Добавил:

VadoZ хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

линейная алгебра и агалитич геом

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2024

Размер:

1.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

цательной определенности необходимо и достаточно, чтобы знаки ∆i строго чередовались (очевидно, начиная со знака +, т.к. ∆0 =1).

Замечание. Можно показать, что при диагональном преобразовании по методу Лагранжа канонические коэффициенты квадратичной формы рав-

ны aii = ∆i . Отсюда и следует критерий Сильвестра.

∆i−1

Так, в примере на стр. 78-79 угловые миноры равны ∆1 =5 , ∆2 = 6 , отсюда следует положительная определенность квадратичной формы и значе-

′		∆1	′		∆2		6
′		∆0	′		∆2		5 .
ния канонических коэффициентов: a11	=	∆0	=5, a22	=	∆2	=	5 .

Пример. Найдите канонические коэффициенты по критерию Сильвестра и проверьте найденные значения методом Лагранжа для квадратичной

формы Q =5x2 + x2 +3x2					+ 4x x				−2x x				−2x x .
1		2		3	1		2			1	3		2		3
																		5		2		−1
																		5		2		−1

																			2	1		−1
Выпишем матрицу квадратичной формы: A =																			2	1		−1		.
																		−1		−1		3
																		−1		−1		3
Вычислим угловые миноры:
Вычислим угловые миноры:
∆ =5 , ∆		=1,				5			2	−1				3	1	0					3 1		=1.


	2		∆	3	=	2 1 −1						=		2	1	−1	= −(−1)
1	2			3																	5	2
						−1		−1		3				5	2	0					5	2
						−1		−1		3				5	2	0

Итак, все угловые миноры положительны – значит, квадратичная форма является положительно определенной. Канонические коэффициенты равны

a =	∆1		=	5	=5,	a =	∆2	=	1	,	a =	∆3		=	1	=1.
				1					5						1
11	∆	0				22	∆				33	∆	2
							1

Найдем теперь канонический вид методом Лагранжа. Для этого соберем все члены, содержащие x1 , и выделим полный квадрат, следуя формуле "сокращенного умножения": квадрат любого числа слагаемых равен сумме

квадратов и всевозможных удвоенных произведений. Именно,

																				2
Q =5	x	2	+	4	x x −	2	x x	+ x	2	+3x	2	−2x x	=5	x	+	2	x −	1	x		−
Q =5	x		+	5	x x −	5	x x	+ x		+3x		−2x x	=5	x	+	5	x −	5	x		−
	1			5	1 2	5	1 3	2		3		2 3		1		5	2	5	3

				удвоенные произведения											обозначим y1

−4 x2		− 1 x2 +		4 x x			+ x2	+3x2	−2x x =5y2			+	1 x2		−	6 x x +			14 x2		=
5	2	5	3	5	2	3					1		5	2		5	2	3	5	3
	2		3		2	3	2	3	2	3	1			2			2	3		3
							слагаемые, не содержащиеx1
вычли из полного квадрата добавленное

(x22

−6x2x3 )+

14 x32

9 x32

14 x32

1 y22

=5y12 +

x2 −3x3

−

=5y12 +

+ y32 .

обозначимy2

Выпишем преобразование координат, приводящее квадратичную форму к

				y = x +			2 x −		1 x ,
					1	1	5	2	5	3
каноническому виду:							5		5
каноническому виду:						y2 = x2 −3x3, Очевидно, канонические коэффи-
						y3 = x3.
						y3 = x3.

циенты в	Q = 5y2 +			1 y 2		+ y2	совпадают с вычисленными по критерию
			1	5	2	3
Сильвестра.
Пример. Найдите сигнатуру квадратичной формы
Q = x2 −3x2		−2x x + 2x x −6x x .
1	3	1	2	1	3	2	3

Воспользуемся критерием Сильвестра. Угловые миноры ∆1 =1, ∆2 = −1, ∆3 = det A = 0. Значит, a11 =1, a22 = −1, a33 = 0 , то есть у формы

третьего порядка один положительный, один отрицательный и один нулевой канонические коэффициенты. Сигнатура равна нулю. Квадратичная форма является знаконеопределенной.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования координат.

Пусть фиксированы En и B(x, x) . Отметим, что матрица B, отвечающая квадратичной форме, имеет симметрический вид.

Первый шаг: находим характеристические корни λi матрицы B. Второй шаг: находим собственные векторы xi , отвечающие числам λi ,

и нормируем их (приводим к единичной норме). В полученном ортонормированном базисе матрица B квадратичной формы примет диагональный вид.

Продемонстрируем этот метод для квадратичной формы из примера на

стр. 78-79.

Пример. Привести квадратичную форму

5x2 + 2x2 − 4x x

к канониче-

скому виду при помощи ортогонального преобразования координат.

Характеристическое

уравнение

| A −λE |=

5 −λ

−2

= λ2

−7λ +6 = 0.

−2

2 −λ

Собственные значения

λ1 =1,

λ2 = 6 . Собственные

векторы

e1 = (1, 2) ,

e2 = (2,−1)

(они уже ортогональны в соответствии с утверждением, приве-

денным

на стр.

76).

Нормируем

базис:

(1,

;

12 + 22

(2,−1)

T =

;−

Матрица

перехода

22 +(−1)2

−1

T −1 =

−1/

−2 /

Обратная

матрица

Очевидно,

соотношение

−1

−2 /

detT

−1

выполняется.

Теперь

найдем

матрицу

′

A :

2 /

−2

2 /

′

=T AT =

2 / 5

−1/ 5

−2

2 / 5

−1/ 5

Отметим, что на диагонали расположены собственные значения матрицы A.

Теперь укажем преобразование координат:

x1′

−1

2 x1

x + 2x

2x − x

X ′ = ′

X =

x1′ =

, x2′

2 .

−1 x2

Обратное преобразование:

x =

x1′ +

x2′

, x = 2x1′

−

x2′ .

В новых координатах

Q =5x12 + 2x22 − 4x1x2 =(x1′)2 +6

(x2′)2

(проверьте непо-

средственным вычислением).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Фроловичев С.М. Матрицы. Системы линейных уравнений / МТУСИ.

М., 2002. – 20 с.

2.Фроловичев С.М. Линейные операторы. Методические указания к семинарским занятиям по курсу «Аналитическая геометрия» / МТУСИ. – М.,

2002. – 19 с.

3.Куприн А.В., Фроловичев С.М. Элементы аналитической геометрии. Ч. 1: Учебное пособие / МТУСИ. – М., 2004. – 25 с.

4.Куприн А.В., Фроловичев С.М. Элементы аналитической геометрии. Ч. 2: Учебное пособие / МТУСИ. – М., 2005. – 21 с.

5.Блох Э.Л., Лошинский Л.И., Турин В.Я. Основы линейной алгебры и некоторые ее приложения: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1971.

–256 с.

6.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: Учебник для вузов. - Изд.7-е, стер. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 224 с.

7.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. – Изд. 4-е.

– М.: ФИЗМАТЛИТ, 1999. – 296 с.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Алгебраическое дополнение элемента определителя 10, 11 Асимптоты гиперболы 52

Базис

–линейного пространства 60

–на плоскости 32

–в пространстве 32 Базисные переменные 21, 25 Билинейная форма 77

Вектор геометрический 27

– нулевой 28 Векторное произведение 38

– в декартовых координатах 39 Векторы коллинеарные 28

–компланарные 30

–линейно независимые 30

–линейно зависимые 30

Гаусса метод 18 Геометрический смысл

–векторного произведения 38

–смешанного произведения 39 Гиперболический параболоид 57 Гиперболический цилиндр 57 Гиперболоид двуполостный 55 Гиперболоид однополостный 55

Главная диагональ матрицы 7

Декартова прямоугольная система координат 32 Деление отрезка в заданном отношении 33

Директриса эллипса 52

–гиперболы 52

–параболы 53

Евклидово пространство 63

Канонические уравнения прямой в пространстве 45 Квадратичная форма 77

Коллинеарность векторов 28 Компланарность векторов 30 Конус второго порядка 55 Координаты

–вектора 33

–точки 33

Коши-Буняковского неравенство 64 Крамера формулы 17

Кронекера-Капелли теорема 21

Лагранжа метод 78-80 Левая тройка (система) 37 Линейная комбинация

–векторов 29

–элементов 20

Линейно зависимая система 23, 59 Линейно независимая система 23, 59 Линейное пространство 58

Матрица 11

–билинейной формы 77

–вырожденная 12

–диагональная 12

–единичная 12

–квадратная 12

–линейного оператора 68

–невырожденная 12

–обратная 14

–системы линейных уравнений 16

–транспонированная 14

Минор элемента определителя 9, 11 Минор матрицы 19

Направляющий вектор прямой 45 Норма вектора 63 Нормальный вектор плоскости 42

Нормированное пространство 65

Общее решение системы линейных уравнений 27 Оператор линейный 67

–нулевой 67

–самосопряженный 76

–сопряженный 75

–тождественный 67 Определитель 7

–произведения матриц 14 Ориентация тройки векторов 37 Ортогонализация векторов 65 Ортонормированный базис 65

Парабола 53 Параболический цилиндр 57 Параболоиды 56-57 Параллельный перенос 35

Параметрические уравнения прямой 45 Поворот системы 35 Подобные матрицы 71

Порядок системы линейных уравнений 21	Условие параллельности
Правая тройка (система) 37	– плоскостей 43
Правило параллелограмма сложения векто-	– плоскости и прямой 47
ров 28	– прямых на плоскости 41, 42
– треугольника сложения векторов 28	– прямых в пространстве 46
Проекция вектора 36	Условие перпендикулярности
Произведение матриц 13	– плоскостей 43
Пучок плоскостей 44	– плоскости и прямой 47
	– прямых на плоскости 41, 42
Разложение определителя по столбцу (стро-	– прямых в пространстве 47
ке) 9, 11
Размерность линейного пространства 60	Фокусы гиперболы 52
Разность векторов 29	– параболы	53
Ранг матрицы 20	– эллипса	51
Расстояние между скрещивающимися пря-	Фундаментальная система решений 24
мыми 48
Расстояние от точки до плоскости 43	Характеристический многочлен 71
Расстояние от точки до прямой	Характеристическое уравнение 71
– в пространстве 48
– на плоскости 41	Циклическая перестановка 37
Расширенная матрица системы линейных	Цилиндрические поверхности 57
уравнений 16	Частное решение системы линейных урав-

Свободные переменные 21, 25	нений 27
Сигнатура квадратичной формы 79
Сильвестра критерий 79	Элементарные преобразования матриц 17
Система линейных уравнений 15	Эксцентриситет гиперболы 52
– неопределенная 16	– эллипса 51
– несовместная 15	Эллипсоид трехосный 54
– однородная 22	Эллиптический параболоид 56
– определенная 16	Эллиптический цилиндр 57
– совместная 15
Скалярное произведение

– векторов 36, 62 Скрещивающиеся прямые 47 Смешанное произведение векторов 39 Собственные значения оператора 70 Собственный вектор оператора 70 Сопряженная гипербола 52-53 Сумма матриц 12

Тривиальная линейная комбинация 22

Угол между

–плоскостями 43

–прямой и плоскостью 48

–прямыми в пространстве 47

–прямыми на плоскости 41, 42 Умножение

–вектора на число 29

–матрицы на число 13 Уравнение прямой на плоскости 41

План УМД на 2015/16 уч.г.

С. 3, п. 13

Андрей Валентинович Куприн Сергей Михайлович Фроловичев

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

Учебное пособие

Подписано в печать 07.04.2015г. Формат 60х90 1/16. Объём 5,5 усл.п.л. Тираж 500 экз. Изд. № 25. Заказ 46.

ООО «Брис-М». Москва, ул. Авиамоторная, д. 8а.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.06.20246.08 Mб2L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_2.pdf
#
01.06.20242.46 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_3.pdf
#
01.06.20241.39 Mб21вышмат полезно.pdf
#
01.06.2024482.88 Кб11кр по алегебре.pdf
#
01.06.20245.41 Mб99лекции вышмат.pdf
#
01.06.20241.34 Mб4линейная алгебра и агалитич геом.pdf