лекции вышмат

Добавил:

VadoZ хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

+ 23x + 27

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2024

Размер:

5.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 257 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Обозначим ординату точки кривой М с абсциссой х как y = f (x) , ординату точки прямой с той же абсциссой как Y = kx +b , расстояние от точки М до прямой как d = d (x) . Тогда

d =\| y −Y \| cos ,	(7)
где угол между осью y и перпендикуляром	к прямой. Существование асимптоты
равносильно справедливости условия

В формуле (8)

вертикальна,

cos

то

	lim d (x) = 0 .			(8)
	x→+
постоянное, не зависящее от х,			число;	так как наша прямая не
	cos 0	. Значит, условие	(8)	равносильно условию
2	cos 0	. Значит, условие	(8)	равносильно условию
2

lim \| y −Y \| = 0 , или условию
x→+
lim ( y −Y ) = 0 .	(9)
x→+
Необходимость. Пусть прямая Y = kx +b – асимптота графика функции	y = f (x) , значит
выполняется условие (9), или, что то же самое,
lim ( f (x) − kx − b) = 0 .	(10)
x→+

Отсюда

lim ( f (x) − kx) − lim b = lim ( f (x) − kx) − b = 0 lim ( f (x) − kx) = b
x→+	x→+	x→+	x→+
Из (6)	также следует,	что

(6) верно.

			0
lim	f (x) − kx −b			lim		f (x)		− k −	b	= 0	lim
lim		x	=0	lim		x		− k −		= 0	lim
x→+		x		x→+		x			x		x→+
x→+				x→+							x→+
lim	f (x)	− k − 0	= 0 lim		f (x)		= k		верно (5).
lim	x	− k − 0	= 0 lim			x	= k		верно (5).
x→+	x			x→+		x

Достаточность. Пусть для некоторой прямой	Y
Достаточность. Пусть для некоторой прямой
условиям (5) и (6)


f (x)	− lim k − lim		b	=
x	− lim k − lim			=
x	x→+	x→+ x

= kx +b	ее	k	и	b
	ее		и

удовлетворяют

lim ( f (x) − kx − b) = lim ( f (x) − kx) − lim b = lim ( f (x) − kx) − b = 0 верно (9), т.е. прямая
x→+	x→+	x→+	x→+
Y = kx +b , действительно является асимптотой графика				y = f (x) . ■


Процедура нахождения наклонных и горизонтальных такова: по формуле (5) находим					k	,
						,
подставляем это	k	в формулу (6) и находим	b	. Если хоть один из пределов (5) и (6)
подставляем это		в формулу (6) и находим		. Если хоть один из пределов (5) и (6)

бесконечен или не существует, то асимптоты нет.

Примерная схема общего исследования функции и построения ее графика

1.Найти область определения функции и выяснить поведение функции на ее границе.

2.Выяснить, не является ли функция четной: f (−x) = f (x) или нечетной: f (−x) = − f (x) .

Для таких функций достаточно построить график для	x 0	, а затем отразить: для четных

функций относительно оси 0у, а для нечетных функций – относительно начала координат. 3. Выяснить, не является ли функция периодической: f (x +T ) = f (x) . Для такой функции

с периодом Т достаточно построить график на любом интервале длиной в период, а затем продолжить периодически.

4.Найти точки пересечения графика с осями координат, взяв x = 0 или y = 0.

5.Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и выяснить характер разрывов.

6.Найти асимптоты графика функции.

7.Установить интервалы возрастания и убывания функции. Найти точки экстремума, выяснить значения функции в этих точках.

8.Установить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Найти точки перегиба графика, выяснить значения функции и ее первой производной в этих точках.

9.Построить график функции. При необходимости уточнить отдельные участки кривой, можно вычислить координаты нескольких ее дополнительных точек.

(x + 3)

y =

Пример.

Исследовать функцию

( x + 2)

Решение.

(x + 3)

x −2; lim

1. Область определения функции:

x →−2 +

( x + 2)

2. Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Функция не является периодической.

x = 0

y =

; y = 0

x = −3

и построить ее график.

		(x + 3)	3
= lim			= +

			.
x →−2 −	0	( x + 2)	2

5.x=−2 точка разрыва; из пункта 1) следует, что разрыв второго рода.

6.Из этого же пункта следует, что прямая x=−2 является вертикальной асимптотой графика функции. Найдем наклонные

асимптоты, учитывая, что пределы при x→+ и при x→− здесь ничем не отличаются:

( 5 )	( x + 3)		3
= lim		2		= lim
x →	( x + 2)	2	x	x →
	( x + 2)		x

(1 +		)
	3	3
	3
	x		=
(1 +		)	=
	2	2
	2
	x

асимптот

1	;

lim x →

( 6 )			( x + 3)
b = lim
	x →		( x + 2)
5 +	23	+		27
5 +		+				2
	x			x		2
	x			x			= 5
	4			4			= 5
1 +	4	+		4
1 +		+			2
	x			x	2
	x			x

	= lim
− x	= lim
	x →

y = x +

x	3	+ 9x	2

5	а при

27 x

→

3( x + 3)

( x + 2)

− ( x + 3)

2( x + 2)

( x + 3)

( x + 2)(3( x + 2) − 2( x + 3))

( x + 3)

(3x + 6

− 2 x − 6)

( x + 3)

7. y =

;

( x + 2)

( x +

( x + 2)

критические точки функции х = 0, х = -3 (производная равна 0) и х = -2 (производная бесконечна); знаки производной

Рисунок 9

Значит, на интервалах

(− ,−3),(−3,−2)

(0,+ )

функция возрастает, а на интервале

(−2, 0)

она убывает; точка х = 0

является точкой минимума функции,

f (0)=

; в точке

разрыва

х = - 2 будет «бесконечный максимум», а в

точке

х = - 3 экстремума нет, хотя и

f (−3)=0

(т.е. касательная в этой точке горизонтальна).

8. y =

(2(x + 3)x + (x + 3)2 )(x + 2)3

− (x + 3)2 x3(x + 2)2

(x + 2)2 ( x + 3)((2x + x + 3)(x + 2) − (x + 3)x3)

( x + 2)6

( x + 3)(3( x + 1)( x + 2) − 3x( x + 3))

3( x + 3)( x2 + 3x + 2 − x2 − 3x) 6( x + 3)

( x + 2)4 ; знаки

(рис 10):

( x + 2)4

Рисунок 10

Таким образом, наша кривая выпукла на интервале (− ,−3)		(	) (		)
Таким образом, наша кривая выпукла на интервале (− ,−3)	и вогнута на интервалах		−3,−2 ,	−2,+		; х = - 3 является
абсциссой точки перегиба; в этой точке y=0 и y =0 .
9. Теперь построим график функции (рис. 11):

Рисунок 11

Ответ на вопрос, сверху или снизу график приближается к асимптоте, дается наличием или отсутствием у соответствующих точек перегиба. Если бы при x→+ график подходил к асимптоте снизу или при x→−

графика

график

подходил к асимптоте сверху, то, в дополнение к точке - 3, кривая имела бы другие точки перегиба, что не было подтверждено нашими вычислениями.

ЛЕКЦИЯ 12

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определение неопределенного интеграла

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для f (x) в некотором конечном или бесконечном промежутке (т.е. отрезке, интервале или полуинтервале) Е, если для

x E существует F (x) = f (x) .

Теорема 1. Выражение F(x) + С, где F(x) - некоторая первообразная для f(x), а С –

произвольная постоянная, некотором промежутке Е). формулой F(x) + С.

представляет собой общий вид первообразной для f(x) (в Т.е. все первообразные для f(x) и только они выражаются

▲ 1. Пусть F(x) – первообразная для f(x) в промежутке E, а C – постоянная, тогда F(x) + C тоже первообразная для f(x) в E:

[( ) + ]′ = ′( ) + ′ = ( ) + 0 = ( ), .

2. И обратно, каждая функция Ф(х), которая является первообразной для f(x) (в Е) может быть представлена в виде: Ф(х) = F(x) + C, где F(x) – фиксированная первообразная, а С – некоторая постоянная. А именно, положим

φ(x) = Ф(х) – F(x), тогда для любых точек	x , x	E	по теореме Лагранжа
	1 2

φ(x2 ) −φ(x1) = φ (c)(x2 − x1) =[ (c) − F (c)](x2 − x1) =[ f (c) − f (c)](x2 − x1) = 0

φ(x) = C (x) − F(x) = C (x) = F(x) +C, x E. ■

Определение 2. Если функция F(x) является первообразной для f(x) в промежутке Е, то

выражение

F(x)

+ С, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным

интегралом от функции f(x) и обозначается f (x)dx .
		+ C ,
	f (x)dx = F (x)
F(x) – любая первообразная для f(x), С – произвольная постоянная.
Т.е. неопределённый интеграл	f (x)dx – это множество всех первообразных для f(x).

(1)

Замечание: Не для любой функции существует первообразная, а значит, и неопределённый интеграл. Но, например, если функция непрерывна в промежутке Е, то у неё в этом промежутке первообразная существует.

Свойства неопределенного интеграла

1. f (x)dx = f (x).

▲ Равенство верно по определению неопределенного интеграла; в левой части – множество функций, равенство верно для любого элемента этого множества. ■

2. d f (x)dx = f (x)dx.

		1.
▲ d f (x)dx =	f (x)dx dx = f (x)dx. ■

3.

F (x)dx = F (x) + C

dF (x) = F (x) + C (символическая запись).

▲ Так как одной из первообразных для F (x)

является F(x). ■

4. af (x)dx = a f (x)dx ,

a 0

–

постоянная, при условии существования интеграла справа

(это равенство представляет собой совпадение двух множеств функций).

– некоторая первообразная для f(x); так как

aF (x)

= aF (x) = af (x),

▲ Пусть F(x)

то а

F(x)

– первообразная для аf(x), тогда по формуле (1)

af (x)dx = aF (x) + C , где С –

произвольная постоянная.

(1)

Но a

f (x)dx = a F (x) + C1 = aF (x) + aC1 , где

a 0

–

1 – произвольная постоянная,

произвольная постоянная.

Теперь ясно, что два этих множества функций совпадают. ■

(x) f

(x) dx =

f (x)dx

(x)dx.

при условии существования интегралов справа (это опять совпадение двух множеств функций).

▲

Пусть

F (x) и F

(x)

некоторые

первообразные

для

(x) и f

(x)

;

так

как

F (x) + F (x)

(x) + F

(x) =

f (x) + f

(x)

F (x) + F (x)

= F

то

–

первообразная

для

(x) + f

(x)

(1)

f1 (x) + f2 (x) dx = F1 (x) + F2 (x) + C .

Но

f1 (x)dx +

f2 (x)dx = F1 (x) + C1 + F2 (x) + C2 = F1 (x)

+ F2 (x) + (C1 + C2 ) .

Так

как

здесь

(C +C )

–

произвольная

постоянная, то

ясно,

что

множества

(x) + f2

(x) dx и f1 (x)dx +

(x)dx

совпадают. ■

Аналогично доказывается, что

f2 (x)dx .

f1(x) − f2 (x) dx =

f1(x)dx −

Таблица основных интегралов

Каждая

f (x)dx

формула из таблицы производных = F (x) + C из таблицы интегралов:

F (x) = f (x)

сразу приводит к формуле

1) x dx =

x +1

+ C, −1;

dx = ln x + C, 0 E;

3) ax dx =

+ C;

4) ex dx = ex + C;

ln a

cos xdx =sin x + C;

sin xdx = − co s x + C;

= tgx + C;

= −ctgx + C;

cos

sin

chxdx = shx + C;

10)

shxdx = chx + C;

11)

= thx + C;

12)

= −cthx + C;

ch2 x

sh2 x

13)

= arcsin

+ C , а > 0,

в частности, при а = 1

= arcsin x + C;

1− x

− x

14) 15) 16) 17)

  

a		dx
	2	+ x	2

	x		dx
	x		2	a
			2
a		dx
a	2	− x				2
	2					2
	dx				=
sin x					=
sin x

arc tg

+ C , в частности, при а = 1

= arc tgx + C;

+ x

= ln x +

+ C

– так называемый «длинный логарифм»;

a + x

+ C

– так называемый «высокий логарифм»;

a − x

ln | tg

| +C.

		x
			α+1
▲ 1)			α +1


2)	x 0 (

 

=	1		(α +1)
	α	+1

				=
x )		= (ln x)

x	α

1		;
x

= x	α	;
	α
x 0			(	ln x	=	(	ln	(	−x	=	1	(	−1	= 1 ;
			(		)	(		(		))	−x	(	)	x
											−x			x

3)axln a

5)	(
	sin x

9)– 12)

		1
	=	1	ax ln a = ax ;			4) частный случай

		ln a
		ln a

	= cos x;			6)		= sin x;	7)		=
)	= cos x;			6)	(−cos x)	= sin x;	7)	(tgx)	=

доказываются аналогично;

3)при

cos2 x

a = 8) (

e −

;

	=	1		;
ctgx)			2
		sin		x

																		1								1											a									1						1
13)				arcsin							x			=				1								1				=							a									1		=				1							;
13)				arcsin										=												a				=																a		=											;
											a									x		2				a									a	2			− x					2		a				a	2		− x					2
																						2														2								2							2							2
																	1−			a		2
																						2

				1								x				1					1									1					1								a		2						1
14)				1		arc tg						x			=	1					1									1		=			1								a					=			1							;
14)						arc tg									=								x	2								=					2					2		+ x			2	=		2	+ x						2	;
												a					a							2						a					a		2			a		2					2		a	2							2
		a										a					a	1		+										a					a					a									a
																		1		+			a		2
																									2

15) в пункте 2) было проверено, что																																												(ln \|						=			1		, поэтому

																																																x \|)					x
(															)																					(														)			x
(															)																					(														)
	ln		x +					x2 + a2								=										1													x +						x2 + a2								=								1									+		2x							=
																										1																																			1											2x
																												2							2																											2				2		1					2				2
																			x +							x		2			+ a				2																						x +				x	2	+ a			2				2		x	2	+ a			2
																			x +							x					+ a																										x +				x		+ a							2		x		+ a
							1								x +				x		2		+ a					2											1
=							1								x +				x				+ a							=									1							;
=							x	2		+ a			2				x		2	+ a					2					=					x			2		+ a					2	;
	x +						x			+ a							x			+ a															x					+ a

																1							a + x													1																														1				1						1
16) аналогично																1		ln					a + x											=		1								ln a + x − ln a − x																					=	1				1			+			1				=
16) аналогично																		ln																=										ln a + x − ln a − x																					=								+							=
																							a − x																																												2a
															2a								a − x													2a																															2a			a + x						a − x
=	1				a − x + a + x											=						1							;
=	2a						a		2		− x			2		=		a		2		− x					2		;
									2					2						2							2

																																																		cos						x
																											1									1									1					cos																		1								1
																	x										1									1									1										2													1								1
17) так же												ln tg									=																									=									2						=											=						. ■
17) так же												ln tg									=								x												x					=					x									x	=							x			x	=						. ■
																2													x									2			x				2						x								2	x								x			x				sin x
																								tg									cos																2sin					cos										2sin					cos
																								tg					2				cos							2									2sin		2			cos						2				2sin				2	cos		2

Следует заметить, что задача интегрирования существенно сложнее задачи дифференцирования. При дифференцировании мы должны сводить функцию к наиболее простым функциям, а при интегрировании – к тем функциям, которые есть в таблице, а они совсем не обязательно самые простые. Продифференцировать мы можем любую элементарную функцию, но при интегрировании может встретиться следующая ситуация:

f(x) – непрерывная в неопределенный интеграл

некотором промежутке

	существует ( x
f (x)dx

Е элементарная функция, тогда E ) – см. замечание выше; но этот

интеграл не выражается через элементарные функции (т.е. представляет из себя некоторую новую функцию). Такие интегралы называются неберущимися.

Приведем примеры некоторых неберущихся интегралов:

e	− x	2	dx

(т.е. нет элементарной

функции, производная которой равна

e	−x	2

sin x	dx,	dx
x		ln x

и т.п.

Примеры.

	x	2		x
	x			x
Решения.1)
2)	tg		2	xdx
2)	tg			xdx

Найти неопределенные интегралы.

− 3x + 2

x − 5

dx =

−

dx − 3

dx + 2

dx −

x − 3x + 4

x − 5 ln

+ C.

sin

1 − cos

(

)

dx =

−

dx = tgx − x

+ C.

− 1 dx =

co s

cos

co s

Замена переменной в неопределённом интеграле

Теорема 2.	Пусть F(x) – первообразная для f (x) , т.е.		f (x)dx = F (x) + C ,

предположении непрерывности		f , φ, φ ,
		f (φ (x))φ (x)dx = F (φ (x))+ C.
Или, учитывая, что φ (x)dx = dφ (x),
		f (φ (x))dφ (x) = F (φ (x)) + C.
Равенство	(3) означает, что	в обеих частях формулы		f (x)dx = F (x) + C

заменить на

φ(x) .

тогда, в

(2)

(3)

х можно

▲ Применяя

формулу

производной

сложной

функции при

F (φ (x)) + C

= F (φ (x))

+ C

= F

(t ) t

= f (t) φ (x) = f (φ(x)) φ (x),

формулу (2). ■

Примеры. Найти неопределенные интегралы.

φ (x)

что и

= t , имеем:

доказывает

Решения. 1)

cos

dx =

d sin x

sin −1

+ C = −

+ C (использовался интеграл

sin

−1

sin x

xdx

dx2

arcsin x2

+ C.

2 2

1 − x

1 − ( x )

3 x

+1)

3 x

dx =

d (e

ln(e3 x +1) + C

( e3 x + 1 0 для всех х).

3 x

dx		=
x	2

−

1	+ C
	+ C
x

			4)					x + 1							dx =				(x −1) + 2					dx =				x −1						dx +		2				d ( x −1)			=
							2														2									2											2

					x			− 2x + 5											( x −1)			+ 4				( x −1)					+ 4									( x −1)		+ 4
				1				d (( x −1)						2		+ 4)				1			( x −1)						1														x −1
			=	1				d (( x −1)								+ 4)		+ 2		1			( x −1)			+ C =			1				\| ( x −1)					2					x −1
																				arctg											ln							2		+ 4 \| +arctg						+ C =
				2					( x −1)				2		+ 4					arctg					2					2	ln									+ 4 \| +arctg				2		+ C =
				2					( x −1)						+ 4					2					2					2														2
			=	1	ln( x					2	− 2x + 5) + arctg									x −1			+ C (так как ( x −1)										2	+ 4 0, x R).
										2																							2

				2																2
Аналогично можно брать любые интегралы вида																												Ax + B							dx	с комплексными корнями знаменателя.


																										x2 + px + q
					sin				3	xdx =						sin	2	x sin xdx = −							(1 − cos		2	x )d cos x = −											d cos x +					2	xd cos x = − cos x +			1	3	x + C.
			5)						3								2										2																cos	2				cos	3
			5)																																								cos					cos
																																																3
Таким методом можно проинтегрировать sinx и cosx в любой нечетной степени.
			6) Теперь									вычислим sin 2									xdx .				Применим					формулы							понижения						степени				и перехода	к двойному углу:
cos	2	x =	1 + cos 2x								;	sin		2		x =		1 − cos 2 x
	2													2								. Тогда получим:
																						. Тогда получим:
				2															2
			sin			2							1 − cos 2x									1	(1 − cos 2x )dx =									1				1				cos 2xd 2x =					1		1
						2		xdx =											dx =															x −												x −	sin 2x + C.
								xdx =											dx =															x −												x −	sin 2x + C.
																2						2										2			2 2										2		4

Так интегрируют sinx и cosx в чётных степенях.

Перепишем опять формулы (1) и (3), поменяв в (3) букву x

а	φ(t)	непрерывно дифференцируема, то из формулы		f

на букву

(x)dx = F

если f(x) непрерывна, ) + C будет следовать

формула		f (φ(t))dφ(t) = F (φ(t)) + C .	Положим	теперь	x = φ(t) .

правые части этих формул совпадают а, значит, совпадают и их левые части:

Тогда

f (x)dx = f (φ(t))dφ(t) = f (φ(t))φ (t)dt.

(4)

При этом интеграл в правой части этого равенства, может быть, легче взять, чем интеграл в левой его части.

Примеры. Найти неопределенный интеграл

−

x =

t tdt

Решение.

= −

x x

+ 1

1 1

1 + t

1 +

+ 1

t t 2

x =

dx = −

dt, t =

Здесь

; предположено, что t

+ 1

= − ln (t +

t 2

и учтено, что

1 + t 2 )

t +

1 +

t	2

C = − ln


1	+	1 +	1		+ C.

				2
x			x

R .

ЛЕКЦИЯ 13

Интегрирование по частям

Теорема 1. Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы в некотором промежутке Е, тогда x E

udv = uv −

vdu ,

(1)

или, учитывая, что du = u dx, dv = v dx ,

−

(2)

uv dx = uv

vu dx.

= (uv) −

(

vu dx

)

= u v + uv − vu = uv

▲

uv −

vu dx

значит, любая

функция

из

uv −

множества

является первообразной для

, что, согласно предыдущему, и

доказывает (2) (произвольная постоянная в правой части содержится в

vu dx ). ■

Функции u и v надо выбирать так, чтобы интеграл упростился.

Примеры. Найти неопределенные интегралы.

Решения.

x sin xdx = −

xd cos x = −

x cos x −

cos xdx

= −x cos x + sin x + C

Так всегда берутся интегралы вида

P( x) a

dx,

P(x) sin xdx,

P(x) co s xdx

, где

u=Р(х) – многочлен (интегрировать по частям придётся столько раз, сколько его степень).

		1		2		1	2		2		1	2			2	1		1		2		1
2)	x ln xdx =		ln xdx		=	(ln x x		−	x	d ln x) =	(x		ln x −	x			dx) =		x		ln x −	x
		2				2					2					x		2				4

Таким способом можно пытаться взять интегралы, куда входит логарифмическая или функции, причём эти функции берутся за u.

+ 1)− x

xdx

dx =

− x

. Здесь v =

( x

+ 1)

+ 1

( x

+ 1)

( x

+ 1)

(

+ C.

обратные тригонометрические

(x			+ 1)			1 (x		+ 1)
		2					2	−1
		2					2
x		+ 1)		2	= −	2		−1	.
	2			2
	2

Тогда по формуле интегрирования по частям можно продолжить:

	1			1		1		dx			1		x		1		1			x
I = arctgx − −x	2	x	2	+1	+	2	x	2		= arctgx +	2 x	2	+1	−	2	arctgx + C =	arctgx +	x	2		+ C
	2	x		+1		2	x		+1		2 x		+1		2		2	x		+1

Аналогичным образом можно вычислять такие интегралы с большей степенью знаменателя, сводя их к интегралам, в которых степень знаменателя на 1 меньше.

Многочлены

Определение 1. Многочленом степени n называется функция вида

P(x) = a0 xn + a1xn−1 +... + an−1x + an ,

причем a0 0 , aj − пока любое число (даже комплексное).

Корнем многочлена называется любое (комплексное) число x такое, что P(x) = 0.

Теорема 2 (Безу). Остаток при делении многочлена

P(x) на

x − a

равен P(a) .

▲ Из процесса деления «углом» получаем:

P(x)

= P

)

, где

P (x)

– частное

x − a

– многочлен степени n–1, R – остаток (число)

P(x) = P

(x)(x −a) + R

Перейдем в этом равенстве к пределу при x → a

lim P(x) = lim P (x)(x − a) + R = lim P (x) lim(x − a) + lim R .

x→a

Так как многочлен – функция непрерывная,

то

(

1 (

lim P(x) = P(a), lim P

x) = P

x→a

Значит, P(a) = 0 + R = R. ■

Следствие. Если а – корень многочлена P(x), то R = P(a) = 0, следовательно многочлен делится на x – a без остатка, т.е.

P(x) = (x −a)P(x).	(3)
1

В этой формуле P(x) – многочлен степени n, P1(x) – многочлен степени n – 1.

Теорема 3 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

К доказательству этой теоремы мы вернемся в 3-ем семестре.

Разложение многочлена на множители

Пусть P(x) – многочлен степени n; x1 – его корень (он существует по основной теореме алгебры) P(x) = (x – x1) P1(x).

P1(x) – многочлен степени n – 1; x2 – его корень (существует по той же теореме)

P1(x) = (x – x2) P2(x) P(x) = (x – x1) (x – x2) P2(x).

P2(x) – многочлен степени n – 2 и т.д., следовательно

P(x) = (x – x1) (x – x2) … (x – x n) А .

Здесь А – многочлен степени 0, т.е. число.

Для нахождения А раскроем скобки в правой части этого равенства. Получим тождественное (т.е. верное для всех x R ) равенство

+ a x

n−1

+... + a

+ bx

n−1

+ cx

n−2

+...

где b, с,… – некоторые коэффициенты.

Среди скобок могут быть одинаковые, объединяя их, имеем:

(4)

Определение 2. Число

P(x) = a0 (x − x1 )r1 (x − x2 )r2 (x − xm

r	называется кратностью корня	x	i
i

)rm .	(5)
.

Так как в формуле (5) ровно n скобок, то r1 +r2 +...+rm = n , значит, каждый многочлен степени n имеет ровно n корней с учетом кратности.

Объединив в формуле (5) все скобки, кроме i-ой, мы можем переписать определение 2 корня кратности r в виде:

P(x) = (x − x )r Q(x) , где Q(x ) 0.		(6)
0	0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 257 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.06.20245.04 Mб2L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_1.pdf
#
01.06.20246.08 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_2.pdf
#
01.06.20242.46 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_3.pdf
#
01.06.20241.39 Mб10вышмат полезно.pdf
#
01.06.2024482.88 Кб3кр по алегебре.pdf
#
01.06.20245.41 Mб72лекции вышмат.pdf
#
01.06.20241.34 Mб2линейная алгебра и агалитич геом.pdf