TsOS_Ekzamen_2021_1
.pdf
37. ФЧХ билинейного ФНЧ 1-го порядка.
Передаточная характеристика H(s) = |
ωаск |
, где |
ωаск |
- скорректированная |
||
|
ωаск+ |
|
|
|
|
|
аналоговая частота среза. Выполним подстановку |
= |
2(1−−1) |
. |
|||
|
|
|
(1+−1) |
|||
После всех преобразований и допущения, что ωаскT = 1 (т.е.ωсT = 0,927 - в лекции 13
именно такое значение и рассматривалось), получим H(z) = 3 −1+1 .
Преобразуем получившееся выражение в комплексную передаточную характеристику
(z = eiωT), преобразуем выражение, получим H(iωT) = |
( ω + 1) − 2 ω ) |
. |
||||||
Тогда выражение для ФЧХ Ф( T) = -arctg( |
2 ω |
). |
5 − 3 ω |
|||||
|
|
|
|
ω |
ω + 1 |
|
|
|
Исследуем данное выражение: |
|
|
|
|
||||
1) |
Ф(0) = 0, Ф’(0) = -1; |
|
|
|
|
|||
2) |
Ф(0,927) = - |
; |
|
|
|
|
||
3) |
Ф( ) = - |
π/2 |
;π/4 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
После частоты Найквиста функция антисимметрична, т.к. в выражении есть arctg(x) и sin(x), т.е. в точке π происходит скачок от -π/2 до +π/2.
Здесь интересует график, отмеченный синими стрелками.
38. Билинейный ФВЧ Баттерворта 1-го порядка. АЧХ билинейного ФВЧ Баттерворта 1-го порядка.
Билинейный ФВЧ Баттерворта 1-ого порядка.
Просто идём по всем формулам, проектируя фильтр.
АЧХ билинейного ФВЧ Баттерворта 1-ого порядка.
Пусть ωаскТ = 1 (ωаск - аналоговая скорректированная частота среза), тогда H(z) = 2 −2 3 −1
.
Преобразуем данное выражение в комплексную передаточную характеристику и преобразуем его.
z = eω, H(iωT) = 4(1− ω )+ 2 ω 5−3 ω
2 2
Тогда выражение для АЧХ А(ωТ) = 2 4(1− ω ) + ω 5−3 ω
Исследуем данное выражение:
1)А(0) = 0, А’(ωТ<=0) = 1;
2)A(0,927) = 0,7;
3)A(π) = 1, A’(π) = 0;
4)Кривая А(ωТ) симметрична относительно ωТ = , т.к. в выражении содержится cos и sin2;
Интересует верхний график, построенный по значениям, отмеченным красным цветом.
39. ФЧХ билинейного ФВЧ 1-го порядка.
Пусть ωаскТ = 1 (ωаск - аналоговая скорректированная частота среза), тогда H(z) = 2 −23 −1
.
Преобразуем данное выражение в комплексную передаточную характеристику и преобразуем его.
z = eω, H(iωT) = 4(1− ω )+ 2 ω 5−3 ω
ω
Тогда выражение для ФЧХ Ф(ω) = arctg 2(1− ω ) Исследуем данное выражение:
1)Ф(0) = π/2;
2)Ф(0,927) = π/4;
3)Ф(π) = 0;
После частоты Найквиста функция антисимметрична, т.к. в выражении есть arctg(x) и sin(x).
Смотрим на нижний график, построенный по значениям, выделенным красным цветом.
40. Билинейный ФНЧ Баттерворта 3-го порядка.
Сначала просто следуем формулам.
Т.к. билинейное преобразование произведения есть произведение билинейных
преобразований от каждого сомножителя: 
, то отдельно будем обрабатывать фильтр 1-ого порядка и фильтр 2-ого порядка.
1)Для фильтра 1-ого порядка:
2)Для фильтра 2-ого порядка:
H2(z)= 17 (1+2−1+ −2)3 −26 −1
1 − |
7 |
|
+ |
7 |
|
Итоговая функциональная схема:
График АЧХ
41. Метод стандартного Z-преобразования. Стандартный ФНЧ Баттерворта 1-го порядка.
Это второе название данного метода.
Билинейное Z- преобразование, т.е. передаточная функция H(s) преобразуется в H(z), при этом здесь довольно мягкие требования чтобы порядок m, порядок числителя и знаменателя был до единицы ( числитель меньше или равен знаменателю).
Если нужно чтобы числитель был точно меньше знаменателя, то тогда можно
применить стандартное Z- преобразование(уже не все фильтры могут быть реализованы)
Ваналоге известно, что передаточная функция этого аналога, т.е. фильтра RC первого порядка, есть преобразование Лапласа от импульсной характеристики. Импульсная
характеристика имеет вид h(t)=1/tau*e^(-t/T). Если преобразованием Лапласа подействовать на это выражение, то получится 1/(1+tauS) (удобнее w/(s+w)).
Вцифре если ту же самое импульсную характеристику звена первого порядка RC подвергнуть Z-преобразованием, то получится соотношение со слайда. Возьмем ласт формулу на рассмотрение
Лемм подсказал что для wT лучше взять 1.
Посмотрим схемы стандартного и сравним его с билинейным
Заметим, что знаменатели и коэффициенты а у них очень похожи(0.37 и 1/3). А вот b разное.
Было заявлено в начале что этот метод инвариантности импульсной характеристики, это значит что все основания предполагать, что тот фильтр который мы получили по импульсной характеристике инвариантен. Проверим.
Сначала возьмем аналог и посмотрим какие значения этой цепочки RC будут в определенные моменты времени. Потом пойдем по цифровому фильтру. В нулевой
момент времени будет просто выход b (t/tau) и тд. Если мы закроем глаза на коэффициент T то по сути получим тоже самое. Но нас особо это не обрадует, так как нас интересует не импульсная характеристика, а частотная.
42. АЧХ стандартного ФНЧ 1-го порядка
Передаточную функцию H(z) домножаем на , получаем следующий вид
передаточной функции: 
.
Дальше вместо z подставляем и избавляемся от мнимой составляющей в знаменателе и получаем характерную формулу:
Далее числитель по формуле = 2 + 2 , знаменатель и b остаются неизменными:
Исследуем АЧХ.
Вычислим производную:
Теперь вычислим значения для 0, для π и для частоты среза:
1.Для 0 подставляем = 0 в формулу 
, получаем
Апроизводная равна: 
, т.к. в числителе sin(0)=0.
2.Для πделаем все точно также:
Производная равна: 
3. Для частоты среза возьмём = 1:
Рассмотрим конкретный пример:
1.Вычислим для = 0.
Сужасом наблюдаем, что на нуле вместо желаемой единицы мы имеем 1.59.
2.Вычислим для = π.
Тоже радости мало, 0.72 - очень большое значение. 3. Вычислим для = 1.
Опять вместо 0.7 (3 Дб) получилось 1.16. Посмотрим как это выглядит на графике:
Получается что стандартный фильтр хоть и более дорогой по проектированию, не даёт никаких преимуществ.