Добавил:

VadoZ хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

лекции вышмат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2024

Размер:

5.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 254 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ЛЕКЦИЯ 6

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРОИЗВОДНАЯ

Определение, физический и геометрический смысл производной

Определение 1. Пусть функция y = f (x) точки х0 . Производной этой функции в точке

определена в некоторой окрестности х 0 называется число

y (x	) =
0

f (x	) =
0

limx→0

f (x)x

limx→0

f (x	0	+ x) −
	0
		x

f (x	0	)
	0

lim x→x0

f(x) − x −

f (x		0	)
		0
x	0
	0

(1)

если этот предел существует и конечен (если предел бесконечен, то иногда говорят про бесконечную производную).

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции.

Примеры. Найти производные функций.

Решение.

1) у = c

y = 0

y (x) = 0 .

( x + x)

− x

+ 2x x + x

− x

2) y = x

y (x) = lim

= lim

= lim(2x + x) = 2x.

x →0

3) y = x

| 0 + x |

− | 0

= lim

| x |

–

не существует, так как последняя дробь равна 1

y (0) = lim

x →0

x→0

при

x 0 и равна –1 при

x 0 .

Физический смысл производной

Пусть s = s(t) – путь, пройденный некоторой точкой за время t, тогда

	(t 0 ) =	lim	s	= v (t 0 ) – мгновенная скорость точки в момент времени t0 .

s			t
		t →0

Геометрический смысл производной y

			М (х,у)

	M0 (x0 , y0 )		N
0	x0	x	х	x
			Рисунок 1
			30

Пусть M

– фиксированная точка непрерывной кривой y = f(x); М – произвольная точка этой

кривой;

проведем всевозможные секущие М0

М;

предельное положение таких секущих

при x →0 (или при М →М 0 ), если такое существует,

y = f(x) в точке М 0 (рис. 1).				y
		треугольник		y
		треугольник
Угловой коэффициент секущей	k = tg	=		x	→
Угловой коэффициент секущей		=			→
		M	MN
		0

называется касательной к кривой

f (x	)	при	x	→0, если эта
0

производная существует, значит предельное положение секущей, т.е. касательная, в точке

х 0	существует тогда и только тогда, когда в этой точке существует производная	f (x	)	,
		0

которая и является угловым коэффициентом касательной. Используя уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту, запишем уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке

М 0 (х0 , f (x0 )) в виде

y – f(x0 ) = f '(x 0 )(x – x 0 )

y = f(x0 ) + f '(x 0 )(x – x 0 ).

(2)

Нормалью к кривой y = f(x) в точке М точку перпендикулярно касательной в

(х 0

,f (x 0 )) называется прямая, проведенная через эту

этой точке. Используя условие перпендикулярности


прямых k		= −	1	, уравнение нормали можно записать в виде		y − f (x )
	2
			k1			0

Необходимое условие существования производной
Теорема 1. Пусть функция y = f(x) имеет в точке х0					производную
функция непрерывна в точке х0 .

= −

f (

	1	(x − x0 ) .
	f (x0 )	(x − x0 ) .
	f (x0 )

x	)	. Тогда эта
0		. Тогда эта

lim y =x→0

lim x→x0

[ f(x) – f(x

)] =

lim x→x0

f(x) − x −

f (x		0	)
		0
x	0
	0

( x - x

) =

lim x→x0

f(x) − f (x0 ) x − x0

lim x→x0

( x - x

) =

=f '(x0 ) · 0 = 0, а это равенство является одним из определений непрерывности функции

y = f(x) в точке х0 . ■

Замечание. Пример 3) показывает, что обратная теорема неверна: функция y = |x| не имеет производной в точке 0, хотя и является непрерывной в этой точке.

Вычисление производной функции

Теорема 2. В точках, где существуют u' и v':

1) (u + v)' = u' + v'; 2) (u – v)' = u' – v';

u v

− uv

3) (uv)' = u'v + uv'; 4) (cu)' = cu'; 5)

1) (u+v)' = lim [u(x + x) + v(x + x)] −[u(x) + v(x)]

= lim

u(x + x) − u(x)

x→0

+ lim

v(x + x) − v(x)

= u' + v'; 2) аналогично; 3) (uv)' = lim

u(x + x)v(x + x) − u(x)v(x)

x→0

= lim

u(x + x)v(x + x) − u(x)v(x + x) + u(x)v(x + x) − u(x)v(x)

x→0

= lim

u(x + x) − u(x)

lim v(x+ x) + u(x) lim

v(x + x) − v(x)

= u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

x→0

(здесь учтена непрерывность v, которая следует из существования ее производной);

отсюда (uvw)' =((uv)w)'=(uv)'w+(uv)w'=(u'v + uv')w + uvw' = u'vw + uv'w + uvw';

аналогично для большего числа сомножителей;

4) (сu)' = с'u + cu' = 0 + cu' = cu';

			u(x + x)	−	u(x)

5)	u	= lim	v(x + x)		v(x)	= lim	u(x + x)v(x) − u(x)v(x + x)


	v	x→0	x			x→0	v(x + x)v(x) x

= lim	u(x + x)v(x) − u(x)v(x) + u(x)v(x) − u(x)v(x + x)	=
	v(x + x)v(x) x
x→0

=			1	[v(x)
	v	2	(x)

(здесь тоже

lim	u(x + x) − u(x)	– u(x) lim
	x
x→0		x→0

учтена непрерывность v). ■

v(x + x) − v(x)x

]

'			'	(x)
u	(x)v(x) − u(x)v			(x)
	v	2	(x)
	v		(x)

Теорема 3 (производная обратной функции). Пусть функция

y = f(x) определена в

некоторой окрестности точки x 0

и в точке x 0

имеет конечную и отличную от 0 производную

f (x )

; пусть существует обратная функция x = f

−1

(y), непрерывная в соответствующей

точке y

0 = f(x0 ). Тогда в точке y0

эта обратная функция имеет производную, равную

f (x )

Т.е.

( y

) =

или, опуская аргументы,

)

( y

)

= lim

(из существования обратной функции следует, что при

y→0

x тоже отлично от 0); из непрерывности обратной функции следует, что при

y → 0

x → 0 .

Теорема 4 (о производной сложной функции).

Пусть дана

сложная

функция

z = f(g(x)). Пусть функция у = g(x) имеет производную в точке х 0 , а функция z = f(y) имеет производную в точке y 0 = f(x0 ). Тогда сложная функция z = f(g(x)) также имеет производную

в точке х		0	и	z	(x	) = f (y	)g (x	)	. Опуская аргументы, последнее равенство можно записать
в точке х		0	и	x	0	0	0		. Опуская аргументы, последнее равенство можно записать
в виде	z		=	z y
в виде	x			y	x .

▲ Дадим

приращение

x =

x − x0

, тогда

получит приращение

y =

y −

, а

получит

соответствующее приращение z = f (y) − f (y0 ) . Нужно						найти
f ( y	) = lim	z	z	= f ( y	) + ( y), где ( y)-б.м., y → 0	z =

0	y→0	y	y	0

z	(x
x	0

f ( y	) y
0

	) = lim	z
		x
	x→0
	+ ( y) y.

Эта формула верна и при y = 0, т.к. в этом случае z = 0

= f (

) = lim

= f ( y

) lim

+ lim ( y) lim

= f ( y

)g (x

) + 0 g (

x→0

x→0 x

(из существования	y	следует непрерывность у = g(x), тогда из x → 0
	x

y )	y	+ ( y)	y
0	x		x

x	) =	f ( y	0	)g (x	)
0			0	0

следует y → 0 ). ■

Таблица производных

								1		1		1
		α		α−1				1		1		1
1) c = 0 ;	2) (x	)	= αx		, в частности (	x )	=		,		= −			;
												x	2
								2 x					2
								2 x		x

) = a

ln a

, в частности

)

= e

;

4) (log

(sin x) = cos x ;

(cos x) = −sin x ;

(ctgx)

= −

sin

;

(arcsin x)

;

1− x

;

12)

= −

;

11) (arctgx)

(arcctgx)

+ x

1	, в частности (ln x)			=	1	;
x ln a	, в частности (ln x)			=	x	;
x ln a					x
	1
	7) (tgx) =		;
	7) (tgx) =	cos2 x	;

	(arccos x) = −	1
10)	(arccos x) = −	;
10)		;
		1− x
		2
13)	(shx) = chx ;

14)

(chx) = shx

;

15)

(thx)

;

16)

(cthx)

= −

x + x

ln(1 +

)

ln(x + x) − ln x

См. выше;

4) (ln x) =

lim

= lim

x→0

→0

2 cos

2x + x

sin

sin(x + x) − sin x

= lim

cos(x+

) =cox;

(sin x) = lim

x→0

1 x

;

6)	(cos

x) =	sin(
		2

−

cos (

π 2

−x

)


	2

−

 

= sin x(–1)= –sinx;


7)	(tgx) =	sin x

		cos x

cos x cos x + sin x sin x
cos	2	x

1
cos	2

;

8) аналогично;

9) пусть y = sin x, x [ −	π	,	π	] существует обратная функция
	2		2

производной обратной функции	x	=	1	=	1	=	1			=

	y		y		cos x		1 − sin	2	x
										1
			x

x и х на y, и доказывает нужное нам равенство;

1 −

=arcsin y; по теореме о

,что, с заменой y на

y 2

10) так как arcsin x + arccos x =

π 2

, то

(arccos x)


=	2

− arcsin

=	−

1 1− x2

;

11) пусть y = tg x, x ( −	π	,	π	существует обратная функция
	2		2

производной обратной функции xy =	1	=1:	1		=			1
	yx		cos	2		tg	2	x	+1
					x

y на x и х на y, и доказывает нужное нам равенство;

= arctg

y	1
	2	+1

y; по теореме о

, что, с заменой

							1

12) так как arctg x + arcctg x =		, то (arcctgx)	=		− arctgx	= −			.
	2			2			1+ x	2

Дадим определение гиперболических функций: гиперболическими синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом называются соответственно функции:

sh x =	e x − e−x	,	ch x =	e x + e− x	,	th x =	shx	,	cth x =	chx	.
							chx
	2		2							shx

Как легко увидеть из этих определений, формулы для этих функций похожи на формулы для соответствующих тригонометрических функций, отличие может быть только в знаках,

в частности, справедлива формула ch 2 x −sh 2 x = 1.

13)	(shx) =	1	(e	x	+e	−x	) = ch x; 14)	(chx) =	1	(e	x
13)	(shx) =		(e		+e		) = ch x; 14)	(chx) =		(e

		2							2

16) аналогично; теперь нам осталось доказать

−e	−x	) = sh x; 15)	(thx) =

только формулы 2) и 3).

ch	2	x − sh			2	x
ch		x − sh				x
		ch	2	x
		ch		x

1
ch	2	x

;

Логарифмическое дифференцирование

Пусть y = f(x) 0 – некоторая функция, имеющая производную. Рассмотрим производную

по х от ln y. Согласно теореме 4,	(ln y)	=	1	y	=	1	y . Такая производная называется

	x		y	x		y

логарифмической производной функции y = f(x), а метод ее использования называется логарифмическим дифференцированием.

Применим этот метод для доказательства оставшихся формул 2) и 3):

α−1

2) y = x

ln y = α ln x

y = α

= α

= α x

;

3) y = a x ln y = x ln a	1	y = ln a y = y ln a = ax ln a . ■
	y

Метод логарифмического дифференцирования применяется для нахождения

функций вида		y =	f (x)	g ( x)	: ln y = g(x) ln f (x)


1	y = g (x) ln	f (x) + g(x)			1	f (x) y =	f (x)	g ( x)	ln f (x)g (x) + g(x) f (x)	g ( x)−1

y					f (x)

получаем сумму производных показательной и степенной функций.

производных

f (x),

т.е.

Пример. Найти производную функции

y = (sin x)

Решение.

y '

2 cos x

y = (sin x)

2x ln sin x + x

ln y = x

ln sin x;

= 2x ln sin x + x

;

sin x

Производная неявной функции

cos x sin x

 

Пусть значения переменных x и y связаны между собой некоторым уравнением, которое, если все его члены перенести в левую часть, может быть записано в виде F(x, y) = 0, где F(x, y) – некоторая функция двух переменных. Если для каждого значения х из некоторого множества Х существует одно значение y из некоторого множества Y, такое, что F(x, y) = 0, то этим определяется некоторая функция y = y(x). Такая функция называется неявной функцией, заданной уравнением F(x, y) = 0.

Примеры неявных функций.

1) x

+ y

– a

= 0, x [-1,1], y [0,1]

y =	a	2	− x	2
		2		2

2) y – x – 0.25 sin y = 0, x,y (- ,+ ); y выразить в явном виде через x нельзя.

Пусть неявная функция задана уравнением F(x,y) = 0. Укажем метод нахождения производной этой функции (считая, что эта производная существует). Пусть в нашем уравнении y является функцией от х: y = y(x). Тогда уравнение превратится в тождество:

F(x,y(x)) 0 ( x X)	F	(x,y(x)) = 0 (производная по х
	x
y является функцией от	х). Из последнего (линейного по
y = y
x .

берется в предположении, что

'
y	) уравнения можно выразить
	) уравнения можно выразить

Рассмотрим		второй из приведенных выше примеров: y – 1–	0.25cosy y = 0	y =
=	1	. Ответ, как мы видим, может зависеть не только от	х, но и от y.

	1 − 0.25 cos y

ЛЕКЦИЯ 7

Дифференцируемые функции. Дифференциал

Определение 1. Пусть функция

y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х

0 .

Обозначим х = x − х0

– приращение аргумента, y = f(x) – f(х0 ) – соответствующее

приращение функции. Функция

y = f(x) называется дифференцируемой в точке х 0 , если ее

приращение y может быть представлено в виде

y = А х +

α х,

(1)

где А не зависит от

х (но зависит от точки х0 ): А = А(х0 ), а α зависит от х и х 0 :

α = α (х 0 , х) и является бесконечно малой при х → 0 : lim α

= 0. В этом случае линейная

x→0

относительно х функция А х называется дифференциалом функции y = f(x) в точке

и обозначается d f(x 0 ) = d y(x 0 ) или просто d y.

Пример.

y = x

( x)

y = (x0 + х) – x

= x

0 + 2 x0

х +

– x

0 = 2 x0 х +

х х ;

здесь А = 2х0 ,

х,

значит,

функция дифференцируема и dy = 2 x0 х.

Так как при α 0

второй член в правой части формулы

(4.3) является при х → 0

бесконечно малой более высокого порядка, чем х ( lim

α x

= 0 ), то эту формулу можно

x→0

записать в виде

y = А

х + о(

х). Таким образом, дифференциал функции представляет

собой линейную функцию от х

и отличается от приращения функции на величину о(

х).

Поэтому говорят, что дифференциал функции это главная линейная часть приращения этой функции. Смысл введения понятия дифференциала заключается в том, что приращение


функции	y , которое может иметь достаточно сложный вид, в главном характеризуется

более простой линейной функцией А		х.

Теорема 1. Для того, чтобы функция y = f(x) была дифференцируемой в точке х 0 , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. При этом

в равенстве (1)

A = f (x )

Необходимость.

Пусть

функция

y =

f(x) дифференцируема в точке

х0

y = А х + α

х, где А = А(х0 ),

α = α

(х 0 , х) и α является бесконечно малой при х → 0

y = А + α f (x0 ) =

lim

= lim (A + α ) = A.

x→0

)

Достаточность. Пусть

lim

= f

(x0 ) + α , где α = α ( х) – бесконечно

x→0

малая при х → 0

функция

y = f (x0 ) x +α( x) x функция

f(x)

дифференцируема в точке x0

A = f (x

)

. ■

Таким образом, фраза «функция дифференцируема в точке х 0 » означает то же самое, что

«функция имеет в точке х 0 конечную производную» и

df (x	) = f (x	) x
0	0

dy = y x.

(2)

Если положить dx =

x, то получим также формулу

dy =

y dx

(

y =

dy dx

−

еще одно

обозначение производной).

Пример. Если y = x	2	'	dx = 2x
		, то dy = y

Геометрический смысл дифференциала

x = 2x dx, что мы уже видели выше.

Рисунок 1

Здесь отрезок AB равен x tg = x																							приращение ординаты
Здесь отрезок AB равен x tg = x									y (x0 ) = dy(x0 ). Т.е. если y –														приращение ординаты
кривой, то dy – приращение ординаты касательной к этой кривой.
Применение дифференциалов для приближенных вычислений
Для		дифференцируемых					функций						y = f (x				) x +α( x) x					.	При		приближенных
Для		дифференцируемых					функций									0						.	При		приближенных
вычислениях второй член в правой части этой формулы отбрасывают и полагают																											y dy
																											y dy
f(x		0 + x) – f(x0 )			f (x )			x f(x0		+		x)				f(x 0 ) +			f	(x ) x.
						0														0
		Пример. Вычислить приближенно									5	33		.
		Пример. Вычислить приближенно												.

Решение. Рассмотрим функцию y =									5	х . Положим							x0		= 32		и x = 1			5	33 = f (x0	+ x)
Решение. Рассмотрим функцию y =										х . Положим							x0		= 32		и x = 1				33 = f (x0	+ x)
							1						1					1	1			1
	0	0		= =		32 +	1	1= 2 +					1			= 2 +		1	1			1	.
	0	0		= =	5	32 +		1= 2 +								= 2 +				4 = 2 +			.
	f (x	) + f (x	) x			5 5	х				5		32					5 2				80
						5 5	х	4			5	5	32		4			5 2				80
								0

Инвариантность формы дифференциала относительно выбора переменной

Пусть задана сложная функция y =

существует производная	x =	(t),
	t

f	( (t) ), x = (t), y = f (x) . Пусть в некоторой точке t
а	в соответствующей точке	x = (t)	существует

производная

y	=
x

(x)

, тогда в точке

t существует производная сложной функции

yt =

. По формуле (2), которая пока справедлива только для независимой переменной,

dy = y dt = (y x )dt = y			(x dt) = y dx dy = y dx			.
t	x t	x	t	x	x


Таким образом, формула для записи дифференциала		dy = yx dx справедлива не только для
независимой переменной х,	но и в том случае, когда х является зависимой переменной
(зависит от t). Только при	этом dx уже не произвольное приращение независимой
переменной: dx = x , а дифференциал функции		x = (t) . Это свойство называется

инвариантностью формы дифференциала относительно выбора переменной.

Производные и дифференциалы высших порядков
Определение 2. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0	и в

каждой точке этой окрестности имеет конечную производную

y = f (x) . Второй

производной, или производной второго порядка функции y = f(x) в точке x 0 называется производная от ее первой производной в этой точке, если такая производная существует:

f (x ) = [ f

(x)]

, или, опуская аргумент,

= ( y ) .

Аналогично определяется

производная

функции

f(x)

любого порядка,

т.е.

по

определению

= (y

(n)

(n−1)

) ,..., y

) .

Обозначения:

f (x ) = y =

y =

; y

(4)

= y

,..., y

( n)

Под производной нулевого порядка функции понимается сама эта функция.

Замечание. Выше было показано,

что если существует производная функции

f (x )

то

функция y = f(x) определена в окрестности точки х 0

и непрерывна в точке х 0

. Пусть

существует

(n)

(x )

(n−1)

(x)

определена

(т.е.

существует) в окрестности точки

х 0

(значит, и в самой точке

)

непрерывна в

точке

х0

(n−

(x)

определена (т.е.

существует) в окрестности точки х

(значит, и в самой точке х 0

) и непрерывна в точке х

0 и

т.д.

сама функция y = f(x) и все ее производные до порядка n – 1 включительно

существуют в окрестности точки х 0

и непрерывны в точке х0 .

Общие правила нахождения производных высших порядков

Если в некоторой точке существуют n-ые производные функций u и v, точке верны следующие формулы 1) и 2):

1) (cu)(n) = cu(n) ;

2)	(u v)	(n)	= u	(n)	v	(n)	;
	(u v)		= u		v

3) формула Лейбница для нахождения производных произведения:	(uv

очевидно, что в этой

)	(n)	:

(uv) = u v + uv ; (uv) = (u v +uv ) = u v +u v +u v +uv = u v + 2u v + v ; (uv) = ((uv) ) = u v +u v + 2u v + 2u v +u v +uv = u v + 3u v + 3u v +uv .

В общем случае из существования u(n) и v(n) следует:

(uv)

(n)

= u

(n)

v + nu

(n−1)

v +

n(n −1)

(n−2)

v +

n(n −1)(n − 2)

(n−3)

v +... + uv

(n)

n(n −1)(n

− 2)...(n − k

+1)

= u

(n)

v +

(n−k )

(k )

k =1

k !

Пример. Найти производную (xex )(100) .

Решение. Возьмем

u = e

, v = x

. Тогда

(3)

(xex )(100) = (ex )(100) x +100(ex )(99) x + 100 99 (ex )(98) x +... = ex x +100ex + 0 = ex (x +100). 2!

Определение 3. Функция y = f(x) называется дифференцируемой на некотором множестве, если она дифференцируема (т.е. имеет конечную производную) в каждой точке этого множества.

Пусть y = f(x) дифференцируемая на некотором множестве функция (х – независимая

переменная). Тогда	dy = f
		(x)dx .

Здесь

f (x)

зависит от х, а dx – произвольное приращение х – от х не зависит, т.е. правая

часть формулы зависит от х и от dx. Если dx зафиксировать, то правую часть этой формулы можно рассматривать как функцию только от х, значит можно говорить о дифференциале этой функции.

Определение 4. Вторым дифференциалом, или дифференциалом 2 – го порядка функции y = f(х) в некоторой точке называется дифференциал от ее первого дифференциала (если

такой существует). Обозначение: Рассматривая dx в формуле dy =

d	2	y = d

f (x)dx

2	f (x)
	f (x)
	.

как постоянную, имеем:

d	2	y = d(dy) = d( f (x)dx) = d( f (x))dx = ( f (x)) dxdx =

(x)(dx)2

Эта формула справедлива при существовании						f
Эта формула справедлива при существовании						f	(x) . В правой части обычно скобки при dx
опускают:	d	2	y = f (x)dx	2	.
	d		y = f (x)dx

Аналогично дается определение дифференциала любого порядка функции и выводится

формула для его вычисления:

) = d( f (x))dx

f (x)dxdx

= f (x)dx

y = d(d

y) = d( f (x)dx

(при существовании f

(n)

= f

(n)

(x)

(x) ) и, в общем случае, при существовании

y = f

(n)

(x)dx

, или

= y

(n)

(4)

Замечание. Дифференциалы порядка выше 1 – го не обладают свойством инвариантности формы относительно выбора переменной.

Функции, заданные параметрически, и их производные

Определение 5. Пусть при	t [t	, t	2	]
Определение 5. Пусть при	1		2
	x = (t), y = (t)				(5)

Каждому значению t [t1 , t2 ] по формулам (5) соответствуют значения x и y, или точка на

плоскости 0ху с такими координатами. При изменении t эта точка на плоскости описывает некоторую кривую. Уравнения (5) называются параметрическими уравнениями этой кривой, а число t называется параметром.

Пусть функция x = (t),

t [t	, t	]
1	2
		y

имеет обратную

= ψ(t) = ψ(	−1	(x

t = ))

−1	(x),

x [x	,
1

x	2	]
	2

. Тогда

(6)

Т.е. уравнения (5) в этом случае определяют y как функцию от x. Тогда говорят, что функция y от x задана параметрически.

Переход от системы (5) к непосредственной зависимости y от x (если такой возможен) может осуществляться путем исключения параметра t.

Примеры функций и кривых, заданных параметрически.

1)	x = r cos t
1)		,	t [0, 2π]
		,	t [0, 2π]
	y = r sin t

x2 + y2 = r 2 .

Здесь каждому значению

t [0, 2π]

соответствует точка окружности. При t	0,	π	получаем часть окружности в 1 - ой


		2

четверти, при t = 0	точку (r ,0), а при t =		точку (0 ,r) и т.д.
		2

Для некоторых задач параметрические уравнения окружности удобнее обычных, так как из последних y выражается через x иррациональным образом.

2) Эллипс

x	2	y	2
	+		=

a	2	b	2

x a a

		y		2
+		y
+				2
		b		2
		b
cos			2
cos
a	2
a

= 1

параметрически задается следующим образом:

sin

= cos

t + sin

t = 1.

 

x = a cos t , y = b sin t

[0, 2π]

, т.к.

3)	x = a(t	− sin t)
		t R,

	y = a(1 − cos t)

. Выразить y через x из этих уравнений в явном виде нельзя (можно правда выразить x

через y, но очень громоздким образом). Построим график, учитывая, что	y 0 и y есть четная функция
возрастающая (т.к. t растет быстрее, чем sint), нечетная функция t. При t	= 0 получим точку (0,0), при t
(aπ, 2a) , при t = 2π точку (2aπ, 0) и т.д.

а x есть

точку

2а		2a
0	a	2a	x
(t = 0)	(t = π)	(t = 2π)

Рисунок 2

Эта кривая называется циклоидой. При t [0, 2π] получаем, как говорят, одну арку циклоиды. Можно показать, что

циклоида описывается точкой, лежащей на окружности, если эта окружность катится вдоль некоторой прямой (например, точкой двигающегося колеса). На рис. 3 показано, как перемещается нижняя точка колеса при его движении вдоль прямой.

Рисунок 3

Производные функции, заданной параметрически

Пусть функция задана параметрически, т.е. выполняются условия определения 5. Пусть функция y = ψ(t) имеет производную y = ψ (t) , а для функции x = (t) выполняются

условия теоремы о производной обратной функции. Тогда существует						t	=
						x
	y	= y t	=	y
теореме о производной сложной функции	y	= y t	=	t	. Таким образом,
				t
	x	t x		x
				x
				t

соответствующей некоторому значению параметра t,

yx = yt . xt

	1	. Отсюда по
	x	. Отсюда по
	x
	t

в точке (x, y),

(7)

2 sin

cos

a sin t

sin t

Рассмотрим приведенный выше пример циклоиды:

= ctg

a(1 − cos t)

1 − cos t

2 t

2 sin

Значение производной в примерах подобного типа зависит от t, но и это является полезной информацией о функции и ее

(

)

графике. В нашем примере при

t =

x = a

−1

, y = a, y'

= ctg

= 1

угол касательной с осью 0х равен

; при

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 254 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.06.20245.04 Mб2L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_1.pdf
#
01.06.20246.08 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_2.pdf
#
01.06.20242.46 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_3.pdf
#
01.06.20241.39 Mб10вышмат полезно.pdf
#
01.06.2024482.88 Кб3кр по алегебре.pdf
#
01.06.20245.41 Mб72лекции вышмат.pdf
#
01.06.20241.34 Mб2линейная алгебра и агалитич геом.pdf