линейная алгебра и агалитич геом

Потребуем, чтобы коэффициент при x′y′ равнялся нулю:

72sin2 α +42sinαcosα −72cos2 α =0 12 tg2 α +7 tgα −12 = 0 tgα = −4 / 3,3 / 4.

переменных квадрат отсутствует). Подобная запись сложилась исторически и называется канонической. Разберем каждое из уравнений отдельно.

1)x2 + y2 = −1 – уравнение не определяет ни одной точки. a2 b2

каждое из которых является уравнением первой степени и, следовательно, определяет прямую. Итак, случай 3) определяет пару прямых, проходящих через начало координат.

50

Случаи 1) – 3) называются вырожденными. Остальные определяют т.н.

кривые второго порядка.

ние эллипса (рис. 11.1). Некоторые свойства этой кривой можно усмотреть из ее уравнения. Так, эллипс симметричен относительно обеих координатных осей, а значит, и относительно

его центра – начала координат. Эллипс является финитной (ограниченной) кривой, поскольку | x |≤ a , | y |≤ b . Точки пересечения эллипса с координатными осями называются его вершинами. Они имеют координаты A1,2 (±a,0) , B1,2 (0,±b) . Положительные параметры a и bназываются полуосями эллипса,

между вершинами являются большой и малой осями эллипса. Точки F1(−c,0) и F2 (c,0) , лежащие на большой оси, называются фокусами эллипса. Здесь

c = a2 −b2 (и c = b2 −a2 , когда b > a ; в этом случае фокусы лежат на оси

Oy ). Можно показать, что эллипс является геометрическим местом точек, сумма расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина посто-

янная (и равная длине большой оси эллипса). Это свойство на самом деле является определением эллипса, свободным от привязки к какой-либо системе координат. Величина ε , равная отношению расстояния между фокусами к

симметрично относительно центра эллипса и перпендикулярные его большой

оси, расстояние между которыми в 1 раз больше длины большой оси, назы-

ε

51

перболы. Параметр a называется полуосью гиперболы, а b – мнимой полуосью. Точки A1,2 (±a,0) (рис. 11.2) называются вершинами гиперболы. Отрезок A1 A2 , соединяющий вершины, называется осью гиперболы. На прямой A1 A2 (вне оси) расположены т.н. фокусы гиперболы F1(−c,0) , F2 (c,0) . Пара-

метр c = a2 +b2 . Гипербола является геометрическим местом точек, разность расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина посто-

янная (и равная длине ее оси). Это инвариантное определение гиперболы. Отношение расстояния между фокусами к длине оси называется эксцентриситетом ε = c / a . Очевидно, что для гиперболы ε >1. Прямые D1 и D2 , расположенные симметрично относительно центра гиперболы и перпендикулярные ее большой оси, расстояние между которыми в ε раз меньше длины оси, называются директрисами гиперболы. Уравнения директрис x = ±a / ε .

рисунку 11.2, то сопряженная гипербола вписана в свободные углы между асимптотами и касается прямоугольника в точках B1,2 (0,±b) , которые являются ее вершинами. Фокусы такой гиперболы расположены на оси Oy , ε = c / b, уравнения директрис y = ±b / ε . Уравнения асимптот, очевидно, не меняются.

7) y2 = 2 px . Это каноническое уравнение параболы (рис. 11.3). Кривая инфинитна, имеет ось, но не имеет центра симметрии. Точка O(0,0) называется ее вершиной, положительное число p

— параметром; прямая D , перпендикулярная оси и отстоящая на расстояние p / 2 от вершины, называется директрисой. Точка F , лежащая на оси и также отстоящая на расстояние p / 2 от вершины, но по другую сторону, называется фокусом. Уравнения

y2 = −2 px , x2 = ±2 py также определяют параболу, иначе (проанализируйте, как) расположенную относительно осей координат.

Существует независимое от системы координат определение параболы:

парабола — это геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы. Интересно, что по-

добным образом можно дать общее определение всех кривых второго порядка (т.е. эллипса, гиперболы и параболы).

Определение. Кривой второго порядка называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до некоторой фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до некоторой фиксированной прямой (директрисы) есть постоянное число ε . (Для эллипса и гиперболы имеются в виду фокус и директриса, лежащие по одну сторону от центра). При ε [0,1) получим эллипс, при ε (1,+∞) – гиперболу, при ε =1 – параболу.

53

Лекция 12

Рассмотрим общее уравнение второго порядка относительно x , y , z :

Ax2 + By2 +Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz +Gx + Hy + Kz + L = 0 .

Можно показать, что поворотом системы координат можно устранить слагаемые, содержащие произведение различных переменных. Однако детали такого преобразования оставим за рамками нашего курса. Линейные же слагаемые устраняются методом выделения полных квадратов – так же, как для общего уравнения второго порядка относительно x и y (см. лекцию 11). В результате получим канонические уравнения поверхностей второго порядка. Классификацию поверхностей проведем в зависимости от числа переменных, входящих с квадратом, и распределения положительных и отрицательных коэффициентов.

каждой из трех координатных плоскостей, а также начала координат (центра этой поверхности). Из всех поверхностей второго порядка только эллипсоид является ограниченной

поверхностью. Точки с координатами (±a,0,0), (0,±b,0) , (0,0,±c) называются вершинами эллипсоида (рис. 12.1). Отрезки между вершинами называются осями, а положительные параметры a , b, c

— полуосями эллипсоида. Любое непустое сечение эллипсоида плоскостями, перпендикулярными ко-

ординатной оси Ox , Oy или Oz — это эллипс, полуоси которого уменьшаются и стремятся к нулю при приближении плоскости сечения к вершине эллипсоида. Если какие-нибудь две из трех полуосей эллипсоида равны, он является поверхностью вращения. Например, если a = b эллипсоид является поверхностью вращения вокруг оси Oz . При совпадении всех полуосей эллипсоид становится сферой.

54

верхность, симметричная как относительно центра O(0,0,0), так и относительно каждой из координатных плоскостей. Все сечения, перпендикулярные оси Oz , являются эллипсами, наименьший из которых

носительно начала координат (центра) и каждой из координатных осей. Неограниченная поверхность, состоящая из двух частей, не связанных друг с другом: при z ≥ c и z ≤ −c – отсюда и ее название. Непустые сечения, перпендикулярные оси Oz , являются эллипсами (рис. 12.3). Сечения, перпендикулярные оси Ox или оси Oy , являются гиперболами. Точки (0,0,±c) называются вершинами двуполостного гиперболоида. Если a = b , то

личается от уравнений гиперболоидов отсутствием ненулевого свободного члена в правой части. Центр симметрии — точка O(0,0,0) — называется вершиной конуса. Вообще, конической называется поверхность, которая вместе с точкой M0 (x0 , y0 , z0 ) содержит и все точки M (x, y, z) прямой OM0 . Ко-

55

нус второго порядка обладает этим свойством (рис. 12.4). Неограниченная поверхность, как бы «разделяющая» однополостные и двуполостные гиперболоиды. Имеет три плоскости симметрии Oxy , Oyz и Oxz . Сечения, перпендикулярные оси Oz , являются эллипсами, стягивающимися в точку при приближении к вершине. Сечения, перпендикулярные осям Ox или Oy – это гиперболы. Если a = b , то

конус является поверхностью вращения относительно оси Oz и называется

круговым.

Уравнения 1)-4) исчерпывают все случаи т.н. центральных поверхностей второго порядка (не считая, конечно, перестановки переменных, что не приводит к новым поверхностям). Среди нецентральных поверхностей второго порядка прежде всего выделим параболоиды. Их канонические уравнения содержат квадраты лишь двух переменных, третья (не теряя общности, примем в качестве этой переменной z ) входит линейным образом.

определяет неограниченную поверхность с вершиной в точке O(0,0,0), симметричную относительно плоскостей Oyz , Oxz . Любое непустое сечение, перпендикулярное оси Oz , является эллипсом, а параллельное оси Oz – параболой, отсюда и название. Если a = b , то является поверхностью вращения вокруг оси Oz и поэтому на-

зывается параболоидом вращения. На рис. 12.5 изобра-

жен параболоид при выборе знака "+" в каноническом уравнении. Если выбран "−", то эллиптический параболоид симметричен показанному на рисунке относительно координатной плоскости Oxy .

56

знака в правой части уравнения эллиптического параболоида применимо и к гиперболическому, поэтому ограничимся рассмотрением знака "+" . Поверхность симметрична относительно плоскостей Oyz , Oxz . Сечения, перпендикулярные оси Ox или Oy , являются параболами. Сечения, перпендикулярные оси Oz (кроме плоскости z = 0, сечение этой плоскостью приводит к паре прямых y = ±bx / a ) являются гиперболами, причем при переходе через плоскость z = 0 гиперболысечения переходят в семейство им сопряженных гипербол. Гиперболический параболоид имеет форму седла (рис. 12.6). Чтобы лучше предста-

вить себе пространственную форму этой поверхности, полезно иметь в виду, что гиперболический параболоид потому и получил свое название, что может быть получен путем параллельного перемещения

параболы z = x2 / a2 , вершина которой скользит по другой параболе z = −y2 / b2 , расположенной в плоскости, перпендикулярной плоскости первой параболы.

Осталось отметить цилиндрические поверхно-

сти (признаком такой поверхности служит отсутствие одной из переменных в ее каноническом урав-

нении). Например, эллиптический цилиндр (рис. 12.7) в пространстве опреде-

57

Существуют также канонические уравнения, определяющие т.н. выро-

Раздел VI. Линейные пространства

Лекция 13

Пусть дано множество V ={x, y, z,...}, и в этом множестве определена операция сложения так, что каждой паре элементов x, y множества V ставится в соответствие однозначно определенный элемент x + y V , который называется их суммой. И пусть однозначно определено произведение αx V элемента x V на число α .

Определение. Множество V будем называть действительным линейным пространством, если указанные операции сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам:

1)x + y = y + x (свойство коммутативности),

2)(x + y) + z = x +( y + z) (свойство ассоциативности),

3) существует нулевой элемент θ V такой, что x +θ = x, x V ,

4)x V (−x) (противоположный элемент) такой, что x +(−x) =θ ,

5)α(x + y) =αx +αy ,

6)(α + β)x =αx + βx ,

7)(α β)x =α(βx) ,

8)1 x = x .

Элементы линейного пространства V будем называть векторами.

58

Примеры линейных пространств. (A) Геометрические векторы на плоскости. Операции сложения векторов и умножения вектора на число были определены ранее. Аксиомы 1) - 8) верны как свойства этих операций. Следовательно, это линейное пространство. (B) Геометрические векторы в пространстве. (C) Множество M2×2 матриц размера 2 ×2 . Определения суммы матриц и произведения матрицы на число определены стандартным образом. Нулевым вектором будет матрица, все элементы которой равны нулю. Множество таких матриц будет линейным пространством. (D) Множество P2 многочленов с действительными коэффициентами степени, не превосходящей 2: P2 =α0 +α1t +α2t2 , α0 ,α1,α2 . (E) Рассмотрим множествоn упорядоченных наборов из n действительных чисел (α1,α2 ,...,αn ),αi . Введем на этом множестве операции сложения и умножения на число по формулам (α1,α2 ,...,αn ) +(β1, β2 ,..., βn ) = (α1 + β1,α2 + β2 ,...,αn + βn ),

λ (α1,α2 ,...,αn ) = (λα1,λα2 ,...,λαn ), λ . Легко проверить, что данные операции удовлетворяют свойствам 1)–8) линейного пространства. Следовательно, множество n является линейным пространством.

Введем понятия линейной зависимости и независимости векторов линейного пространства V .

мыми, если равенство α1x1 +α2 x2 +... +αn xn =θ справедливо все αi = 0 . Примеры. (А) Любые два вектора a и b на плоскости, исходящие из

общего начала, линейно независимы, если они неколлинеарны. (B) В пространстве любые три вектора a , b , c , исходящие из общего начала, линейно независимы, если они некомпланарны. (C) Рассмотрим линейное пространст-

59