения и найти среднее время).

3.Измерить r ― радиус вала, на который намотана нить.

4.Подсчитать момент инерции маятника J O по формуле (23).

Повторить эксперимент, указанный в пунктах 1–4, для трех грузов разных масс m. Найти среднее значение J O .

Определение момента инерции JO «системы―маятник» с четырьмя, насаженными на стержни, грузиками m1.

1. Насадить четыре грузика массой m1 каждый на стержни на одинаковом расстоянии от оси вращения R (рис. 6), предварительно определив их массу на технических весах.

Примечание: расстояние R от центра грузика до оси вращения должно быть намного больше размеров грузика l.

2.Повторить эксперимент согласно пунктам 1–4 и подсчитать средний момент инерции J по формуле (23).

3.По формуле (24) определить J1 ― момент инерции грузи-

ков (экспериментально).

Определение момента инерции J1 четырех грузиков теоретически

1.Подставить в формулу (26) измеренные значения m1 и R.

2.Сравнить значении J1 , найденные теоретически по формуле

(25)и экспериментально по формуле, (24).

3.Сделать вывод.

15

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие тела называют абсолютно твердыми?

2.Какое движение называют вращательным?

3.Какие физические характеристики называют моментом инерции материальной точки, твердого тела?

4.Что характеризует момент инерции?

5.От чего зависит момент инерции тела? Какую роль он игра- ет во вращательном движении?

6.Укажите силы, действующие на падающий груз m? (Рас- смотрите пример из данной работы).

7.Каков характер движения груза m?

8.Какому закону динамики подчиняется его движение?

9.Найдите силу, сообщающую грузу m ускорение.

10.Какая сила создает вращающий момент, действующий на маятник Обербека и как найти его значение?

11.Изменится ли момент инерции маятника Обербека, если подвесить на нить груз другой массы или намотать нить на диск дру- гого диаметра?

12.Изменится ли вращающий момент, действующий на маят- ник, если подвесить на нить груз другой массы?

13.Какие характеристики изменятся, если нить намотать на шкив другого радиуса?

14.Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.

15.Выведите расчетную формулу (23).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Детлаф А. А. и др. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Явор- ский. М.: Высш. шк., 1999.

2.Савельев, И. В. Курс общей физики / И. В. Савельев. Т. 1.

М.: Наука, 1998.

3.Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. М.: Высш.

шк., 1998.

16

Соседние файлы в папке mechanica-metod