лекции вышмат

Добавил:

VadoZ хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

знаменатель дробей

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2024

Размер:

5.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 258 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Теорема 4 (о тождественно равных многочленах). Если два многочлена тождественно

(т.е. для все х) равны, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.

▲	P(x) P (x) P(x) − P (x) 0 P(x) 0,				где	P(x) = P	(x) − P (x)	– многочлен степени,
	1	2	1	2		1	2

не превосходящей наибольшей из степеней P1 и P2 . Но, по доказанному, если степень P(x) равна k, то P(x) имеет лишь k корней, а у нас все x – корни. Это может быть лишь, если все коэффициенты P(x) равны 0, т.е. все коэффициенты P1(x) и P2(x) совпадают. ■

Пусть теперь многочлен P(x) – с действительными коэффициентами.

Теорема 5. Комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами попарно

сопряжены, т.е. если		a +bi	– корень многочлена, то a −bi					– тоже его корень.
▲ Пусть P(a +bi) = 0
a (a + bi)n + a (a + bi)n−1 +... + a				n−1	(a + bi) + a	n	= 0 .
0	1			n−1		n

Тогда комплексно сопряженное к левой части этого равенства число тоже равно 0:

a0 (a + bi)	n	+ a1	(a + bi)	n−1	+... + an−1	(a + bi) + an	= 0 .

Учитывая свойства операции сопряжения и то, что								a	= a
								i	i
a	(a + bi)	n	+ a (a + bi)	n−1	+... + a	(a + bi) + a		= 0
							n
0			1		n−1
a	(a −bi)	n	+ a (a −bi)	n−1	+... + a	(a −bi) + a		= 0,

0			1		n−1	n

что и означает, что a −bi – корень многочлена:

P(a −bi) =

, отсюда имеем:

. ■

Замечание. По этой теореме, в разложении Р(х) на множители (4) будет выражение

x – (a + ib) x – (a – ib) = (x – a – ib) (x – a + ib) = (x – a)2 + b2 = x2 – 2 a x + a2 + b2 = = x2 + p x + q, где – 2 a = p и a2 + b2 = q, значит, P(x) делится на x2 + p x + q :

Р(х) = (x2 + p x + q) Р1(х).

В этой формуле Р1(х) – многочлен с действительными коэффициентами (если при

действительных коэффициентах Р(х)				и действительных числах p и q, делить P(х) на
x	2	+ px +q	«углом», то полученные	коэффициенты Р1(х), естественно, тоже будут

действительными числами). К Р1(х) применимы все наши рассуждения: если он опять имеет корень a +bi , то будет иметь и корень a −bi и т.д., следовательно кратности корней a + bi и a – bi совпадают.

Теперь разложение многочлена с действительными коэффициентами на множители можно записать в виде:

... (x

+ p x + q )

(7)

P(x) = a (x − x ) 1 (x − x ) k (x

+ p x + q ) 1

В этой формуле х1,…

хк –

действительные

корни

многочлена Р(х),

x2 + p x + q

–

квадратные трехчлены с действительными коэффициентами и комплексными корнями

a	j	b	i	( т.е. у этих трехчленов D 0 ) и	r +... + r		+ 2t	+... + 2t	l	= n.
	j	j			1	k	1		l

Теорема 6 (о кратных корнях многочлена). Для того чтобы х = x0 являлось корнем

многочлена Р(х) кратности r необходимо и достаточно чтобы

Р ( x0 ) = 0, P (x0 ) = 0,..., P(r −1) (x0 ) = 0, P(r ) (x0 ) 0 .

▲ Необходимость.

Пусть х =

– корень многочлена Р(х) кратности r. Согласно формуле (6),

P(x) = (x − x )r Q(x) , где Q (x) – многочлен и Q(x ) 0 .

P (x) = r(x − x

)

r −1

Q(x) + (x − x

Q (x) = (x − x )

r −1

(rQ(x) + (x − x

)Q (x))

Отсюда

)

Обозначим многочлен во второй скобке

Q (x)

, тогда

P (x) = (x − x )

r −1

Q (x)

, где

Q (x ) = rQ(x ) 0

Аналогично

P (x) = (x − x )

r −2

(x )

, где

(x ) 0

,…

(r −1)

(x) = (x − x )Q

(x) , где

Qr −1 (x0 ) 0

(r )

(x) = Q

(x) , где

Q (x ) 0 .

r −1

r 0

Подставляя в полученные равенства

x = x

, получим нужный нам результат:

Р( x

) = 0,

P (x )

= 0,..., P

(r −1)

(x ) = 0, P

(r )

(x ) 0 .

Достаточность.

Пусть Р(

0 ) = 0,

P (x ) =

0,..., P

(r −1)

(x )

= 0, P

(r )

(x )

и пусть степень многочлена Р(х)

равна n. Разложим этот многочлен по формуле Тейлора:

(k )

(x )

P(x)

(x − x

)

k !

k =0

Из условий теоремы первые r слагаемых в этой сумме равны нулю, т.е.

(k )

(x )

P(x)

(x − x

)

k !

k =r

Тогда можно вынести за скобку

(x − x )

, и наше равенство примет вид:

(k )

(x )

P(x) =

− x

)k −r

k !

k =r

Q(x)

Обозначая сумму в этом выражении Q(x), получим

P(x) = (x − x )

, где

(r )

(x )

(r +1)

(x )

(n)

(x )

(r )

(x )

n−r

Q(x) =

(x − x ) +... +

(x − x )

и Q(x ) =

0 .

(r +1)!

r !

Тем самым выполняются условия определения кратности корня многочлена (6), и является корнем многочлена Р(х) кратности r. ■

x	0

Рациональные функции

Определение 3. Рациональной функцией, или рациональной дробью называется функция

вида

P(x) Q(x)

, где P(x) и Q(x) – многочлены (мы будем предполагать далее, что они с

действительными коэффициентами). Рациональная функция (дробь) называется правильной, если степень числителя P(x) меньше степени знаменателя Q(x).

Пусть дробь не правильная. Тогда разделим числитель на знаменатель:

P(x)	= P (x) +	R(x)	.

Q(x)	1	Q(x)

(8)

Здесь P1(x) – частное – некоторый многочлен; R(x) – остаток – тоже многочлен степени меньшей, чем степень Q(x) (иначе можно делить дальше), т.е. дробь в правой части формулы (8) правильная.

Определение 4. Простыми дробями называются правильные дроби одного из нижеследующих четырех типов:

1.	A		. 2.		A

				(x − a)
x − a
					k
3.		Ax	+ B	,	4.
	2
x		+ px + q			(x

корни знаменателя

, где k = 2, 3, 4…; оба раза А, а – некоторые действительные числа.

	Ax + B		k = 2,3, 4,... ; оба раза A, B, p, q действительные числа и
2	+ px + q)	k	k = 2,3, 4,... ; оба раза A, B, p, q действительные числа и
2		k

– комплексные.

Можно доказать следующее утверждение:

Теорема 7. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простых дробей.

Из формулы (8)

		P(x)	dx =
		Q(x)

Интегрирование рациональных дробей

1	R(x)	dx ; где	R(x)	– правильная дробь.
P (x)dx +	Q(x)	dx ; где	Q(x)	– правильная дробь.
	Q(x)		Q(x)

Т.е. интегрирование любой рациональной дроби сводится к интегрированию правильной дроби (путем деления числителя на знаменатель).

Далее мы будем рассматривать интегралы только от правильных дробей.

Интегрирование простых дробей

Интегралы от простых дробей первого и второго типа сразу берутся очевидным образом, интегралы от дробей третьего типа берутся аналогично примеру 4 из предыдущей лекции, а что касается интегралов от дробей четвертого типа, то схему их вычисления покажем на примере:

		x + 2			(x +1) +1				x +1=t		t +1						t					1
(x	2	+ 2x + 2)	2	dx =	(x +1)	2	+1	2	dx =	(t	2	+1)	2	dt =	(t	2	+1)	2	dt +	(t	2	+1)	2	dt
						2					2					2					2

Первый интеграл легко берется путем внесения t под знак дифференциала, а второй интеграл уже разбирался в данной лекции.

Примеры вычисления интегралов от рациональных дробей

Для вычисления интеграла надо сначала поделить числитель на знаменатель (если степень числителя больше или равна степени знаменателя), потом полученную правильную дробь представить в виде суммы простых дробей и затем проинтегрировать эти дроби.

Пример. Найти неопределенные интегралы. Решение.

2x +1

dx .

( x

+ 2) x

Разложим дробь на простые с неопределенными коэффициентами A, B, C, D:

2x +1

A\ x2 +2

B\ x(x2 +2 )

Cx + D\ x2

. Теперь надо найти эти коэффициенты.

(x2 + 2)x2

x2 + 2

Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, имеем: 2x +1 = Ax2 + 2 A+Bx3 +2Bx + Cx3 +Dx2 .

Это равенство верно для всех х, т.е. является тождеством. Тогда по теореме о тождественно равных многочленах коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа должны совпадать:

x3 : B + C = 0;	x2 : A + D = 0;	x1 : 2B = 2;	x0 : 2 A = 1 A=	1	, B = 1, D = −	1	, C = −1.

			2		2

В общем случае, система может быть более сложной, но так как по теореме 7 коэффициенты разложения существуют, то она всегда имеет (можно доказать, что единственное) решение. Таким образом,

Теперь
= −	1

	2x

2.		(x

2x + 1

( x

+ 2) x

x +

2x +1

2 dx =

dx =

+ 2) x

+ 2

d ( x

+ 2)

+ ln

arctg

= −

+ 2

2 x

+ x + 1

+1)(x −1)(x − 2)

x +

−

2 x

+ 2

−

+ ln

xdx

+ 2

+ ln

ln( x

+ 2) +

arctg

+ C.

x	2	+ x +1
Разложим дробь
(x +1)(x −1)(x − 2)

на простые дроби:

x	2	+ x + 1		A		B		C
			=		+		+		.

(x +1)(x −1)(x − 2)				x +	1	x −1		x −	2

Аналогично

предыдущему примеру, x2 + x +1 = A(x −1)( x − 2) + B( x +1)(x − 2) + C( x + 1)(x −1).

Это равенство верно для всех х, в частности, для х, равных корням знаменателя. Для этих х большинство скобок обратится в 0 и мы получим:

x = −1 1 −1 + 1 = A(−2)(−3) A =	1	;	x = 1 1 + 1 + 1 = B 2 (−1) B = −	3	;
x = −1 1 −1 + 1 = A(−2)(−3) A =		;	x = 1 1 + 1 + 1 = B 2 (−1) B = −		;
	6			2

x = 2

Теперь

4 + 2 + 1 = C 3 1 C =	7
4 + 2 + 1 = C 3 1 C =	.
	3

x	2	+ x + 1	1
		dx =
( x +1)(x −1)(x − 2)			6

В итоге

dx	−	3
	−
x +1		2

	x	2	+ x	+ 1			1	1		3	1			7		1
	x		+ x	+ 1		=	1	1	−	3	1		+	7		1	.
						=			−				+				.
( x +1)(x −1)(x − 2)							6	x + 1		2	x −1			3	x − 2
	dx		7	dx		1				3						7
	x −1	+	3	x − 2	=	6	ln	x + 1 −			ln	x	−1 +			ln	x − 2 + C.
	x −1		3	x − 2		6				2						3

Часто комбинируют два изложенных способа разложения дроби на простые: сначала при помощи второго находят все коэффициенты, какие возможно, а потом для нахождения остальных коэффициентов пишут систему уравнений по первому способу (можно уже не всю, а лишь некоторые из уравнений).

ЛЕКЦИЯ 14

Интегрирование некоторых иррациональных функций

1. Пусть	R(x ,..., x ) −
	1	n

проводятся сложение,

					m
					m
	R		ax + b n
Тогда			x,
Тогда			x,
			cx + e

				1
заменой		ax		+ b n	= t
заменой					= t
		cx		+ e

рациональная функция, т.е. функция, над аргументами которой вычитание, умножение на постоянные числа, умножение и деление.


		dx , где a, b, c, e действительные, m и n натуральные числа, берется

			m		m
		ax + b	1	ax + b	2
		ax + b	1	ax + b	2
. Аналогично	R	x,	n	,	n	,... dx	берутся заменой
. Аналогично	R	x,		,		,... dx	берутся заменой
		cx + e		cx + e


	1

ax + b n		, где n – наименьшее общее кратное чисел
t =

cx + e

n	,
1

n	,...
2

, или наименьший общий

1 + x

Пример. Найти неопределенный интеграл

1 + x

= t,

1 + x = t

x = t

Решение. Сделаем замену:

−1, dx = 6t

; тогда можно продолжить:

− 1)

+ t

dt = 6

− 1)

+ t

dt − такой интеграл легко берется.

2. Некоторые интегралы от иррациональных функций, например

I =

(ax + b)

берутся при помощи замены

= t

- см. пример выше.

+ b

Также для вычисления интегралов бывает полезна следующая формула:

P(x)dx

= P (x) ax2 +bx + c + k

ax2 + bx + c

ax2

+ bx + c

где

P (x) −

многочлен степени на 1 меньшей, чем P(x)

, k – число.

Дифференцируем обе части равенства (1) по х:

P(x)

= P (x)

+ bx + c + P (x)

2ax +b

;

+ bx + c

P(x) = P (x)(ax

+ bx

+ c) + P (x)

ax +

+ k

;

, px + q

(1)

здесь корней уже нет; равенство верно для всех х; приравнивая коэффициенты при

одинаковых степенях х слева и справа, находим коэффициенты многочлена	P	(x)	и число k
	1

(которые, как можно показать, всегда находятся однозначно). Интеграл в правой части формулы (1) берется путем выделения полного квадрата в подкоренном выражении и соответствующей замены переменной.

Пример. Найти неопределенный интеграл x2 − 1 dx .

−1

Решение.

−1 dx

dx = ( Ax + B)

−1 + k

. Дифференцируем обе части по х:

−1

= A

−1 + ( Ax + B)

−1

1 =

A( x

−1) + ( Ax + B) x + k;

−

2 A = 1, A =

; B = 0; −1 = −A + k , k = − .

−1 dx

−1 −

−1

+C.

В итоге получим:

ln |

−1

Интегрирование тригонометрических функций

1. Рассмотрим

I =

sin

x cos

xdx

, m и n – целые числа, в следующих случаях:

а) хотя бы одно из этих чисел нечётно, например, m = 2k + 1, k – целое

Тогда

I =

sin

2k +1

x cos

xdx = −

sin

x cos

xd cos x

= −

(1− cos

cos

xd cos x =

= −

(1− t

)

dt ,

а это есть интеграл от многочлена при неотрицательных k и n или, если

k < 0 или n < 0, то интеграл от рациональной дроби.

Пример. Найти неопределенный интеграл

		dx
		cos x
		cos x

Решение.

d sin x

1 + t

1 + sin x

cos x

cos

1 − sin

1 − t

+ C =

1 − sin x

+ C.

б) оба числа m и n чётные и неотрицательные m = 2k, n = 2l Тогда используют формулы понижения степени и перехода

m 0, n 0

двойному углу:

1− cos 2x

1+ cos 2x

I = sin

x cos

xdx =

dx −

интеграл с вдвое меньшей степенью

тригонометрической функции.

Примеры. Найти неопределенный интеграл	cos	4	xdx

									(	1 + cos 2x		)	2			1
					cos4	xdx =				1 + cos 2x			dx =			1			1 + 2 cos 2x + cos2
Решение.					cos4	xdx =							dx =						1 + 2 cos 2x + cos2
Решение.										2						4			(
										2						4
=	1	x +	1	sin 2x +			1	( x +		1	sin 4x) =			3	x +		1	sin 2x +		1	sin 4x +
=		x +		sin 2x +				( x +			sin 4x) =				x +			sin 2x +			sin 4x +
4		4				8				4			8				4		32

C .

в) оба числа m и n чётные и хотя бы одно из них отрицательное – рекомендуется замена tgx = t (см. ниже).

2. Для I = R(sin x, cos x)dx , где R – рациональная функция, используется так называемая

универсальная тригонометрическая подстановка

2sin

cos

2tg

cos2

sin x =

; cos x =

sin

+ cos

2 x

t 2 +1

sin

x = 2arctg t, dx =

2dt

1−t2

I =

+ t

1+ t

+ t

рациональная функция t

x	= t	. Тогда:
2	= t	. Тогда:
2
−sin		2	x
−sin			2	= 1− t	2		x
			2			;	x	= arctg t
			x		2	;		= arctg t
		2	x	1+ t			2

+ cos
+ cos			2
			2

dt – интеграл берётся.

Пример. Найти неопределенный интеграл

dx
sin	3	x

+ t )

Решение.

sin

1 + t

Данный метод самый общий,

3. Например, для	I =		R(sin

t 2

dt =

+ t dt =

−

+ 2 ln

+ C, t = tg

но многие примеры можно решить проще.

x, cos

x)dx

где R –

рациональная функция, более удобна

подстановка:

tgx = t

, тогда

x = arctgt, dx =	1	dt
x = arctgt, dx =	+ t	dt
1	+ t
	2

sin

x =

sin

x + cos

1+ t

I = R

1+ t

2 ,

+ t

рациональная функция t

;

					cos	2	x					1			1
cos	2	x =			cos		x			=		1		=	1
	2
			sin	2	x + cos			2	x		2					2
				2				2		tg	2	x	+1		1+ t	2
										tg		x	+1		1+ t

. Тогда

Пример. Найти неопределенный интеграл

cos

+ 1

Решение.

+ 1)dt = t

+ t

+ C =

+ tgx + C.

cos

+ 1)

Этот пример также иллюстрирует упомянутый выше случай четных m и n, хотя бы одно из которых отрицательно.

I = sin	m	x cos	n	xdx

при

Интегрирование иррациональных выражений путем тригонометрических подстановок

Рассмотрим примеры таких интегралов:

Пример 1 . Найти неопределенный интеграл

dx			.
			.
(4x − x	2	)	3
(4x − x		)

t =2 sin u

u =arcsin

x −2=t

2 cos udu

Решение.

2 3

(4x − x )

−(x

− 4x + 4) + 4

4 − (x − 2)

(4 − t )

(2 cos u)

sin arcsin

tgu

+ C =

+ C

arcsin

cos2 u

cos arcsin

+ C =

x − 2

+ C =

x − 2

+ C.

4 − t

4 − (x −

4x − x

+ 1

Пример 2. Найти неопределенный интеграл

dx.

x =tgt

dx =

cos2 t

cos4

Решение.

+ 1

dt =

tdt

cos t

cos

cos t sin

t cos

				t
	1
=	1	2					+ C =
		2
	4
					t	2


			1 −
			1 −
		4

cos t dt			=	d sin t			= −	1			+ C =

sin	4	t		sin	4	t		3 sin	3
										t

= −		1	+ C .

	3 sin3	(arctgx)
	3 sin3	(arctgx)

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определение определенного интеграла


Определение 1. Пусть на отрезке	a,	b	задана функция
Определение 1. Пусть на отрезке			задана функция
точками xi. Обозначим xi = xi+1 - xi,		i = 0, 1, … n–1;		λ

каждом отрезке разбиения выберем произвольную

y = f (x). Разобьем							a,	b	на части

= max xi			– норма разбиения. В
i
точку	ξ	i		x	, x	.		Рассмотрим
				i	i+1

интегральную сумму

n−1

i=0

(ξ	) x
i	i

. Если существует предел этих интегральных сумм при

→ 0	, не зависящий от выбора точек xi

интегралом от функции y = f (x) на отрезке

i ,

то этот предел называется определенным

и обозначается b f (x)dx . Т.е. если предел

существует и не зависит от выбора точек

i и

i , то

n−1

f (x)dx = lim

= lim

f (ξ

) x

(2)

λ→0

i ,

λ→0

i=0

существует, то f(x) ограничена на

(в противном случае при

Замечание. Если

f (x)dx

любом разбиении

на конечное число частей функция не будет ограниченной на

одной из частей; тогда за счет выбора точки ξ

в этой части

можно сделать сколь угодно

большой). Поэтому далее y = f (x) будет предполагаться ограниченной на отрезке

Геометрический смысл определенного интеграла

b f (x)dx

Пусть (f x Произведение

)

f (

Рисунок 1

≥0 для x [ a,b ]. Рассмотрим график этой функции (рис.1):

ξ	) x	равно площади прямоугольника, ограниченного
i	i	равно площади прямоугольника, ограниченного

прямыми

n−1

x = xi , x = xi+1, y = 0, y = f (ξi ) , поэтому интегральная сумма σ = f (ξi ) xi равна площади

i=0

изображённой на рисунке ступенчатой фигуры. Фигуру, ограниченную осью 0x, прямыми x = a и x = b и графиком функции y = f(x), назовём криволинейной трапецией. Под площадью этой криволинейной трапеции мы будем понимать предел площадей наших ступенчатых фигур при норме разбиения λ →0 , если этот предел существует и не зависит

от выбора точек

x	i

и	ξ

. Но этот предел равен

b f (x)dx

наш интеграл, если он

существует, равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью 0х, прямыми x = a и x = b и графиком функции y = f (x) 0 .

Свойства определенного интеграла

	b		b
1.		f (x)dx =
1.		f (x)dx =
	a		a

(x)dx

, если интеграл справа существует (т.е. если существует интеграл

справа, то существует интеграл слева, и справедливо наше равенство).

n−1

▲

f (x)dx = lim

f (ξ )

= lim

f (ξ ) x

λ→0

i=0

λ→0

i=0

произвольная интегральная

интегральная сумма

сумма для интеграла слева

для интеграла справа

(x)dx

. ■

	b
2.			f1 (x) f2 (x) dx
2.			f1 (x) f2 (x) dx
	a
	b		1		2
▲			1		2
		f		(x) f		(x) dx =
	a

=f1 (x)dx f2 (x)dx.

(x)dx

, если интегралы справа существуют.

n−1

lim

(ξ

) f

(ξ

)

lim

(ξ ) x

lim

(ξ ) x

λ→0

i=0

произвольная интегральная

интегральная сумма для

сумма для интеграла слева

1ого интеграла справа

2ого интеграла справа

■

3.	f
	a
▲
▲
	b
4.	f

(

			a
x) 0, x [a,b] f (x
			b
	n−1		i	i
			i	i
(x)dx = lim		f (ξ		) x
λ→0	i=0
	i=0	0		0
				0

		0
				b
x) g(x), x a,b
				a

)dx0

f (x

0	, если этот интеграл существует.

(из свойств пределов функции). ■

	b
)dx		g(x)dx , если эти интегралы существуют.
)dx		g(x)dx , если эти интегралы существуют.
	a

▲ f (x) − g(x) 0 b [ f (x) − g(x)]dx 0 b f (x)dx − b g(x)dx 0 . ■

	b
5.
5.
	a

f (x)dx

b
	f
a

a	a	a
(x) dx , если оба этих интеграла существуют.

▲ f (x) \| f (x) \|			в	f (x)dx b \| f (x) \| dx ;
			а		a
− f (x) \| f (x) \|			b [− f (x)]dx b \| f (x) \| dx −b				f (x)dx b \| f (x) \| dx .
			a		a	a	a
\| b	f (x)dx \|= b	f (x)dx или − b			f (x)dx , а эти величины не превосходят b \| f (x) \| dx . ■
a	a			a			a

6. Пусть

▲ m f (

dx = lim λ→0 a

f (x)dx существует и

m f (x) M ,

a, b

x) M

mdx

f (x)dx

Mdx

n−1

m(b − a)

f (ξ ) x

= lim

= b − a

i=0

λ→0

i=0

b−a

m(b −
b	b
m dx
a	a
b
f (x) M
a

b a) f (x)dx M (b − a)

a b f (x)dx M dx

a (b − a) . ■

7. Теорема 1 (существование определенного интеграла). Пусть функция

				b
непрерывна на отрезке	a,	b	, тогда интеграл		f (x)dx	существует.
непрерывна на отрезке			, тогда интеграл		f (x)dx	существует.
				a

y =

f (x)

Доказательство теоремы не приводится в силу его достаточной сложности.

8. Теорема 2 (о среднем).

такая точка	ξ		a, b	, что

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то существует

b f (x)dx = f (ξ)(b − a) .

▲ Как было отмечено в предыдущем пункте, интеграл по отрезку от непрерывной на этом отрезке функции всегда существует. В свойстве 6 m и M – любые числа. Теперь если m и M – наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции y = f(x) на отрезке [a,b], то,

по свойству

6, m(b − a) f (x)dx M (b − a) m

f (x)dx M . Мы видим, что

b − a

число

f (x)dx заключено между m и M. Но функция,

непрерывная на отрезке,

b − a

принимает на нем все значения между m и M , значит,

a, b

, такая, что

f (ξ) =

f (x)dx f (ξ)(b − a) = b

f (x)dx . ■

b − a

9. Пусть a < c < b b

f (x)dx = c

f (x)dx + b

f (x)dx , если все эти интегралы существуют.

	b
▲
▲
	a

	n−1
f (x)dx = lim
λ→0	i=0

(ξ	) x
i	i

; так как интеграл b f (x)dx существует, то можно рассмотреть

только удобные для нас разбиения отрезка

является одной из точек разбиения:				c = x	:
является одной из точек разбиения:				k	:
b		k −1	n−1
		k −1	n−1		lim
f (x)dx = limλ→0		f (ξi ) xi	+ f (ξi ) xi =		lim
f (x)dx = limλ→0		f (ξi ) xi	+ f (ξi ) xi =		λ→0
a		i=0	i=k
= c	f (x)dx + b	f (x)dx . ■
a	c

[a,b],		а именно, такие, в которых точка с
k −1	i	i		n−1	i	i
	i	i			i	i
	f (ξ	) x	+ lim		f (ξ	) x	=
i=0			λ→0	i=k
i=0				i=k

10. До сих пор		b	f (x)dx		был определён только для случая a < b. Положим теперь при
		a
a > b b	f (x)dx = −a			f (x)dx (если интеграл a		f (x)dx	существует) и a	f (x)dx = 0 .
a			b		b		a

Легко проверить, что свойство 9 справедливо независимо от взаимного расположения точек a, b и с.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 258 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.06.20245.04 Mб3L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_1.pdf
#
01.06.20246.08 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_2.pdf
#
01.06.20242.46 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_3.pdf
#
01.06.20241.39 Mб20вышмат полезно.pdf
#
01.06.2024482.88 Кб11кр по алегебре.pdf
#
01.06.20245.41 Mб93лекции вышмат.pdf
#
01.06.20241.34 Mб4линейная алгебра и агалитич геом.pdf

▲ f (x) \| f (x) \|			в	f (x)dx b \| f (x) \| dx ;
			а		a
− f (x) \| f (x) \|			b [− f (x)]dx b \| f (x) \| dx −b				f (x)dx b \| f (x) \| dx .
			a		a	a	a
\| b	f (x)dx \|= b	f (x)dx или − b			f (x)dx , а эти величины не превосходят b \| f (x) \| dx . ■
a	a			a			a