линейная алгебра и агалитич геом

Определение. Ранг матрицы A (обозначается rang A) – это число, равное наибольшему порядку отличного от нуля минора этой матрицы, т.е. rang A = r , если все миноры порядка большего, чем r (если они существуют),

равны нулю, а среди миноров порядка r есть хотя бы один отличный от нуля. Данное определение дает способ вычисления rang A.

Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Чтобы вычислить ранг матрицы A, можно поступить следующим образом.

Приведем матрицу к ступенчатому виду элементарными преобразованиями над строками (см. пример на метод Гаусса в лекции 3). Число ненулевых строк ступенчатой матрицы будет равно рангу матрицы A.

Вначале приведем матрицу к ступенчатому виду. Покажем последова-

Очевидно, что ранг последней матрицы равен 2, так как все миноры третьего порядка равны нулю (или число ненулевых строк равно 2). Следовательно, rang A = 2.

Пусть в некотором множестве W = {а, b, с,...} определена операция

a =α1a1 +αmam. При этом говорят, что элемент a линейно выражается через элементы a1,...am .

20

Теорема Кронекера – Капелли. Пусть имеется система линейных уравнений (3.1). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы: rang A = rang A.

Следствие. Пусть система (3.1) совместна. Решение системы единственное тогда и только тогда, когда rang А равен числу неизвестных (порядку) системы.

Укажем способ нахождения решения системы линейных уравнений. Пусть rang A = rang A = r < n и пусть, для определенности, базисный минор расположен в левом верхнем углу матрицы системы. Переменные x1, x2 ,...xr будем называть базисными переменными, xr+1, xr+2 ,..., xn – свободными. Далее, свободные переменные обозначим через c1,...,cn−r соответственно. Оставим только первые r уравнений системы (т. н. укороченная система). Из нее найдем x1, x2 ,...xr по формулам Крамера. В итоге получаем, что общее решение

Приведем ее с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду:

Итак, что rang А = 2. Базисными будут переменные {x1, x2}, свободными

(общее решение системы, где c1 и c2 – произвольные числа.)

Однородные системы линейных уравнений.

Однородной называется система (3.1), в которой все bi = 0:

n

∑aij xj = 0,i =1,...,m .

j=1

Свойства решений однородной системы. 1) Пусть X и Y – решения системы, тогда Z =αX + βY – тоже решение системы, где α, β R .

Доказательство.

ме линейных уравнений (4.1).

3) Если rang А = n, тогда тривиальное решение единственно. Доказательство. По условию rang A = n, следовательно, det A ≠ 0 . Поэтому мы можем найти решение Г = (γ1,...,γn )t системы по форму-

лам Крамера (3.3), (3.4), т.е. di = 0,i =1,...,n . Следовательно, все γi = 0 .

4) Если rang A < n, то однородная система (4.1) имеет нетривиальное решение (при m = n это значит, что det A = 0).

22

Определение. Система элементов x1,..., xn называется линейно независимой, если из равенства α1x1 +... +αn xn =θ (здесь θ – нулевой элемент сис-

Определитель этой однородной системы равен

23

Определитель полученной однородной системы

висима. Укажем коэффициенты линейной комбинации αi ≠ 0 . Для этого приведем матрицу однородной системы к ступенчатому виду:

α1 = −2α2 ,α3 = 0 , где α2 можно задавать произвольно.

Лекция 5

Пусть имеется однородная система уравнений (4.1) и пусть rang A = r <n.

Определение. Фундаментальная система решений E1,..., En−r системы

(4.1) – это система линейно независимых решений, через которую можно выразить любое решение системы в виде их линейной комбинации.

Алгоритм нахождения E j :

(1) Находим rang A=r. Пусть r < n (в случае r = n решение тривиально), тогда будем иметь

Неизвестные x1, x2 ,...xr будем называть базисными, xr+1, xr+2 ,..., xn - свободными. (Здесь мы для удобства рассуждений считаем, что минор матрицы А стоящий на пересечении первых r строк и первых r столбцов, отличен от нуля.) Тогда решение однородной системы АХ = 0 имеет вид:

Найдем фундаментальную систему решений данной однородной системы. Проверьте, что все миноры третьего порядка равны нулю, т. е. rang A = 2 .

Теперь рассмотрим укороченную систему

x3 = c1, x4 = c2 , x5 = c3 .

Решаем укороченную систему (5.3) по формулам Крамера:

Отсюда решение укороченной системы имеет вид:

x1 = d1 / d = −(1/ 8)(−19c1 −3c2 +4c3 ) , x2 = d2 / d = −(1/ 8)(−7c1 +25c2 −4c3 ) .

25

Тогда общее решение однородной системы имеет вид

Xодн. =α1E1 +α2 E2 +α3E3,αi R .

Нахождение общего решения системы АХ = В.

Пример. Пусть система линейных уравнений определяется расширен-

совместна. Так как rang А = 2, то число базисных неизвестных равно 2; n −r = 2 – число свободных неизвестных. Разыскиваем минор второго поряд-

В данном примере нетрудно выписать общее решение однородной системы

Из последней формулы легко находим систему фундаментальных решений однородной системы:

ражений удобства. Xч.неодн. = (9 / 4,3 / 2,1,1)t . Тогда общее решение исходной системы можно записать в виде: Xобщ. = Xодн. + Xч.неодн.

Вывод: Если задана неоднородная система АХ = В, то общее решение

Xобщ. = Xодн. + Xч.неодн. , так как A(Xодн. + Xч.неодн. ) = AXч.неодн. = B .

Раздел III. Векторная алгебра

Лекция 6

Векторы – это такие величины, которые имеют не только численное значение, но и определенное направление. Многие физические величины являются векторами: например, сила, перемещение, скорость, ускорение.

| a |, где A и B обозначают начало и конец данного направленного отрезка. Начало вектора называют точкой приложения этого вектора. Точка приложения геометрического вектора может быть выбрана произвольно, т.е. два

27

вектора, полученные один из другого параллельным переносом, считаются равными. Вектор θ называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет направления. Векторы a и b называются коллинеарными (обозначается a b ), если они лежат либо на одной, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Теперь можно сформулировать понятие равенства двух векторов: два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Определение. Суммой a +b двух векторов a и b называется вектор, исходящий из начала вектора a в конец

вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a (рис. 6.2).

Это так называемое правило треугольника сложения векторов. Операция сложения двух векторов подчиняется закону коммутативности a +b = b +a и ас-

социативности (a +b) +c = a +(b +c) . Для каждого вектора a справедливо равенство a +θ = a . Кроме того, нетрудно проверить, что для a (−a) та-

кой, что a +(−a) =θ . Вектор (−a) называется вектором, противоположным

вектору a .

Коммутативный закон сложения векторов имеет геометрическую интерпретацию, извест-

ную как правило параллелограмма: если a и b

приложены к общему началу и на них как на сторонах построен параллелограмм, то сумма этих векторов представляет собой диагональ паралле-

лограмма, исходящую из общего начала векторов a и b (рис. 6.3).

28

Свойства операции сложения позволяют распространить правило сложения на сумму любого конечного числа векторов.

Определение. Разностью векторов a −b называется такой вектор, который в сумме с вектором b дает вектор a . (Обратите внимание на то, что операция вычитания векторов определяется через уже введенную операцию сложения.)

так же, как вектор a , в случае α > 0 и противоположно направлен в случае

α < 0.

Основные свойства введенной операции таковы: 1) α(a +b) =αa +αb ;

2) (α + β)a =αa + βb (дистрибутивность); 3) (αβ)a =α(βa) (ассоциатиность). Эти свойства очевидны из наглядных геометрических соображений.

Определение. Линейной комбинацией векторов a1,a2 ,...,an называется

выражение вида α1a1 +α2 a2 +... +αn an , αi i =1,...,n . Числа αi называются коэффициентами линейной комбинации. Линейная комбинация называ-

29