TsOS_Ekzamen_2021_1

Вычислим производную в π:

3.Для частоты среза:

4.Точка минимума ФЧХ: (приравниваем производную к нулю)

Т.к. и то ответственным за ноль может быть только выражение в скобках:

.

Значение ФЧХ в точке минимума:

Возьмём = 1, отсюда замечали уже a = - 0.37, b = 1.

Посмотрим как это выглядит на графике:

Получаем ФЧХ стандартного фильтра, которая не очень похожа на ФЧХ аналогового прототипа.

44. Стандартные БИХ-фильтры Nф-го порядка. Стандартные ФНЧ Баттерворта 3-го порядка

Стандартные БИХ-фильтры Nф-го порядка

Для начала вспомним, как получить ФНЧ 1-го порядка:

Есть импульсная характеристика аналогового прототипа:

z-преобразованию , то получится передаточная функция цифрового фильтра , которая тоже очень характерна Или, если кратко, то:

А теперь давайте поставим задачу: возьмем преобразование передаточной функции сначала для фильтра первого порядка аналогового прототипа и сразу будем переходить от неё к передаточной функции цифры первого порядка. Воспользуемся понятием корня знаменателя. Передаточную функцию аналогового прототипа представим в виде:

, можно сказать, что

, т. е. , это корень в знаменателе.

Поэтому всё это можно записать в виде:

, как и было здесь:

И если кратко всё, что было выше:

Теперь вспомним передаточную функцию аналогового прототипа M-Nф-го порядка:

1.

Если , тогда можно говорить о стандартном Z-преобразовании:

И тогда можно говорить о стандартном БИХ-фильтре М-Nф-го порядка

2.

Неравенство в условии строгое (!), т. к. представим предыдущее выражение (дробь) в виде суммы элементарных дробей:

Если полином в числителе, меньше, чем полином в знаменателе (порядок многочлена в числителе меньше, чем у многочлена в знаменателе), тогда эту дробь можно представить в виде суммы элементарных дробей:

3.

Тогда воспользуемся выражением , но более слабым, а именно .

И так как у нас теперь есть слагаемые, то от каждого слагаемого возьмём Z-преобразование (т.е. сделать цифровой фильтр для каждого слагаемого), а потом их просуммируем:

, как видим первое слагаемое, это то, что мы уже получали выше.

4.

Но есть проблема, некоторые корни в наших слагаемых комплексные. Но к счастью, они встречаются в виде комплексно-сопряженных пар (как по числителю, так и по знаменателю):

Для каждого элемента из этой пары сделаем Z-преобразование, как делали выше, чтобы избавиться от мнимой части:

Если подробно рассмотреть эту пару фильтров и просуммировать, то в итоге получим действительный фильтр 2-го порядка (мнимые части исчезнут):

Все слайды без текста:

Стандартные ФНЧ Баттерворта 3-го порядка

1.

С помощью круга находим корни для единичного ФНЧ 3-го порядка:

2.

Теперь делаем подстановку :

Получилось произведение фильтра 1-го порядка и фильтра 2-го порядка.

3.

Но мы не можем работать с произведением, а согласно правилу , можем работать только с суммами.

Поэтому вначале перемножаем, а потом делим на сумму элементарных дробей:

Получилась вот такая вот передаточная функция 3-го порядка по аналогу.

4.

И теперь уже эту функцию мы разбиваем на сумму элементарных фильтров:

Для этого нам необходимо найти корни в знаменателе, но мы их уже знаем из круга, когда формировали единичный фильтр выше.

5.

Теперь по алгоритму разбиваем на элементарные корни:

И в получившееся выражение подставляем корни:

6.

Раз коэффициенты известны, вычислим передаточную функцию цифрового фильтра для 1-го и 2-го порядков:

7.

Предположим, что , тогда подставим:

Тогда получаем: