линейная алгебра и агалитич геом

([a

,b

],c) =

α1

α2

α3

.

(8.3)

β1

β2

β3

γ1

γ2

γ3

Из формулы (8.3) и свойств определителей следует, что ([a,b],c) = (a,[b,c]) ,

a b c . Кроме того, при циклической

перестановке

сомножителей сме-

(a1

+ a2 ) b c = a1

b c + a2

b c ;

(λa) b c = λ (a b c) .

Доказательство. Проведем из начала координат вектор OP , перпенди-

кулярный к данной прямой (рис. 9.1).

Тогда произвольная точка

M прямой об-

ладает свойством

пр OM = p ,

где p =|OP | –

OP

расстояние от начала координат до прямой. Но

OM

OP =|OP | пр OM = p2

. Если OP ={α,β},

OP

Значит, уравнение

то OM OP =αx + β y = p2 .

40

ножить на любое отличное от нуля число, тогда получим

Ax + By +C = 0

(т.н. общее уравнение прямой на плоскости).

Из доказательства ясен смысл коэффициентов A и B ,

пропорциональ-

ных координатам α и β вектора OP , а именно:

вектор N ={A, B} перпендикулярен

прямой, за-

данной уравнением Ax + By +C = 0 .

Этот вектор

ϕ = arccos

| A1 A2 + B1B2 |

.

(9.1)

A2 + B2

A2 + B2

1

1

2

2

Условие перпендикулярности прямых имеет вид A1 A2 + B1B2

= 0, условие

параллельности следует из того, что N1

N2

A1

=

B1

. Если эти отноше-

A

B

2

2

ния равны C1 , то прямые совпадают.

C2

Расстояние

от произвольной точки M0 (x0 , y0 ) плоскости

до прямой

Ax + By +C = 0 можно вычислить по формуле

d =

| Ax0 + By0

+C |

.

(9.2)

A2 + B2

Если B ≠ 0

(т.е. прямая не параллельна оси Oy ), то общее уравнение

можно переписать в виде y = −(A / B)x −(C / B)

или

y = kx +b . Последнее

ϕ = arctg

k1 −k2

, а

условия параллельности и перпендикулярности через

1+k k

2

1

угловые коэффициенты прямых соответственно выражаются так: k1 = k2

и

k1 k2 = −1.

Уравнение вида

F(x, y, z) = 0 называется уравнением поверхности

S ,

выбрана декартова система

координат.

Пусть

M0 (x0 , y0 , z0 ) – некоторая точка плоскости

ω и

вектор

N ={A, B,C} – произвольный ненулевой

вектор,

перпендикулярный

нашей плоскости

Точка M (x, y, z) ω M0M

N

(M0M , N ) = 0

. Выражая скалярное

произведение через координаты, получим

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0.

(9.3)

Для пары плоскостей A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 , A2 x + B2 y +C2 z + D2

= 0

можно сформулировать условие перпендикулярности A1 A2 + B1B2 +C1C2

= 0

ϕ = arccos

| A1 A2 + B1B2 +C1C2 |

.

(9.4)

A2

+ B2 +C2

A2

+ B2 +C2

1

1

1

2

2

2

Расстояние от точки M0 (x0 , y0 , z0 )

до плоскости Ax + By +Cz + D = 0

вы-

числяется по формуле, аналогичной (9.2):

d =

| Ax0 + By0 +Cz0

+ D |

.

(9.5)

A2 + B2 +C2

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку

M0 (x0 , y0 , z0 )

параллельно двум неколлинеарным векторам a ={α ,α

2

,α

} и b

={β , β

2

, β

}.

1

3

1

3

{x − x0 , y − y0 , z − z0}.

(M0M , N ) = 0 , или

M0M

a b =

0 , где M0M =

По фо р-

муле (8.3) имеем

x − x0

y − y0

z − z0

= 0 .

(9.6)

α1

α2

α3

β1

β2

β3

Из уравнения (9.6) легко получить уравнение плоскости, проходящей че-

рез три данные точки M1(x1, y1, z1),

M2 (x2 , y2 , z2 ) ,

M3(x3, y3, z3 ) , не лежащие

на одной прямой. Именно, в качестве векторов a

и b можно взять

M1M2

и

M1 . Тогда получим:

M1M3 , а в качестве точки M0 взять

43

двух непараллельных плоскостей, т.е. система вида

A x + B y +C z + D = 0,

1

1

1

1

A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0,

где коэффициенты A1, B1,C1 непропорциональны коэффициентам

A2 , B2 ,C2 ,

решение системы (например, положить одну из переменных равной нулю).

2x − y +3z +7 = 0,

Пример. Привести к каноническому виду прямую

3x + y − z −2 = 0.

N1 ={2,

−1,3},

N2 ={3,1,−1},

i

j

k

[N1

, N2 ] =

2

−1

3

= −2i +11 j +5k ,

3

1

−1

s ={−2,11,5}.

z = 0,

x = −1,

т.е.

Положим в системе

тогда

получим

y = 5

M0 (−1,5,0) . Составляем канонические уравнения данной прямой:

x +1

=

y −5

=

z

.

−2

11

5

Заметим, что для составления уравнений прямой, проходящей через две

заданные точки

M1(x1, y1, z1)

и M2 (x2 , y2 , z2 ) , достаточно в качестве направ-

l = x2

− x1 , m = y2 − y1 ,

n = z2 − z1 .

ляющего вектора взять s

= M1M2 , т.е.

Рассмотрим две прямые:

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

(L )

и

x − x2

=

y − y2

=

z − z2

(L ).

l1

m1

n1

1

l2

m2

2

n2

ϕ = arccos

| l1l2 + m1m2 + n1n2 |

.

l2

+ m2

+ n2

l2

+ m2

+ n2

1

1

1

2

2

2

быть записано, исходя из компланарности векторов s1

,

s2

и M1M2

:

l1

m1

n1

s1

s2

M1M2

=

l2

m2

n2

= 0 .

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

Если прямые не принадлежат одной плоскости, они являются скрещи-

вающимися.

Рассмотрим

теперь

прямую

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

m

n

l

(L) и плоскость

Ax + By +Cz + D = 0

(ω) .

Условия

параллельности и перпендикулярности прямой и

плоскости легко сформулировать на языке их на-

правляющего вектора и нормали:

L ω N s

(N, s) = 0 Al + Bm +Cn = 0

(рис.10.2),

A

B

C

L ω N s

=

=

(рис. 10.3).

l

m

n

Угол ϕ

между

прямой

L

и

плоскостью

к плоскости составляет π / 2 (рис. 10.4). Отсюда

sinϕ = cosψ ,

но

cosψ =

| (N,s) |

ϕ = arcsin

| Al + Bm +Cn |

.

N s

A2 + B2 +C2 l2 +m2

+n2

Сформулируем условие

принадлежности

прямой

данной

плоскости:

Al + Bm +Cn = 0,

Первое соотношение системы выражает

L ω

Ax0 + By0 +Cz0 + D = 0.

произвольной

точки

M1(x1, y1, z1)

пространства

до

прямой

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

.

Если построить на векто-

l

m

n

рах M0M1

и

s , как на сторонах, параллелограмм,

искомое расстояние

d

будет его высотой, прове-

денной к стороне длиной | s | (рис. 10.5). Площадь

параллелограмма численно равна длине векторно-

го произведения [M0M1

, s] , отсюда

[M0M1, s]

d

=

.

(10.4)

| s |

Расстояние между скрещивающимися пря-

мыми найдем, исходя из геометрического смысла

смешанного произведения. Именно, объем V па-

раллелепипеда, построенного на векторах s1 ,

s2

,

M1M2 как на ребрах,

численно равен модулю

ся прямыми равно высоте d этого параллелепипеда: d = V

, где площадь ос-

S

нования S численно равна длине векторного произведения

[s1

, s2

] (рис. 10.6).

Таким образом:

s1

s2 M1M2

d =

.

(10.5)

|[s1

, s2

]|