лекции вышмат

Добавил:

VadoZ хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

y = ψ(t) = ψ(φ

= f (x), имеющую

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2024

Размер:

5.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 259 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ЛЕКЦИЯ 15

Вычисление определенного интеграла

Пусть y = f(x) непрерывна на [a, b]

она непрерывна на любом [a, x],

x a, b

существует функция

x F (x) =

f (t)dt

−

интеграл с переменным верхним пределом.

Теорема 1 (о производной определенного интеграла по переменному пределу). Пусть y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда

	d	x
	d	f (t)dt = f (x), x a, b .

F (x) =	dx
	dx	a
		a

Или: производная интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции в этом верхнем пределе.

верхнему

(1)

значению

▲ F

(x) = lim	F (x + x) − F (x)	=
	x
x→0

	1	x+ x
lim
x→0	x	a
		a

x		9.
f (t)dt −	f (t)dt =
a

	1	x+ x		т. о среднем
				т. о среднем
lim	x		f (t)dt	=
x→0	x	х
		х

lim	1	f (	ξ	)(x + x − x) = lim	f (ξ) =
	x
x→0			ξ x, x+ x	x→0

f (x)

в силу непрерывности функции y = f (x). ■

Замечание. Из теоремы функции y = f (x) : этой

Следствия

1 следует существование первообразной будет F (x)

первообразной для непрерывной

	x
=		f (t)dt .
=		f (t)dt .
	a

	d	a			d		x
1)			f (t)dt = −					f (t
	dx				dx

		x					a

2)	Используя			правило
фиксированном a,						y = φ(

)dt = − f (x).

дифференцирования сложной функции, имеем при любом

x), z = ψ(x) :

ψ( x)

f (t)dt =

f (t)dt +

f (t)dt

φ( x)

= − f ( y) φ (x) +

f (z) ψ (z) =

f (ψ(x)) ψ (x) − f

Теорема 2 (формула Ньютона – Лейбница).

и F(x) – любая ее первообразная. Тогда

f (t)dt

dz a

(φ(x)) φ (x).

Пусть функция y = f(x) непрерывна на [a,b]

▲ По теореме 1

доказанному выше

Положим в (3) x = x = b , имеем: F (b)

f (x)dx = F (x) ba = F (b) − F (a).

(2)

f (t)dt

является первообразной функцией для f(x),

a,b

по

любая первообразная для

f (x)

может быть записана в виде

F (x) = x

f (t)dt +

, x a, b .

(3)

постоянная

a F(a) = 0 +C C = F(a) . Подставляя это значение в (3) и полагая

= b

f (t)dt + C = b

f (t)dt + F (a)

F (b) − F (a) = b

f (t)dt = b

f (x)dx

(переменную интегрирования можно обозначить любой буквой). ■

																		1		xdx
																				xdx				.
Пример. Найти определенный интеграл																				2			2	.
Пример. Найти определенный интеграл
																		0	( x		+ 1)
																		0
	1		xdx				1	1	d (x			2	+ 1)			1		1			1	1			1
																		1

						=									= −				= −					−1) =
Решение.			2		2	=				2				2	= −	2			= −		(			−1) =	.
Решение.
		( x		+ 1)			2		( x			+ 1)			2( x		+ 1)				2	2			4
	0	( x		+ 1)			2	0	( x			+ 1)			2( x		+ 1)	0			2	2			4
	0							0										0
	Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле
Теорема 3 (замена переменной). Пусть функция y = f (x)																										непрерывна на отрезке [a,b].
Пусть функция						x = φ(t)							непрерывно дифференцируема на отрезке														α,β	, т.е. имеет на этом
Пусть функция						x = φ(t)							непрерывно дифференцируема на отрезке															, т.е. имеет на этом
отрезке		непрерывную													производную							φ (t) .			Пусть	φ(α) = a,		φ(β) = b	и при
t (α,β)		φ(t) (a,b).									Тогда

b	β
f (x)dx = f (φ(t))φ (t)dt.
a	α

(4)

Интеграл слева существует, как интеграл от непрерывной функции; интеграл справа также

существует, так как по условию сложная функция f (φ(t)) непрерывна на отрезке	α,β	и

φ (t) также непрерывна на этом отрезке.

▲ По формуле Ньютона – Лейбница

для

f(x).

F (φ(t))

является

f (x)dx = F (b) − F (a) , где F(x) – любая первообразная
первообразной	для	f (φ(t))φ (t) ,	так	как


			= F (x) φ (t) = f (x)φ (t) = f (φ(t))φ (t)
F (φ(t))
	x
		t

по формуле Ньютона– Лейбница

b f (φ(t))φ (t)dt = F (φ(β)) − F (φ(α)) = F (b) − F (a) =

( x)dx

. ■

При использовании формулы (4) не нужно возвращаться к старой переменной х, нужно просто вычислить интеграл в правой части и подставить пределы по t .

														2
Пример. Найти определенный интеграл																x	2
																	2
															2
							1
							1
	2						x =			2
	2			dx			cos t	3	cos	2	t cos t	sin t					3
							cos t						2
Решение.		x		x		− 1	=			sin t		cos	2	dt	=
Решение.							=							dt	=
	2		2		2									t
								4									4

dx		.
x		.
x	2	−1


cos tdt = sin t			3	=	3	2
cos tdt = sin t				=		−
					2	2
			4
			4

Интеграл от четной и нечетной функции в симметричных пределах

a		0	a	0	a
	f (x) dx =		f (x)dx + f (x)dx = − f (−t)dt + f (x)dx =
−a нечётная		−a	0	a	0
	функция	x=−t ,dx=−dt
		x=−t ,dx=−dt
0		a	a	a
= f (t)dt + f (x)dx = −				f (t)dt + f (x)dx = 0.
a		0	0	0

Следовательно, интеграл от нечётной (непрерывной) функции в симметричных пределах равен нулю. Аналогично при такой же замене

a	f (x) dx = − 0		f (−t)dt + a	f (x)dx = −0	f (t)dt + a	f (x)dx = a	f (t)dt + a	f (x)dx = 2 a	f (x)dx.
−a четная		a	0	a	0	0	0	0
	функция

Теорема 4 (интегрирование по частям).						Если функции u(x)			и v(x)
дифференцируемы на отрезке [a, b], то
			b			b
					b	− u vdx.
			uv dx = uv a			− u vdx.
			a			a
Или, обозначая v dx = dv,u dx = du,
			b			b
				b	− vdu.
			udv = uv a		− vdu.
			a			a
▲ (uv) = u v + uv ; интегрируем обе части от a до b:
b	b	b	b				b	b
				b		b			■

(uv) dx = u vdx + uv dx . Но (uv) dx = uv a (uv) a							= u vdx + uv dx.
a	a	a	a				a	a

непрерывно

(5)

(6)

Геометрические приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур

Вычисление площадей в декартовой системе координат

Как было показано выше, площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=а,

				b
x=b, y=0 и графиком функции y = f (x)	0	, равна	S (x) =		f (x)dx . Более общий случай
x=b, y=0 и графиком функции y = f (x)	0	, равна	S (x) =		f (x)dx . Более общий случай
				a
приведен на рис.1.

Рисунок 1

Теорема 5. Площадь криволинейной трапеции, изображенной на рис.1, равна

	b		2	1
S =		f	2	1	(x) dx
S =		f		(x) − f	(x) dx
	a

(7)

▲ S = S2 − S1 = b

f2 (x)dx − b

f1 (x)dx = b f2 (x) − f1 (x) dx,

что доказывает формулу (7) при

f1 (x) 0 . Теперь докажем,

что формула (7) справедлива и без этого дополнительного

предположения: пусть

f (x) C, x

a,b

(С < 0

−

любое)

f (x) −C 0

. Теперь сдвинем

графики обеих функций вверх на – С, при этом искомая площадь не изменится: S = S1 , где

S1 – площадь криволинейной трапеции, ограниченной

прямыми

x = a и x = b и

графиками неотрицательных функций

y = f1(x) −C и y = f2 (x) −C,

f2 (x) −C f1(x) −C,

следовательно, по уже полученному,

S = b f2 (x) −C − f1 (x) + C dx = b f2 (x) − f1 (x) dx . ■

Вычисление площади при параметрическом задании границы области

Рисунок 2

Найдём площадь

криволинейной трапеции, ограниченной

осью 0х, прямыми

х = а и

х = b и кривой, заданной параметрически: x = φ(t), y = ψ(t) 0,

α,β

, φ(α) = a,

φ(β) = b

(рис. 2); функции

φ(t), φ (t), ψ(t) непрерывны на

α,β

Пусть уравнения

x = φ(t) и

y = ψ(t) определяют некоторую непрерывную (или кусочно–

непрерывную) функцию

y = f (x) 0, x a, b сделав замену

x = φ(t),

получим:

b
S = f (x)dx = f (φ(t))φ (t)dt
a		y=ψ(t )
		y=ψ(t )
		S

= ψ(t)φ (t)dt

=y(t)dx(t) = ψ(t)φ (t)dt

(8)

Замечание. Здесь обязательно, чтобы

α	соответствует левому краю отрезка, а

α β .

– правому, поэтому не

Пример. Найти площадь, ограниченную эллипсом x2 + y 2 a2 b2

Рисунок 3

Решение. Запишем уравнения эллипса параметрически:

краю криволинейной трапеции, t = π ( x = 0, y = b) ,

= 1 (рис. 3).

x = a cos ty = b sin t

а предел,

, t 0, 2π . Предел, соответствующий левому

соответствующий правому краю трапеции,

			0		0	1	− cos 2t	1	0
			0		0
t = 0 (x = a, y = 0)		= 4		b sin t(−a sin t)dt = −4ab
	1						dt = −2ab (t −		sin 2t )
	S = 4S						dt = −2ab (t −	2	sin 2t )
							2	2

									2
			2		2

Площадь в полярных координатах

= πab.

Теорема 6. Площадь криволинейного сектора, ограниченного лучами r = f (φ) , где f (φ) – непрерывна при φ α,β , (рис. 4) равна

	1		1
S =		r 2dφ =		f 2 (φ)dφ .
	2		2

φ = α ,

φ = β

и кривой

(9)

▲ Рассмотрим произвольное разбиение отрезка

α,β

На каждом отрезке

φ	, φ	i+1
i		i+1

выберем произвольную точку	ξ	i	Обозначим	r	=	f
выберем произвольную точку		i	Обозначим	i

“ступенчатую” фигуру (рис. 4), ограниченную лучами ri .

	i
	i	i+1

Рисунок 4

(ξ	)	.
i
φ = φ			i

Рассмотрим так называемую

и дугами окружностей радиуса

Под площадью криволинейного сектора мы будем понимать предел площадей ступенчатых

фигур при λ →0	, где λ = max φi , φi	= φi+1 − φi	, если этот предел существует и не зависит
	i

от выбора точек

	i

и

. Тогда

n−1

S = lim

lim

(ξ ) φ

→0

i=0

площадь сектора

λ→0

i=0

λ→0

i=0

(φ)−

радиуса r

углом

непрерывная

α равна

функция

2	(φ)dφ

. ■

Пример. Найти площадь, ограниченную лемнискатой Бернулли ( x2 + y2 )2

= x2 − y2 (рис. 5).

Решение. Для упрощения формулы перейдем к полярным координатам:

= r

cos

φ − r

sin

φ = r

cos 2φ

график этой функции в полярных координатах. Если S1 - площадь части фигуры, находящейся в 1ой

и построим

четверти, то искомая площадь


		1	4	4
		1	4	4
S = 4S1	= 4		cos 2φdφ = sin 2φ d 2φ = sin 2		4	= 1.
S = 4S1	= 4	2	cos 2φdφ = sin 2φ d 2φ = sin 2		0	= 1.
		2	0	0	0

Рисунок 5

Длина дуги плоской кривой

Длина дуги в декартовых координатах

Пусть дана кривая y = f (x) . Разобьём нашу кривую на части точками и соединим эти точки прямыми. Получим так называемую вписанную ломаную (рис. 6).

				Рисунок 6
Под длиной дуги	M	0	M	n понимается предел длин вписанной ломаной	M	M	...M	n−1	M	n	при
Под длиной дуги		0		n понимается предел длин вписанной ломаной	0	1		n−1		n	при

длине её наибольшего звена s стремящейся к 0, если этот предел существует и не зависит

от выбора точек	M	i .

Теорема 7. Пусть функция y = f (x) непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b]. Тогда длина дуги M 0 M n равна:

l =

1+ ( y )

dx.

n−1

( x )2

+ ( y )2

▲

l = lim

i+1

= lim

s→0

S →0

i=0

Лагранжа:

= y

− y

f (c )(x

− x ) = f

(c ) x

i+1

	y
1+	i
	i
	x
	i

yi =xi

 

xi ;(ci ),

применим

c	i			x , x		;
				i	i+1

(10)

теорему

тогда

	n−1
l = lim		1+ ( f (c ))	2	x
l = lim		1+ ( f (c ))		x
s→0		i		i ; так как при s → 0
s→0	i=0
	i=0

для интеграла от непрерывной функции 1+[

	b					b
l =		1+ ( f		2	dx =			2	dx . ■
l =		1+ ( f	(x))		dx =		1+ ( y )		dx . ■

max xi → 0 , то это есть интегральная сумма

f (x)]2 , которая в пределе дает этот интеграл:

a	a
Длина дуги кривой, заданной параметрически
Теорема 8.	Пусть уравнение кривой задано в параметрической форме: x = φ(t), y = ψ(t),
t α,β .	Пусть функции φ(t) и ψ(t) непрерывно дифференцируемы на

α,β и φ (t) 0, t α,β . Тогда длина дуги

▲ По условию теоремы

либо


l =	φ (t)	2	+	ψ (t)	2	dt.
l =	φ (t)		+	ψ (t)		dt.

φ (t) всюду > 0, либо φ (t)

всюду < 0. Значит,

φ(t)

(11)

всюду либо

возрастает, либо убывает, и существует обратная функция

уравнения x = φ(t), y = ψ(t)			определяют некоторую
производную y =	ψ (t)	.
	φ (t)

а) пусть φ (t) 0, t α,β φ(t) возрастает на α,β x =

φ(t) φ(α), φ(β)

l =	φ(β)	1+ ( y )	2	dx	x=φ(t ) β
l =		1+ ( y )		dx	=

	φ(α)					α

	ψ (t)	2	φ (t ) 0
	ψ (t)

1+		φ (t)dt	=
	φ (t)

φ (t) 2 +

ψ (t)

2	dt

;

б) пусть φ (t) 0, t α,β φ(t) убывает на α,β

φ(α)

x=φ(t ) α

ψ (t)

φ (t )

1+ ( y )2 dx

φ (t)dt

l =

φ(β)

φ (t)

+ ψ (t)

dt . ■

x = φ(t) φ(β), φ(α)

0 −α
0 −α	φ (t) 2 + ψ (t) 2 dt =
β

Длина дуги в полярных координатах
Теорема 9. Пусть в полярных координатах задано уравнение кривой											r = f (φ) , где
непрерывно дифференцируема на отрезке				α,β	. Тогда длина дуги
непрерывно дифференцируема на отрезке					. Тогда длина дуги

			l =		'		2	+ r	2
			l =	(r		)		+ r		dφ.

▲	x = r cos φ =	f (φ) cos φ	− параметрические уравнения кривой (φ − параметр).
▲	y = r sin φ =		− параметрические уравнения кривой (φ − параметр).
	y = r sin φ =	f (φ)sin φ

f (φ)

(12)

Для нахождения длины дуги мы можем применить формулу (11):

β
l =	2	2
l =	[ f (φ) cos φ − f (φ) sin φ]	+[ f (φ) sin φ + f (φ) cos φ] dφ =
α

= ( f )2 cos2 φ + f 2 sin2 φ − 2 f

α
β
=	f	2	(cos	2	φ + sin	2	φ) +	f
				2		2

α

f cos φ sin φ + ( f )2 sin2 φ +

f 2 cos2 φ + 2 f

f	2	+ f	2	dφ.

f sin φ cos φdφ =

■

Вычисление объёмов тел

Вычисление объемов по площадям параллельных (поперечных) сечений

Пусть имеем некоторое тело Т, x [a,b] и пусть для каждого x [a,b] нам известна

S = S (x) – площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси 0х в точке с абсциссой х (рис. 7); такие сечения называются параллельными, или поперечными. Рассмотрим произвольное разбиение отрезка [a,b]. На каждом отрезке разбиения возьмём

произвольную точку ξi xi , xi+1 и рассмотрим ступенчатое цилиндрическое тело,

составленное из цилиндров, изображенных на рис. 8 (основаниями цилиндров будут полученные сечения).

Под объёмом тела V мы будем понимать предел объёмов ступенчатых цилиндрических тел

при λ = max xi → 0 , если этот предел существует и не зависит от выбора точек xi и ξi . i

Рисунок 7

	a = x0 xi			i			xi+1			xk k xk +1 b = xn
							Рисунок 8
Теорема 10. Если функция S(x) непрерывна на отрезке [a,b], то
							V = b S(x)dx.
							a
		n−1				n−1				n−1
▲	V = lim		Vi	= lim			Si	xi	= lim S(ξi ) xi		.Последняя
	λ→0	i=0		λ	→0	i=0			λ→0	i=0
		i=0	объём i−ого			i=0	площадь	высота		i=0
			объём i−ого				площадь	высота
			циллиндра				основания

(13)

сумма есть

интегральная сумма для интеграла b S (x)dx , которая, в силу непрерывности

подынтегральной функции, в пределе дает этот интеграл: V = b S (x)dx . ■

ЛЕКЦИЯ 16

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

(значительную часть этой темы студенты должны разбирать самостоятельно)

Многомерные пространства

Определение 1. Точечным n–мерным арифметическим евклидовым пространством	R	n

называется множество всех систем n действительных чисел, для которых расстояние между

точками

x = (x

, x

,..., x )

y = (y , y

,..., y

)

определено по формуле

( y1

(1)

ρ(x, y) =

− x1 )

+ ( y2

− x2 )

+ ... + ( yn − xn )

Элементы

x = (x

, x

,..., x

)

называются

точками пространства

, а числа

x , x

,..., x

называются координатами этих точек. Точка 0 (0,0,…,0) называется началом координат

этого пространства. Пусть	x Rn	и ε 0 . Множество точек y Rn таких, что ρ(x, y) ε ,
называется n-мерным шаром с центром в точке x,					или	ε − окрестностью точки	x и
обозначается U (x; ε) или	U (x) .	Множество	U (x; ε)	\	x	называется проколотой	ε −

								0
окрестностью точки		x и обозначается						U (x; ε)			или
окрестностью точки		x и обозначается									или
последовательности		x	( k )	,	если		lim ρ(x		( k )	, x) =
точке	x , и пишут		lim x				k →
точке	x , и пишут		lim x		( k )	= x . Равенство
					( k )
			k →

0
U (x)				n	называется пределом
. Точка x R				n	называется пределом
0 . Тогда говорят,					что x	( k )	сходится к
0 . Тогда говорят,					что x		сходится к
lim x	( k )	= x	равносильно				тому, что
	( k )
k →

ε 0 K = K(ε) :

k K x(k ) U(x,ε) .

По аналогии с предыдущим доказывается следующая теорема:

Теорема 1. Для того чтобы последовательность x(k ) = (x(k ) , x(k )

,..., x(k ) ) Rn

имела своим

1 2

пределом точку

x = (x

, x

,..., x

)

необходимо и достаточно, чтобы lim x

(k )

= x

i =

1, 2,…,n.

k → i

Определение 2. Множество точек в n–мерном пространстве R

называется ограниченным,

если оно целиком содержится в некотором n–мерном шаре. Точка множества называется его внутренней точкой, если у нее существует окрестность, целиком принадлежащая этому

множеству. Множество точек в	R	n	называется открытым, если все точки этого множества

являются внутренними. Точка пространства Rn называется предельной точкой некоторого множества, если в любой ее окрестности содержится точка этого множества, отличная от

исходной точки. множества, если множеству, так

Точка пространства Rn			называется граничной		точкой некоторого
в	любой	ее окрестности	есть	как точки, принадлежащие данному
и	точки,	этому множеству не		принадлежащие.	Совокупность всех

граничных точек множества

называется его границей и обозначается X . Множество

точек в R

называется замкнутым, если оно содержит все точки своей границы.

Пусть

a, b – некоторый отрезок числовой прямой. Всякое отображение

x(t) этого отрезка

в пространство

(т.е. соответствие точкам отрезка точек пространства

) можно описать

при помощи n

числовых функций

= x (t), t

a, b

i =

1, 2, …, n . Такое отображение

называется непрерывным на a, b , если на этом отрезке непрерывны все функции

(t)

Любое

непрерывное отображение

отрезка в

n − мерное пространство называется

непрерывной кривой в этом пространстве. Множество точек в Rn называется связным, если

любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей

множеству. Открытое связное множество точек из

называется областью.

Определение, предел и непрерывность функции нескольких переменных

Определение 3. Говорят, что задана функция n переменных

y = f (x) = f (x

, x

,..., x

)

, если

каждому значению

= (x , x

,..., x

) X

, где

– некоторое множество точек пространства

соответствует одно действительное число

Множество X

при этом называется

областью определения функции

f ,

а точка

и ее координаты

(x , x ,...x

)

называются

аргументами этой функции.

Определение 4. Пусть функция y =

f (x)

задана на множестве X R

(0)

– предельная

точка этого множества.

lim

f (x) = b ε 0 δ = δ(ε) 0 : x X , 0 ρ(x, x

(0)

) δ

f (x) − b ε

. Или:

x→x

( 0 )

(0)

lim

f (x) = b U (b) U (x

) : x X U (x

) f (x) U (b).

x→x

( 0 )

Определение 5.

Пусть функция

y = f (x) задана на множестве

X Rn и в точке

x(0) ,

которая является

предельной для этого множества. Эта функция называется непрерывной

в точке x

(0)

, если

lim f (x) =

f (x0 )

(т.е. предел функции в точке равен значению функции

x→x

( 0 )

в этой точке). Обозначив

y = f (x) − f (x ),

x = (x

,..., x ),

x =

(0)

,..., x

(0)

)

последнее

равенство

можно

также

записать

виде

lim y = 0 ,

или

lim y = 0

где

x→x

( 0 )

x→0

x =	x	2	+ ... + x	2	,
				n
	1

= xi

− x	(0)	, i

i

=1, 2,..., n

Поскольку определения предела и непрерывности функции нескольких переменных по форме дословно совпадают с соответствующими определениями для функции одного переменного, то для функций нескольких переменных сохраняются (и аналогично доказываются) основные свойства пределов функций и непрерывных функций.

Возникает естественный вопрос: можно ли для вычисления пределов функций нескольких переменных переходить к пределу по аргументам по очереди, т.е. вычислять так называемые повторные пределы? Приведенный ниже пример показывает, что в общем случае этого делать нельзя.

Пример. Вычислить lim

x →0

x2 + y 2

y →0

Решение. Повторные пределы в этом случае будут равны

lim(lim

) = lim 0 = 0 и lim(lim

) = lim 0 = 0 ;

y →0 x →0 x2 + y 2

y →0

x →0 y →0 x2 + y 2

x →0

сам же исходный предел вообще не существует: рассмотрим частный случай, а именно, будем приближать точку

(x, y)

(0,

y = kx

kx2

к точке

по прямой

, тогда наш предел будет равен lim

но так как это выражение зависит

x →0 x2 + k 2 x2

1 + k 2

от k	(т.е. от прямой), а предел функции, если он существует, единственен, то это и означает, что данного предела вообще
нет.

Отсюда, в частности, следует, что правило Лопиталя к функциям нескольких переменных применять нельзя.

Рассмотрим еще два примера неопределенностей вида 00 :

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 259 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.06.20245.04 Mб3L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_1.pdf
#
01.06.20246.08 Mб2L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_2.pdf
#
01.06.20242.46 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_3.pdf
#
01.06.20241.39 Mб21вышмат полезно.pdf
#
01.06.2024482.88 Кб11кр по алегебре.pdf
#
01.06.20245.41 Mб99лекции вышмат.pdf
#
01.06.20241.34 Mб4линейная алгебра и агалитич геом.pdf