лекции вышмат
.pdf
t =
lim t →0
π |
x |
ctg |
|
=
t 2
aπ, y
= |
lim |
|
t →2 |
= 2a, y = |
||
ctg |
t |
= |
|
||
|
2 |
|
ctg
π |
= 0 |
касательная горизонтальна; при t = 0 |
и t = 2π получим точки (0, 0) и (2aπ, 0) ; |
|
|||
2 |
|
|
|
касательные вертикальны.
Производные высших порядков функции, заданной параметрически
Аналогично, при выполнении соответствующих условий, имеем:
d |
2 |
y |
|
|
|
|
( y |
|
|
|
d |
3 |
y |
|
|
|
|
|
|
( y 2 |
) |
|
|
|
= y 2 |
= ( y ) |
= ( y ) t |
= |
x |
) |
t |
; |
|
= y 3 |
= ( y 2 |
) |
= ( y 2 |
) t |
= |
x |
t |
; и т.д. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
dx2 |
x |
x x |
x t x |
|
x |
|
|
dx3 |
x |
x |
x |
x |
t x |
|
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
40
ЛЕКЦИЯ 8
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
Теоремы о среднем
Теорема 1 (Ферма). Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [a, b] и во внутренней точке с этого отрезка (т.е. не на краю) принимает свое наибольшее (наименьшее) значение.
Тогда, если в этой точке существует конечная производная |
|
|
|
|||||
f (c) , то f (c) = 0. |
|
|||||||
|
f (c + x) − f (c) |
. По условию этот предел существует и конечен. Пусть для |
||||||
|
||||||||
f (c) = lim |
x |
|||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
определенности в точке с функция |
принимает |
свое |
наибольшее |
значение |
||||
f (c) f (c + x) числитель нашей дроби меньше или равен 0. |
|
|
||||||
Пусть x>0 , |
т.е. мы подходим к точке с справа. Тогда вся дробь меньше или равна 0 и, |
|||||||
согласно предыдущему, ее предел lim |
f (c + x) − f (c) |
0 |
. Теперь пусть x<0 |
, т.е. мы |
||||
|
x |
|||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
подходим к точке с слева. Тогда вся дробь больше или равна 0 и, по той же причине, ее
предел |
lim |
f (c + x) − f (c) |
0 |
. Из этих двух неравенств и единственности предела |
|
x |
|||||
|
x→0 |
|
|
функции наш предел может только равняться 0, т.е.
f
(c)
= 0 .■
Замечание. Все условия теоремы 1 существенны для ее справедливости: в точке, в которой функция принимает наибольшее или наименьшее значение, ее производная может не существовать (рис. 1) или равняться (рис. 2); то, что с – внутренняя точка отрезка, также существенно (рис. 3; здесь наибольшее значение функции принимается на краю b отрезка, а производная f (b) 0 ).
Рисунок 1 |
Рисунок 2 |
Рисунок 3 |
Теорема 2 (Ролля). Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна имеет конечную производную во всех внутренних точках этого отрезка и
на отрезке [a, b], f (a) = f (b) . Тогда
существует хотя бы одна точка
c
(a, b) такая, что
f
(c)
= 0.
Функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], следовательно она принимает на этом отрезке свои наибольшее М и наименьшее m значения. Возможны два случая:
1) M = |
m |
|
функция является постоянной |
|
|
= 0 , |
x (a,b) |
f (x) = M |
|
||||||
в качестве точки с можно взять любую точку этого интервала. |
|
|
|
||||
2) M m. |
Если бы оба этих значения принимались на краях отрезка, т.е. в точках a и b, то |
||||||
равенство |
f (a) = f (b) |
не могло бы выполняться, значит, хотя бы одно из этих значений |
|||||
принимается во внутренней точке с отрезка. Но тогда для этой точки выполняются все условия теоремы Ферма, и по этой теореме f (c) = 0. ■
41
Пример. y = 1 − 3 
x2 ; y(−1) = y(1) = 0, но
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
y = − |
− |
3 |
= − |
0. |
||
|
x |
|
||||
|
3 |
|
|
3 |
3 |
x |
Кажущееся противоречие с теоремой Ролля объясняется тем, что для данного примера эта теорема неприменима, так как во внутренней точке 0 отрезка [–1, 1] наша функция производной не имеет.
Теорема 3 (Коши). Пусть функции y = f (x) и y = g (x) определены и непрерывны на отрезке [a, b] и имеют конечные производные во всех внутренних точках этого отрезка, причем
g (x) 0 |
при x (a,b) . Тогда существует хотя бы одна точка c (a, b) такая, что |
||
|
f (b) − f (a) |
= |
f (c) |
|
g(b) − g(a) |
g (c) |
|
|
|
||
(1)
(знаменатель дроби в левой части отличен от 0, так как в противном случае по теореме Ролля производная функции g(x) в некоторой точке интервала (a, b) равна 0, что противоречит условию теоремы).
Рассмотрим вспомогательную функцию
F (x) = f (x) − f (a) − |
f (b) − f (a) |
[g(x) − g(a)]. |
|
g(b) − g(a) |
|||
|
|
Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: она определена и непрерывна на отрезке [a, b], так как на этом отрезке определены и непрерывны f(x) и g(x), а остальные величины в правой части последней формулы постоянны; во всех внутренних точках отрезка она имеет конечную производную
F (x) = f (x) − |
f (b) − f (a) |
g (x) ; |
|
g(b) − g(a) |
|||
|
|
на концах отрезка эта функция принимает равные значения:
F (a) = f (a) − f (a) − |
f (b) − f (a) |
[g(a) − g(a)] = 0, |
|||
g(b) − g(a) |
|||||
|
|
|
|
||
F (b) = f (b) − f (a) − |
f (b) − f (a) |
[g(b) |
− g(a)] = f (b) − f (a) − f (b) + f (a) = 0. |
||
g(b) − g(a) |
|||||
|
|
|
|
||
Значит, по теореме Ролля существует точка c (a, b) , такая, что F (c) = 0 , т.е.
F (c) = f (c) − |
f (b) − f (a) |
g (c) = 0 |
, откуда |
|
g(b) − g(a) |
||||
|
|
|
f (c) = |
f (b) − f (a) |
g (c) |
и |
|
g(b) − g(a) |
||||
|
|
|
Замечание. Теорема верна и при b < a (тогда
f (c) |
= |
f (b) − f (a) |
. ■ |
||||
g (c) |
g(b) − g(a) |
||||||
|
|||||||
|
|
||||||
f (a) − f (b) |
= |
f (c) |
, и осталось числитель и |
||||
g(a) − g(b) |
g (c) |
||||||
|
|
|
|||||
знаменатель дроби в левой части умножить на –1).
Теорема 4 (Лагранжа). Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и имеет конечную производную во всех внутренних точках этого отрезка. Тогда существует
хотя бы одна точка c (a, b) такая, что
f (b) − f (a) |
= |
f (c) |
|
b − a |
|||
|
|
или f (b) − f (a) = f (c)(b − a) .
(2)
Положим в теореме Коши
Коши, в частности g (x) = x
|
|
g(x)
=1
= x. Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы 0 . Тогда в формуле (1) g(b) = b, g(a) = a и
f (b) − f (a) |
= |
f " (c) |
. ■ |
|
b − a |
1 |
|||
|
|
42
Правило Лопиталя
Теорема 5 (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей). Пусть:
1) функции y = f(x) и y = g(x) определены в некоторой проколотой окрестности
0 U (a)
;
2) |
lim f (x) = lim g(x) = 0 или lim f (x) = lim g(x) = ; |
|||
|
x→a |
x→a |
x→a |
x→a |
3) |
в нашей проколотой окрестности точки а функции y = f(x) и y = g(x) имеют конечные |
|||
производные |
f (x) и |
g (x) , причем g (x) 0; |
||
4) существует (конечный или бесконечный) |
lim |
||||
|
x→a |
||||
|
|
|
|
||
Тогда существует и |
|
|
|
|
|
lim |
f (x) |
= lim |
f ( |
||
g(x) |
g ( |
||||
x→a |
x→a |
||||
f (x) |
||
g (x) |
||
x) |
. |
|
x) |
||
|
||
.
(3)
Замечания:
1. Теорема означает, что при выполнении условий 1) - 4) предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
2. В левой части формулы (3) неопределенность вида |
0 |
или |
|
, правило Лопиталя |
|
0 |
|
||||
|
|
|
относится только к неопределенностям такого вида, другие неопределенности (способами, указанными ниже) нужно сводить к этим.
3. Если |
lim |
f (x) |
не существует, то правило Лопиталя не применимо, при этом |
lim |
f (x) |
||||||
|
|||||||||||
g (x) |
|
||||||||||
x→a |
g(x) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
может и существовать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Теорема верна и при a = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. Если |
lim |
f (x) |
опять приводит к неопределенности вида |
0 |
или |
|
и |
f |
|
и |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||
x→a |
g (x) |
0 |
|
(x) |
g (x) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяют условиям, которые наложены на f(x) и g(x) в теореме 5, то правило Лопиталя можно применить еще раз.
Случай неопределенности вида
0 0
.
Положим f(a) = g(a) = 0 (если функции в этой точке не определены, то доопределяем их таким образом; если они определены в точке а и не равны в ней 0, то меняем их значения в точке а, что не скажется на величине искомого предела, так как в определении предела функции при x → a x a ). Тогда
lim |
f (x) |
= lim |
f (x) − f (a) |
. |
|
|
|||
x→a |
g(x) |
x→a |
g(x) − g(a) |
|
Согласно определению непрерывности, функции y = f(x) и y = g(x) непрерывны в точке а:
lim f (x) = 0, f (a) = 0 lim f (x) = f (a); |
lim g(x) = 0, g(a) = 0 lim g(x) = g(a) . |
||
x→a |
x→a |
x→a |
x→a |
Эти функции будут непрерывны и в нашей окрестности окрестности они имеют производную.
0 U (a)
, так как в любой точке этой
Пусть х – произвольная точка окрестности
0 U (a)
. Тогда для отрезка [a, x] (или [x, a] – в
зависимости от того, лежит ли х правее или левее а) выполняются все условия теоремы Коши, и по формуле (1) (согласно замечанию к теореме Коши, эта формула справедлива независимо от взаимного расположения a и b)
43
|
|
lim |
f (x) |
= lim |
f (x) − f (a) |
= |
lim |
f (c) |
, |
c (a, x) или c (x, a) . |
|
(4) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
g (c) |
|
||||||||||||||||||
|
|
g(x) |
g(x) − g(a) |
x→a |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x→a |
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При |
x → a c → a , и по условию существует |
lim |
f (c) |
= |
lim |
f (x) |
. |
Значит, |
существует и |
|||||||||||||||||
g (c) |
g (x) |
|||||||||||||||||||||||||
x→a |
x→a |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
предел левой части формулы (4) и |
lim |
f (x) |
= lim |
f (x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
g(x) |
g (x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x→a |
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Доказательство для случая неопределенности вида |
|
|
содержит длинные алгебраические |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
преобразования и для экономии времени и места мы его приводить не будем. |
||||||||||||||||||||||||||
Если |
lim |
f (x) |
= , |
то lim |
g (x) |
= 0 |
, |
тогда, |
по уже доказанному, |
lim |
g(x) |
= 0 , но тогда |
||||||||||||||
g (x) |
f (x) |
f (x) |
||||||||||||||||||||||||
|
x→a |
|
x |
→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
||||
lim |
f (x) |
= , т.е. опять |
lim |
f (x) |
= lim |
f (x) |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
g(x) |
g (x) |
|
|
|
|||||||||||||
g(x) |
x→a |
x→a |
|
|
|
|||||||||||||
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Осталось |
разобрать |
случай |
|
a = . |
|
Произведем |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
( |
) |
|
|
F (t) = f |
( |
) |
, G(t) = g |
( |
|
) |
|
lim |
|
|
= lim |
f 1/ t |
|
= lim |
||||
1/ t |
|
1/ t |
|
|
|
|
g (1/ t ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ g(x) |
|
t →0 |
t →0 |
||||||
G(t) удовлетворяют условиям правила Лопиталя при t → 0
|
f (x) |
|
F (t) |
|
F (t) |
|
F x |
|
F |
|
f |
|
lim |
|
= lim |
|
= lim |
|
= lim |
x |
t |
= lim |
x |
= lim |
|
|
|
G (t) |
G x |
G |
|
|||||||
x→ g(x) |
t →0 |
G(t) |
t →0 |
t →0 |
t →0 |
t →0 |
g |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
t |
|
x |
|
|
замену |
x =1/ t |
. |
||||||
|
|
|||||||
F (t) |
. Легко видеть, |
|||||||
G(t) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
, тогда |
|
|
|
|
||||
( |
) |
|
|
|
f (x) |
|
||
1/ t |
|
|
x |
= lim |
|
. ■ |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x→ g (x) |
|
||
(1/ t ) |
x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Обозначим что F(t) и
Примеры раскрытия неопределенностей. Найти пределы функций.
Решение.
2 |
2 |
2 |
|
1)
|
3 |
1 |
+ 2x + 1 |
3 |
3 |
(1 |
+ 2x) |
2 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
= |
|
= |
= |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
3 |
|||||
x→−1 |
|
2 + x + x |
x→−1 |
|
+ 1 |
|
+ 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
2 + x |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
4 .
9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это неопределенность |
вида |
|
|
; все условия теоремы 5 выполнены: числитель и знаменатель дроби определены, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывны |
и дифференцируемы в |
проколотой |
окрестности |
точки |
–1, причем в этой окрестности |
производная |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
знаменателя отлична от 0; предел отношения производных существует и равен , значит, существует предел отношения |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функций, и этот предел тоже равен . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
lim e |
x |
− e |
− x |
− 2x = |
lim e |
x |
+ e |
− x |
− 2 |
= lim e |
x |
− e |
− x |
= lim e |
x |
+ e |
− x |
= 2 . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x →0 |
|
x − sin x |
x →0 |
1 − cos x |
x →0 |
sin x |
x →0 |
cos x |
|
|
||||||||||||||||||||
Так как последний предел существует и равен 2, то предпоследний предел тоже существует и равен 2 и т.д. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
При |
|
x → + функции |
|
xk (k 0), a x (a 1), loga |
x(a 1) являются бесконечно большими. Выясним, |
какая из них |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
растет быстрее. Для этого вычислим два предела вида |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
lim |
loga |
x |
= lim |
|
1 |
|
|
|
= lim |
|
|
1 |
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x →+ |
|
xk |
|
x →+ x ln a kxk −1 |
|
x →+ k ln a xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Таким образом, при x → + степенная функция растет быстрее логарифмической.
44
|
x |
k |
|
kx |
k −1 |
|
k (k − 1) x |
k − 2 |
|
|
||||||
б) lim |
|
= lim |
= lim |
|
= ... |
|
||||||||||
|
x |
|
x |
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|||||
x →+ |
a |
x →+ |
a |
ln a |
x →+ |
a |
ln |
a |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом пределе все время получается неопределенность вида , но, на каком-то шаге, степень х в числителе дроби либо |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
станет равной 0 (при целом k ), либо станет отрицательной (при |
k не целом), тогда х из числителя «уйдет», и так как |
|||||||||||||||
предел знаменателя равен |
, то предел всей дроби будет равен 0. |
|
||||||||||||||
Таким образом, при |
|
x → + |
показательная функция растет быстрее степенной. |
|||||||||||||
4) Вышеприведенные примеры показывают, что во многих случаях правило Лопиталя существенно сокращает и упрощает раскрытие неопределенностей. Однако не следует думать, что правило Лопиталя является универсальным средством для этих целей и методы вычисления пределов, изложенные выше, больше не нужны. Для иллюстрации этого рассмотрим
следующий |
предел: |
lim |
x − sin x |
. Так как |
при |
x → х |
растет быстрее, |
чем sinx, то |
наш предел является |
|||||||||||
x + sin x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x → |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
неопределенностью вида |
|
|
; |
разделив числитель и знаменатель на х, предел можно вычислить следующим образом: |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − sin x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x − sin x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||
lim |
= lim |
|
|
|
|
x |
= |
= 1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
( sin x |
|
при |
x → – произведение бесконечно малой |
на ограниченную sinx |
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||
|
x + sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||
x → |
|
x → |
1 |
+ sin x |
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim sin x |
1 |
= 0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ошибочный |
метод |
состоит |
в |
применении |
|
правила Лопиталя |
без проверки |
справедливости |
условий теоремы 5: |
|||||||||||
lim |
x − sin x |
= lim |
1 − cos x |
= lim |
sin x |
= −1 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
x + sin x |
1 + cos x |
− sin x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x → |
|
x → |
|
|
x → |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5) lim sin x ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x → +0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Это уже неопределенность вида |
0 . Такие неопределенности сводятся к неопределенностям вида |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
преобразованием |
|
произведения |
|
в |
дробь |
|
|
путем |
использования отрицательной |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
1 / x |
|
sin |
2 |
x |
0 |
|
2 sin x cos x |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim sin x ln x = lim |
|
−1 |
|
= lim |
|
−2 |
|
= − lim |
|
|
|
=− lim |
|
|
= |
|
= 0. |
|
x →+0 |
x →+0 |
sin |
x |
x →+0 |
− sin |
x cos x |
x →+0 |
x cos x |
x →+0 |
cos x − x sin x |
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
или
степени:
Заметим здесь, что при другом возможном преобразовании пример только усложняется:
lim sin x ln x = lim |
sin x |
= lim |
cos x |
x |
= − lim x cos x ln |
2 |
x . |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
−1 |
|
|
−2 |
|
|
|||||
x →+0 |
x →+0 |
ln |
x |
x →+0 |
− ln |
x |
x →+0 |
|
|
||
|
|
|
|
||||||||
На этом примере видно, что, как правило, логарифмическую и обратные тригонометрические функции переводить в знаменатель не целесообразно.
3
6) lim(cos 2x) x 2 .
x →0
Это неопределенность вида |
|
, которая (как и неопределенности вида |
0 |
0 |
и |
0 |
) раскрывается путем логарифмирования |
1 |
|
|
|||||
выражения под знаком предела, которое мы обозначим y. А именно, рассмотрим |
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
ln cos 2x |
0 |
|
− sin 2x 2 |
|
|
sin 2x |
|
1 |
|
|||
lim ln y = lim |
|
2 |
ln cos 2x = 3 lim |
|
2 |
= 3 lim |
|
|
= −6 lim |
|
lim |
|
= −6. |
|||
x →0 |
x →0 |
x |
x →0 |
x |
x →0 |
cos 2x 2x |
|
|
x →0 |
2x |
x →0 |
cos 2x |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||
непрерывности показательной функции, |
lim e |
ln y |
= lim y = e |
−6 |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x →0 |
|
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда, в силу
3
Введя обозначение ex = exp(x) , решение этого примера можно записать и по-другому:
lim(cos 2x) |
x |
2 |
= |
|
|||
x →0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
) |
|
|
||
|
|
|
|
|
3 ln cos 2x |
|
|
||||||
|
ln(cos 2 x ) x |
|
|
|
|
|
−6 |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= lim e |
|
|
= lim exp ln(cos 2x) x |
|
= exp |
lim |
|
|
, что, как показано выше, даёт |
exp(−6) = e . |
|||
|
|
|
|
2 |
|||||||||
x →0 |
|
|
x →0 |
|
|
|
|
(x →0 |
x |
|
|
|
|
45
ЛЕКЦИЯ 9
Формула Тейлора
Формула Тейлора для многочлена
Пусть |
P (x) |
- многочлен степени n по степеням |
x − x |
, т.е. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
P (x) = c |
+ c (x − x |
) + c |
(x − x |
) |
2 |
+... + c |
(x − x |
) |
n |
= |
c |
(x − x |
) |
k |
. |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
n |
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
|
|
|
n |
|
0 |
|
|
|
k |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
Отметив, что первый член правой части этой формулы есть постоянная, постоянной равна 0, возьмем производную от обеих частей:
P (x) = |
n |
|
|
|
|
c k(x − x |
) |
k −1 |
. |
||
|
|||||
n |
k |
0 |
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
(1)
а производная
Первый член правой части этой формулы (при |
k =1) |
которой равна 0, снова дифференцируем равенство по х:
есть постоянная
c1
, производная
|
(x) = |
n |
n |
k |
|
P |
c k(k |
|
|
|
k =2 |
−1)(x − x |
) |
k −2 |
|
||
0 |
|
|
.
И т.д. В общем виде получаем, что
n |
|
|
n |
(m) |
|
k |
|
P |
|
(x) = |
c k(k −1)...(k |
|
|
|
k =m |
− m +1)(x −
x |
) |
k −m |
|
||
0 |
|
|
.
Подставим в эту формулу |
x = x |
|
|
|
|
|
|
|||
0 . При этом все члены правой части, |
||||||||||
k = m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) будут равны 0, и мы получим, что |
|
|
|
|
|
|
||||
|
(m) |
|
|
|
|
|
P |
(m) |
(x ) |
|
P |
(x ) = c m(m −1)...(m − m +1) = c m!, откуда |
c |
= |
|
|
|||||
|
n |
|
0 |
|||||||
n |
|
0 |
m |
m |
|
|
|
|||
|
m |
|
|
|
m! |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
кроме первого (при
, |
m = 0,1,..., n. |
Заменяя здесь m |
на k , имеем равенства для коэффициентов формулы (1): |
||||||||||
|
|
|
P (x ) |
|
|
|
|
|
|||
|
c |
= |
n |
|
0 |
|
, |
k = 0,1,..., n. |
|||
|
k |
|
|
k ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя эти коэффициенты в формулу (1), имеем: |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
P |
(k ) |
(x ) |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
0 |
k |
|
||
|
|
|
|
n |
|
0 |
|
||||
|
P (x) = |
|
|
(x − x |
. |
||||||
|
|
|
k ! |
) |
|||||||
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (3) называется формулой Тейлора для многочлена.
(2)
(3)
Формула Тейлора для n + 1 раз дифференцируемой функции
Пусть функция y = f(x) n+1 раз дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 , т.е.
имеет в этой окрестности все производные до порядка n + 1 включительно. Тогда формула (3) не может быть верной, так как в левой ее части произвольная функция, а в правой – многочлен. Нужно эту формулу как-то «подправить». Возьмем некоторый х из нашей окрестности и положим
|
n |
f |
(k ) |
(x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
k |
n |
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
f (x) = |
|
|
|
|
(x − x |
) |
+ r |
(x), |
||
|
|
k ! |
|
|
||||||
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где rn (x) − так называемый остаточный член формулы Тейлора.
(4)
Возможны различные формы записи остаточного члена, мы рассмотрим только две из них. Сначала будем искать остаточный член в виде, похожем на следующее слагаемое из правой части формулы (4).
46
Теорема 1. Если функция |
y = f (x) |
n + 1 раз дифференцируема в некоторой окрестности |
точки |
x |
0 |
, то для всех х из этой окрестности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
n |
|
f |
(k ) |
(x |
) |
|
|
|
f |
(n+1) |
(c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f (x) = |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
k ! |
|
(x − x )k + |
(n |
+1)! |
(x − x )n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
f (x |
) |
|
|
|
|
f (x ) |
|
|
|
|
|
f |
(n) |
(x |
) |
|
|
f |
(n+1) |
(c) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= f (x |
) + |
|
|
|
0 |
|
(x − x |
) + |
|
|
0 |
(x − x |
)2 |
+... + |
|
|
0 |
|
(x − x |
)n + |
|
|
|
(x − x |
)n+1, |
|||||
0 |
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
0 |
|
2! |
|
|
|
0 |
|
|
|
n! |
|
0 |
|
(n +1)! |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
с – точка Формулу
между |
x |
0 |
и х, которую еще можно записать в виде |
c = x |
+θ(x − x |
) |
, |
0 |
|
0 |
0 |
|
(5) называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
θ
1
.
Из-за довольно сложных выкладок доказательство этой теоремы мы здесь приводить не будем.
Замечания.
1. Смысл формулы Тейлора состоит в том, что с точностью до остаточного члена функция
в окрестности точки |
x |
0 |
представляется в виде многочлена по степеням |
x − x |
, а многочлен |
|
0 |
изучать проще, чем произвольную функцию.
2. |
Остаточный член в форме Лагранжа имеет тот же вид, что предыдущие члены формулы, |
||
но производная берется уже не в точке |
x |
0 , а в промежуточной точке с. |
|
|
|||
3. |
Отбросив в (5) остаточный член, |
получим формулу для приближенных |
|
вычислений
n f (x)
k =0
f |
(k ) |
(x |
) |
|
|
|
|
|
|
k |
|||
|
|
0 |
|
(x − x |
) |
|
|
|
|
|
|
||
|
k ! |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
, погрешность которой равна остаточному члену
|
f |
(n+1) |
(c) |
|
r (x) = |
|
(x − x |
||
|
|
|
||
n |
(n +1)! |
0 |
||
|
|
|||
с определить нельзя, превосходит.
) |
n+1 |
, где с – промежуточная точка между |
x |
|
и х. Хотя точно значение |
|
0 |
||||
|
|
|
мы можем оценить погрешность, т.е. указать, чего она, заведомо, не
В качестве примера рассмотрим задачу приближенного вычисления |
5 |
33 |
, которая уже решалась при помощи |
|
|||
|
|
понятия дифференциала. В нем был получен ответ 2 + 1 , причем погрешность вычислений оценить мы тогда не могли.
80
Теперь мы можем продвинуться гораздо дальше:
Рассмотрим функцию |
y = |
f (x) = |
5 |
x |
и возьмем x |
|
= 32 |
f ( x ) = 5 |
32 = 2 |
. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
|
1 |
|
|
f (x) |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
f ( x) = |
36 |
|
|
|
|
|
(32) = |
1 |
; f (32) = |
|
1 |
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
; |
= − |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
; |
f |
|
− |
; f (c) |
= |
|
|
|
|
. |
По формуле |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
5 |
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
25 |
5 |
|
x |
9 |
|
|
|
125 |
5 |
x |
14 |
|
|
|
80 |
|
|
|
|
3200 |
|
125 |
5 |
c |
14 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(5) |
5 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
f |
(32) |
|
|
|
|
|
|
|
f (32) |
|
|
2 |
|
|
|
f (c) |
|
3 |
|
При х |
= 33 отсюда |
получаем |
x − 32 = 1 и |
|||||||||||||||
= |
|
f (32) + |
|
|
|
( x − 32) |
+ |
|
( x − 32) |
|
+ |
|
|
( x − 32) |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + |
1 |
− |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||
33 |
= 2 + |
− |
|
+ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Отбрасывая остаточный член, |
получаем |
приближенно |
|
|
33 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6400 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
125 |
5 |
c |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Погрешность при этом не превосходит отброшенного остаточного члена, в котором с находится между Наибольшее значение этой погрешности будет при наименьшем значении ее знаменателя, т.е. при
x 0
с
=32 и х=33.
=32. Значит,
|
|
6 |
|
|
= |
6 |
|
= |
3 |
|
= |
3 |
. |
||||
погрешность наших вычислений не превосходит |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
125 2 |
14 |
1000 2 |
10 |
1024000 |
|||||||||
5 |
14 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
125 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. При x0 = 0 (5) превращается в так называемую формулу Маклорена:
47
n |
f |
(n) |
(0) |
|
|
|
f |
(n+1) |
(c) |
|
|
|
|
f (0) |
|
f (0) |
|
|
|
f |
(n) |
(0) |
|
|
|
f |
( n+1) |
(c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f (x) = |
|
|
|
x |
n |
+ |
|
|
|
x |
n+1 |
= f (0) |
+ |
|
x + |
|
x |
2 |
+... + |
|
|
|
x |
n |
+ |
|
|
|
x |
n+1 |
|
n! |
|
(n +1)! |
|
1! |
2! |
|
|
n! |
|
(n +1)! |
|
||||||||||||||||||
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6)
Здесь с – промежуточная точка между 0 и х, или c = θx, 0 θ 1.
Теорема 2 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть функция y = f(x) имеет в точке x0 непрерывные производные до порядка n включительно. Тогда
|
n |
f |
|
(k ) |
(x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
k |
|
|
|
|
0 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f (x) = |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x − x ) |
+ o((x − x |
|
) |
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
k ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f |
' |
(x |
) |
|
|
|
|
f |
'' |
(x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(n) |
(x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||
= f (x |
) + |
|
|
|
0 |
|
(x − x |
) + |
|
|
0 |
|
(x − x |
|
) |
+... + |
|
|
|
0 |
|
(x − x |
|
) |
+ o((x − x ) |
). |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
1! |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2! |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
f |
(k ) |
(x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(x) = |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − x |
|
) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r (x) = |
f (x) − P(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично предыдущему, из (9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n |
f |
|
(k ) |
(x |
) |
|
|
|
|
|
|
n |
f |
(k ) |
(x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
f |
(k ) |
(x ) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
)k −1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
)k −1, P" (x) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
)k −2 |
|||||||||||||||||||||
P (x) = |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k(x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − x |
|
|
|
|
|
|
|
(x − x |
|||||||||||||||||||||
|
k =1 |
|
|
k ! |
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
(k −1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =2 |
(k |
− 2)! |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В общем случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
f |
(k ) |
(x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(m) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) = |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
m = 0, |
1,..., |
n. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − x )k −m , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =m |
(k − m)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(7)
(8)
(9)
и т.д.
(10)
При подстановке |
x = x |
0 |
Из (11) следует, что
Теперь, используя (12), Лопиталя:
в сумме останется только одно (первое) слагаемое и
|
P(m) (x ) = f (m) (x ), m = 0, 1,..., n . |
(11) |
||
|
0 |
|
0 |
|
r(m) (x ) = f (m) (x ) − P(m) (x ) = 0, m = 0, 1,..., n . |
(12) |
|||
n |
0 |
0 |
0 |
|
для доказательства нужного нам утверждения применим правило
|
r (x) |
|
0 |
r (x) |
|
0 |
r (x) |
|
|
0 |
r |
|
|
(x) |
|
||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
(n) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
n |
|
|
= lim |
n |
|
|
= lim |
n |
|
|
=... = lim |
n |
|
|
= 0. |
|
(x − x |
) |
n |
n(x − x |
) |
n−1 |
n(n −1)(x − x |
) |
n−2 |
|
|
n! |
||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||||||||
x→x |
0 |
|
|
x→x |
0 |
|
|
x→x |
0 |
|
|
x→x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для такой формы остаточного члена формула Маклорена принимает вид:
■
n |
f (n) (0) |
xn + o(xn ) = f (0) + |
f (0) |
|
f (0) |
x2 |
|
f (n) (0) |
xn + o(xn ). |
|
|
f (x) = |
|
|
x + |
|
+... + |
|
(13) |
||||
n! |
1! |
2! |
n! |
||||||||
k =0 |
|
|
|
|
|
|
Разложения по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
Применим формулы (6) и (13) к некоторым функциям:
1) f (x) = ex . Для этой функции |
f (k ) (x) = ex f (k ) (0) = e0 =1 и |
||||||||||
|
|
n |
xk |
|
|
x2 |
|
x3 |
xn |
||
|
|
ex = |
|
+ rn |
(x) =1+ x + |
|
+ |
|
+... + |
|
+ rn (x) , |
|
|
n! |
2! |
3! |
|
||||||
|
|
k =0 |
|
|
|
|
n! |
||||
48
где
r (x) = o(x |
n |
) = |
|
||
n |
|
|
e |
c |
|
|
|
|
x |
n+1 |
, c |
|
|
|
|||
(n + |
|
|||
1)! |
|
|
||
= θx, 0 θ
1
. Так как наша функция имеет производные
всех порядков в любой точке, то формула справедлива для всех х.
Применим эту формулу для приближенного вычисления числа e. Подставляя х = 1, беря пять членов и отбрасывая остаточный член, получаем, что
e 1+1+ |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
= 2 + |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
= |
|
2! |
3! |
4! |
2 |
6 |
24 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
48 +12 + 4 +1 |
= |
|
24 |
||
|
65 |
( |
|
24 |
||
|
2.708)
.
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
e |
c |
|
|
|
Погрешность результата |
|
равна |
|
, где |
c = θ, 0 θ 1, значит, эта погрешность не |
||||||||
24 |
5! |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
превосходит |
e |
. Как доказывалось выше, e 3 |
, поэтому наша погрешность не превосходит |
||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
= |
3 |
|
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5! |
1 2 |
3 4 5 |
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
||
2) f (x) = sin x . Здесь f (x) = cos x, f (x) = −sin x, f (x) = −cos x, f iv (x) = sin x,...;
f (0) = 0, f (0) =1, f (0) = 0, f (0) = −1, f iv (0) = 0,... ; в формулах (6) и (13) остаются только члены с нечетными степенями х, и эти формулы принимают вид
где
r(
sin x) −
|
x |
3 |
|
x |
5 |
|
x |
7 |
|
x = x − |
|
+ |
|
− |
|
||||
3! |
5! |
7! |
|||||||
|
|
|
|||||||
остаточный член
+... + (−1)n
вформе
x |
2n+1 |
|
|
|
+ r(x) = |
||
(2n +1)! |
|||
|
|||
Лагранжа или
n |
|
|
x |
2k +1 |
|
|
|
(−1) |
k |
|
+ r(x) |
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
(2k +1)! |
|
|||
k =0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Пеано. |
Так как функция имеет |
|||||
производные всех порядков в любой точке, то разложение справедливо для всех х.
3) f (x) = cos x . Здесь f (x) = −sin x, f (x) = −cos x, f (x) = sin x, f iv (x) = cos x,...;
f (0) =1, f (0) = 0, f (0) = −1, f (0) = 0, f iv (0) =1,...; в формулах (6) и (13) остаются только члены с четными степенями х, и эти формулы принимают вид
|
x |
2 |
|
x |
4 |
|
x |
6 |
|
|
x |
2n |
n |
|
cos x =1− |
|
+ |
|
− |
|
+... + (−1) |
n |
|
+ r(x) = (−1) |
k |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2! |
4! |
6! |
|
(2n)! |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
k =0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2k |
|
|
|
+ |
||
(2k)! |
|||
|
|||
r(x)
,
где
rn (x) −
остаточный член в форме Лагранжа или Пеано. Так как функция имеет
производные всех порядков в любой точке, то разложение справедливо для всех х.
4)
f
(x)
= ln(1+
x)
.
f |
' |
(x) = |
1 |
, f |
" |
(x) = − |
1 |
|
, f |
''' |
(x) = |
2 |
|
' f |
iv |
(x) = − |
2 3 |
|
,..., |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1+ x |
|
(1+ x) |
2 |
|
(1+ x) |
3 |
|
(1+ x) |
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(k ) |
(x) = (−1) |
k −1 |
(k −1)! |
; f |
' |
(0) |
=1, |
f |
'' |
(0) |
= −1, |
f |
''' |
(0) |
= 2, |
f |
iv |
(0) |
= −2 3,..., f |
(k ) |
(0) |
= (−1) |
k −1 |
(k −1)!. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
(1+ x) |
k |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь разложения (6) и (13) выглядят так:
n |
(−1)k −1 (k −1)! |
n |
(−1)k −1 xk |
|
|
x2 |
|
x3 |
(−1)n−1 xn |
|||
ln(1+ x) = |
|
xk + rn |
(x) = |
|
+ rn |
(x) = x − |
|
+ |
|
−... + |
|
+ rn (x). |
|
k |
2 |
3 |
|
||||||||
k =1 |
k ! |
k =1 |
|
|
|
|
n |
|||||
Здесь rn (x) −остаточный член в форме Лагранжа или Пеано. Исходная функция имеет
производные любого порядка на интервале (–1, 1) (–1 – точка разрыва функции), поэтому наше разложение справедливо на этом интервале.
5) f (x) = (1+ x)α .
f (x) = α(1+ x)α−1, f (x) = α(α −1)(1+ x)α−2 , f (x) = α(α −1)(α −2)(1+ x)α−3,..., f (k ) (x) = α(α −1)(α − 2)...(α −k +1)(1+ x)α−k ; f (0) =1, f (0) = α, f (0) = α(α −1), f (0) = α(α −1)(α − 2),..., f (k ) (0) = α(α −1)(α − 2)...(α − k +1).
49