TsOS_Ekzamen_2021_1

Пример 5. Вырезка гармоники Φ0 = π/2. Сдвиг шкалы.

Так как φ0 = π/2, то исходный сигнал уже не косинус, а синус.

На амплитудный спектр это никак не повлияет, а вот весь фазовый спектр будет идентичен фазовому спектру из примера 4, но вдобавок к этому он будет поднят на значение φ0 = π/2.

10. Пример 6. Сигнал типа Sinc. Пример 7. Сигнал типа SInc с заполнением гармоникой. Техническая полоса сигнала ΔfT.

Пример 6.

Вместо того, чтобы брать интеграл, воспользуемся тем обстоятельством, что преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье полностью симметричны, то

есть имеет смысл такая замена:

Тогда в амплитудном спектре можно будет увидеть идеальный прямоугольный импульс:

При этом заметим, что если в исходном сигнале типа sinc измерить значение на

Пример 7.

Тот же сигнал sinc, только внутри заполнен гармоникой с частотой f0.

1)Т.к. внутри есть заполнение гармоникой, то амплитудный спектр будет симметричен относительно нулевой частоты, при этом он сядет на частоту ±f0 (здесь “спектр сядет” означает, что его центры будут находиться на частоте f0).

2)Т.к. sinc огибает внутреннюю гармонику, то можно воспользоваться обстоятельством, что преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье полностью симметричны, то есть имеет смысл такая замена:

Тогда на выходе получим такой амплитудный спектр:

При этом амплитуды у двух прямоугольников одинаковы и вдвое меньше, чем амплитуда у исходного сигнала, т.к. имеется два представления спектра.

Важно: если у сигнала на середине интервала главного лепестка измерить значение,

Техническая полоса сигнала ∆.

Если над идеальным прямоугольным импульсом провести преобразование Фурье, то получится сигнал типа sinc в диапазоне частот (-∞;+∞). Никакой аппарат с таким диапазоном работать не будет.

Тогда считаем, что если аппарат способен работать на полосе частот (0; 21и )

(половинка положительной половины главного лепестка - область, выделенная красным цветом), то он применим.

И применяя к такому диапазону частот обратное преобразование Фурье, получим такой сигнал:

Согласно формуле (1), по ширине он увеличился в 4 раза, согласно формуле (2) его

амплитуда уменьшилась в 2 раза.

В случае сигнала типа pass (косинусоида) возьмем половинку главного

положительного лепестка (область, выделенная красным цветом).

Тогда после обратного преобразования Фурье сигнал во времени будет таким:

По ширине он расплылся только в 2 раза, потому что мы брали половинку главного лепестка (в случае сигнала типа base мы брали четверть главного лепестка), а на

середине высоты он остался таким же по ширине. Его амплитуда также уменьшилась в

два раза.

11. Дискретное преобразование Фурье ДПФ. Вывод формулы ДПФ.

Дискретное преобразование Фурье ДПФ

Преобразование Фурье в общем случае:

Для периодических функций:

Заметим, что периодическая функция в формуле обозначена как sg(t) – сигнал, хотя, строго говоря, она им не является, так как сигнал – изменение физ. величины, несущее информацию, период. функция информации не несет.

●Слева – график периодической функции от времени.

●Справа – спектр периодической функции (зависимость от частоты). Заметим, что спектр период. функции становится линейчатым.

Размер дискрета (выделен стрелками на графике) равен = 1/пер, если шкала , и равен ω = 2π, если шкала ω.

Преимущественно используем шкалу , но в некоторых случаях полезнее шкала ω (к примеру, при переходе от к ω в прямом (сигнал в спектр) и обратном (спектр в сигнал) преобразованиях Фурье формулы стали симметричны (c отличались коэффициентом)).

Отрицательная частота является лишь математической абстракцией для удобства работы со спектром.

Теперь продискретизируем сигнал:

Левая картинка:

●Т – период дискретизации

●N – количество периодов дискретизации в периоде сигнала Правая картинка:

●пер = 1/ = – частота дискретизации

●F – дискрет по частоте

●N – количество дискретов в

Как понять, сколько дискретов (N) в fs (промежуток от 0 до fs или от fs до 2fs)? Поделим частоту дискретизации (fs) на размер одного дискрета (F), получим:

Вывод формулы ДПФ

Теперь строим Дискретное Преобразование Фурье:

Здесь:

●→ , n – некоторое количество периодов T

●→ , k – некоторое количество дискретов F

● – эф дискретное(дискретное преобразование Фурье)

●При дискретном представлении интеграл превращается в сумму

●Преобразование границ интегрирования: пер = , поэтому складываем по N и домножаем на T

Тогда получим:

Конечная формула:

Пример поворота вектора:

Заметим, что угол поворота в операторе < 0, поэтому в ДПФ крутим по часовой.

Здесь:

●ДПФ – дискретное преобразование Фурье, вертим в отрицательную сторону (по часовой)

●ОДПФ – обратное дискретное преобразование Фурье, вертим в положительную сторону (против часовой) (так как в формуле ОДПФ степень имеет противоположный знак относительно степени в ДПФ)

На каких отсчетах появится спектр? Первый отсчет появится, если f1 поделить на F. Первый отсчет появится на 1. Другой отсчет будет симметричен ему на -1:

Чтобы избавиться от -1, пользуясь тем, что ф-ция периодическая с периодом 4, к периоду прибавляем -1, получаем 3, и эта -1 переедет на место 3:

Теперь смотрим диапазон не от -k до +kF, а от 0 до +kF и период у нас 4( от 0 до 3, 0’ уже чужой). График симметричен относительно половины периода, половина периода-fн-частота Найквиста.

Какая величина линейки(вертикальная палочка на графике)? Допустим, что U=1, тогда амплитуда(A):

Фаза будет на тех же самых местах(1 и 3) и она задана как -π/4, поэтому на 1

сразу выставляем -π/4, и пользуясь, тем, что фазовый спектр(Ф)

антисимметричен относительно частоты Найквиста.