линейная алгебра и агалитич геом

det A = a31 A31 +a32 A32 +a33 A33 . Такое разложение определителя третьего порядка справедливо применительно к элементам любой строки (столбца). Итак, det A = ai1 Ai1 +ai2 Ai2 +ai3 Ai3(или det A= a1i A1i +a2i A2i +a3i A3i ), i =1,2,3. (1.2)

Пример. Вычислим определитель по второй строке:

Формула (1.2) позволяет перенести все свойства определителей второго порядка на определители третьего порядка.

Понятие определителя любого порядка.

Формулу разложения (1.2) определителя по элементам строки (столбца) можно принять за правило, по которому вычисляются определители порядка n > 3. Например, для n = 4

Аналогично вводится определитель произвольного n –го порядка. Он сводится к определителям (n −1) –го порядка:

Числа aij называются элементами матрицы A. Первый индекс i – номер строки, в которой стоит элемент aij, второй индекс j – номер столбца, в котором стоит элемент aij . Сокращенно записывают А = (aij). Если m = n, матрица называется квадратной порядка n, если m ≠ n , то матрица называется прямо-

угольной.

Матрица А = (a1, a2,..., an) размера 1×n называется матрицей-строкой, а

– это матрица, все элементы которой равны нулю. Единичная матрица n –го порядка – это квадратная матрица, на главной диагонали которой элементы

Диагональная матрица порядка n – это квадратная матрица, все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Таким образом, единичная матрица является диагональной. Если A– квадратная матрица, то можно вычислить ее определитель. Если det A ≠ 0 , то матрица называ-

ется невырожденной, в противном случае – вырожденной.

Определение. Две матрицы А = (aij) и В = (b ij) называются равными, если их размерности совпадают и соответственные элементы равны: aij = bij для i и j (т.е. А = В).

Сложение матриц.

Пусть А = (aij) и В = (bij) матрицы одинаковой размерности. Их суммой называется некоторая матрица С = (cjj) такой же размерности, что А и В, элементы которой определяются равенствами: cij = aij + bij .

3) A +Θ = A; 4) A − B = A +(−B), 5) A − A: A +(−A) = Θ. Аналогично определяется сумма большего числа матриц.

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А на число α R называется такая матрица В = ( bij) (такой же размерности, что А), что bij = αaij, т.е. при умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на это число.

Свойства операции умножения матрицы на число:

1)α(A + B) =αA +αB (первое свойство дистрибутивности);

2)(α + β)A =αA + β A (второе свойство дистрибутивности);

3)(αβ)A =α(β A) , α, β R (свойство ассоциативности).

Произведение матриц.

Произведение матриц А и В определяется только при условии, что число столбцов первого сомножителя (матрицы А) равно числу строк второго сомножителя (матрицы В). Если А = (a ij) - матрица размера m ×n , В = ( bij) - матрица размера n ×k , то их произведением называется матрица С = (cij) размера m ×k , элементы которой вычисляются по правилу "строка на столбец", а именно, равны сумме произведений соответственных элементов строки первого сомножителя и столбца второго сомножителя:

AB ≠ BA , т.е. вообще говоря, произведение матриц зависит от порядка сомножителей. ЕслиAB = BA , то такие матрицы называются перестановоч-

ными (или коммутирующими).

6) Если А и В – квадратные матрицы одного порядка, то det(AB) = det A det B .

Возведение квадратной матрицы А в натуральную степень:

A2 = A A, An+1 = An A.

Транспонирование матрицы. Пусть А = ( aij). Транспонированной по отношению к матрице А называется матрица At , получающаяся из матрицы А заменой ее строк на столбцы с сохранением номеров (т.е. первая строка заменяется на первый столбец и т.д.).

Если А = Аt, то такая матрица называется симметрической.

Обратная матрица.

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц. Пусть А – квадратная матрица. Матрица В называется обратной для матрицы А и обозначается B = A−1 , если AB = BA = E , где Е – единичная матрица того же размера, что матрица А.

Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. Для того чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы det A ≠ 0 (т.е. чтобы матрица А была невырожденной). Если обратная матрица для матрицы А существует, то она единственная.

Алгоритм построения обратной матрицы. Пусть det A ≠ 0 . 1) Вычис-

ляем det A; 2) составляем матрицу D, состоящую из алгебраических допол-

14

Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

меной j –го столбца на столбец B правых частей системы. Очевидно, формулы Крамера дают единственное решение системы, это следует из теоремы о единственности обратной матрицы (см. лекцию 2). Таким образом, необходимым и достаточным условием определенности квадратной системы является невырожденность ее матрицы.

Элементарные преобразования матриц:

1)перемена мест (транспозиция) двух строк (столбцов);

2)умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3)прибавление к элементам одной строки (столбца) соответственных элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число, отличное от нуля. Матрица B, полученная из другой матрицы A элементарным преобразованием, называется эквивалентной исходной. При этом пишут,

что B A .

17

Метод Гаусса.

Пусть имеется система уравнений (3.1). Согласно введенным выше определениям, мы можем вместо системы (3.1) рассматривать расширенную матрицу A. Чтобы найти решение системы (3.1) по методу Гаусса, приведем матрицу A с помощью элементарных преобразований над строками к ступенчатому виду:

рем произвольные значения. После этого, двигаясь по системе (3.5) снизу вверх, найдем значения xk ,..., x1 . Решений в этом случае будет бесконечно много, т.е. система неопределенная, но совместная. Метод Гаусса применим к любой системе.

18