Добавил:

VadoZ хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

лекции вышмат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2024

Размер:

5.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ЛЕКЦИЯ 4

Некоторые теоремы о пределах последовательностей и функций

Определение 1. Последовательность {x n } называется неубывающей (невозрастающей),

если

для всех n N выполняется следующее условие:

x n+1

x n

(x n+1

x n );

последовательность называется монотонной, если она является либо неубывающей, либо невозрастающей.

Теорема 1. Любая ограниченная сверху неубывающая последовательность имеет конечный предел. Любая ограниченная снизу невозрастающая последовательность имеет конечный предел. Или, объединяя эти утверждения: любая ограниченная монотонная последовательность имеет конечный предел.

▲ Пусть {x n } – неубывающая и ограниченная сверху последовательность. Докажем, что

существует конечный предел этой последовательности				lim x n .	По теореме 1 лекции 1
				n→
существует верхняя грань		ограниченного	сверху	множества		значений	этой
последовательности	sup {x n	} = a. Покажем, что lim x n = a.			Зададим произвольную
			n→
окрестность точки а	U(a, )	и докажем, что,	начиная с некоторого номера, все члены

последовательности {x n } попадут в эту окрестность. По определению верхней грани

x n а и существует n0 такое, что	x n	> a – . Тогда при n > n0	x n > x n	> a – , а это и
		0		0
означает, что x n U(a, ). ■

Определение 2. Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел.

Определение 3.		Подпоследовательностью последовательности {x n } называется любое
бесконечное подмножество членов этой последовательности {x n					}, k = 1, 2, 3,…
					k
Теорема 2 (Больцано–Вейерштрасса).
У	любой	ограниченной	последовательности	существует		сходящаяся
подпоследовательность.

▲ Пусть последовательность {x n } ограниченна. Тогда существует отрезок [ , ] такой, что

для любого номера n N все x n принадлежат этому отрезку (рис. 1). Разделим этот отрезок пополам. Пусть [ 1 , 1 ] – та половина, которая содержит бесконечное число членов исходной последовательности (если обе половины такие, то берем любую из них). Выберем

произвольный х n1

[ 1

, 1

]. Разделим [ 1

, 1

]

пополам. Пусть [ 2

, 2

] – та половина,

которая содержит бесконечное число членов исходной последовательности (если обе

половины такие, то берем любую из них). Выберем произвольный x n			2	[	2	,	2	] с номером
			2		2		2
n 2 > n1 . Разделим [ 2	, 2	] пополам и т.д.

Рисунок 1

Полученная система вложенных отрезков с длинами, стремящимися к нулю,								по теореме
2 лекции 1 и замечанию к ней						имеет единственную общую точку а [ n , n] для всех
n. Теперь докажем, что	lim x n				k	= a. Возьмем произвольную -окрестность точки а. Тогда
	k →				k
	k →
существует отрезок [	k	,	k	],		целиком лежащий в нашей окрестности.		Тогда все
		0		0
следующие отрезки тоже будут лежать в этой окрестности. Значит, все точки x n							k	, у которых
							k

k > k

, лежат в этой окрестности. Или:

k > k

[

	k

,

] U(a, ) k >

U(a, ).

■

Теорема 3 («о двух милиционерах»).

1. Пусть {x

}, {t

}, {y

} – три последовательности и n N

. Пусть

существуют конечные пределы

lim x n = a и lim y n = a существует и предел lim t n

= a.

n→

2. Пусть функции y = f (x), y =

(x), y =g (x) определены в некоторой U

(a) и

x U

(a)

f(x)

(x) g(x). Пусть существуют конечные пределы

lim f(x) = b и

lim g(x) = b

x→a

существует и предел lim

(x) = b.

x→a

▲ 1. Возьмем произвольное >

0 N1 : n > N1

x n U(a, ); N 2 : n > N 2

y n U(a, )

n > N = max (N1 ,N 2

)

x n U(a, ), y n U(a, ) n > N t n

U(a, ).

2. Возьмем произвольное >0

1 >0:

x U

(a, 1 )

f (x) U(b, );

>0:

x U

(a, 2 )

g (x) U(b, ) x U

(a, ), где = min ( 1

, 2 ) f (x) U(b, ), g (x) U(b, )

x U

(a, )

(x) U(b, ). ■

Замечание. В случае функций теорема верна и при

a = + .

Теорема 4 (о пределе сложной функции). Пусть дана сложная функция y = (x),							z = f (y),
				0
т.е. z = f ( (x)). Пусть lim		(х) = с и lim f (y) = b и x U (a) (y c) lim f ( (x)) = b (или
	x→a	y →c				x→a
lim f( (x)) = lim f (y) – формула замены переменной).
x→a	y →c
			0
▲ Докажем, что > 0 = ( ) > 0: x U (a, )				z U(b, ). Возьмем произвольное >0
	0			0	0
>0:	y U (c, ) z U(b, ). Далее		>0: x U (a, )		y U (c, ) (при достаточно
		0	0
малом y c по условию) x U (a, ) y U (c, ) z U(b, ). ■
		Некоторые замечательные пределы
Теорема 5 (первый замечательный предел).				lim	sin x	= 1	(1)
Теорема 5 (первый замечательный предел).				lim		= 1	(1)
				x →0	x
				x →0

		Рисунок 2
▲ Пусть сначала х (0,		). Как видно из рис. 2, площадь треугольника ОМА меньше
▲ Пусть сначала х (0,	2	). Как видно из рис. 2, площадь треугольника ОМА меньше
	2
площади сектора ОМА, а		последняя площадь меньше площади треугольника ОСA.

Sкруга

Площадь сектора с углом х находится по формуле S =

x =

x , значит,

|ОА||МВ|

|ОА| 2

x <

|ОА||СА|.

Здесь |ОА| =

|МВ|

sin x,

|СА|

= tg

sin x <

x <

tg x,

или sin x < x < tg x.

Разделим все части последнего неравенства на sin x > 0 (x

находится в первой четверти):

1 <

cos x <

sin x

< 1.

sin x

cos x

Все функции в последней формуле четные, значит, она справедлива и для x (–

,0).

Теперь перейдем к пределу при х →0, применяя теорему 3: lim 1=1, значит, lim

sin x

будет

x →0

равен 1, если мы сумеем доказать, что	lim cos x = 1 или, согласно определению предела
	x →0

функции, >0 = ( ): x, |x| <

|cos x – 1| < 2sin

< .

В этом определении x достаточно

мало. Далее

имеем

в виду,

что для x (–

)

sin 2

<1. Так как при y < 1 y 2 < |y|, то 2sin 2

< 2|sin

| = 2|sin

| x |

|. Так как в первой

четверти

sin x < x, то 2|sin

\| x	\|
2

| < 2

\| x	\|
2

= |x|. Теперь вместо выполнения неравенства

2sin

нам достаточно потребовать, чтобы | x | < (тогда 2sin

< | x | < ), значит, в

качестве годится любое число:

(тогда

| x | < | x | < ). ■

Примеры. Найти пределы функций.

1) lim

tg x

= lim

sin x

= lim

sin x

lim

= 1 1 = 1

(2)

x →0

x cos x

x →0

x →0 cos x

2) lim

1 − cos x

= lim

(1− cos x)(1+ cos x)

= lim

1 − cos2 x

= lim

sin x 2

(3)

(1+ cos x)

(1 + cos x)

1 + cos x

x →0

x→0

x →0

Результаты (2) – (3) можно использовать для вычисления других пределов.

Теорема 6 (второй замечательный предел для последовательностей).

▲ Пусть

}= 1

+1 n

		1	n		(4)
lim 1	+			= e

n→		n

. Согласно известной формуле бинома Ньютона

(a + b)

= a

+ na

n−1

n(n −1)

n−2

n(n −1)(

b +

поделив каждую скобку на n, представим

		n	n(n −1)...(n − k +1)	1
a n =	1+		n(n −1)...(n − k +1)

			k !	n
			k !	n
				k
		k =1

n − 2)							n
n − 2)	a	n−3	b	3	+.. = a	n	+
	a		b		+.. = a		+
							k =1

а n в виде суммы n+1

		n	1		1
		n
=	1+			1−		1−
		k =1	k !		n

n(n −1)(n − 2)...(n − k +1)					a	n−k	b	k	,
			k !		a		b		,
			k !
слагаемых:
2	...	1−	k −1
	...	1−	n	.
n			n

При переходе от a n к			a n+1 , т.е. при замене	n на
значит, разность	1−	i	становится больше,	т.е. в
		n

n+1, знаменатели дробей возрастают,

нашей сумме увеличивается каждое

слагаемое, и, кроме того, добавляется еще одно (n+2)ое неотрицательное слагаемое, значит,

для n N a n+1 > a n {a n } возрастает (отсюда, кстати, a n > a1 = 2).

Проверим, что эта последовательность ограничена сверху: заменим в последней сумме каждую скобку на большую величину 1, тогда

<	1

	n	1
	+
		k !
	k =1

= 2 +

n		1

	2	3 4 ... k
k =2

< 2 +

n		1

	2	2 2 ... 2
k =2

= 2 +

n		1
		1
		k −1
k =2	2
k =2

Это есть сумма геометрической прогрессии с n –1 членами, в которой q =

, b1

a n < 2 + b1 (1 − q

n−1

) = 2 +

1/ 2(1 − (1/ 2)

n −1

)

= 2 + (1 – (1/2) n−1 ) < 3 {a n } ограничена сверху.

1 − q

1 −1/ 2

Возрастающая,

ограниченная сверху

последовательность {a n } по теореме

имеет

конечный предел. Обозначая этот предел буквой е, получим нужное нам равенство.

Так как 2 а n 3, то 2 е 3 (см. задачу выше). Можно показать, что е – иррациональное число и е 2,71828. ■

Теорема 7 (второй замечательный предел для функций.

lim

= e

(5)

x→

▲ Пусть сначала х→+ . Для

x >1 возьмем такое

n = n(x) N, что

n x < n+1 (это целая

n+1

часть числа х), тогда 1+

n +1

<1+

. Теперь пусть

n +1

x →+ n→ . Согласно теоремам 6 и 7 предыдущей лекции,

n+1

1 n

= e 1 = e ;

lim 1+

= lim 1

lim

n→

1 n

1 n+1

lim 1+

= lim 1

: lim 1

= e .

n +

n→

n +1

n→

Тогда, по замечанию к теореме 3, существует lim 1+

= e .

x→+

Пусть теперь х→ − . В соответствии с теоремой 4 предыдущей лекции, заменим y = −x:

− y

−1+1

y−1

lim

= lim

1−

= lim

lim

y −1

x→−

y→+

что по уже доказанному, равно

e 1 = e lim

= e

. ■

x→

Примеры. Найти следующие пределы:

1) (х) – б.м., х→а lim

(1+ (х))

( х)

= e, (х) – б.м., х→а

x→a

Решение: Сделав замену (х) =

имеем:

lim

(1+ (х))

( х)

= lim

(1+

)

= е.

x→a

y →

В частности,

lim (1+х)

= е

x →0

lim

ln(1+ x)

= 1

x→0

1		,
y −1		,
y −1

(6)

(7)

(8)

Решение: используя непрерывность функции y = ln x (ниже будет показано, что именно для непрерывных функций символы предела и функции можно менять местами), имеем:

lim x →0

ln(1 + x) x

lim x →0

1 x

ln(1+x) =

lim x →0

		1
ln(1+x)		x	= ln lim
ln(1+x)			= ln lim
			x →0
lim	ex −1 =1
x →0	x
x →0

(1+x)

1 x

( 7 ) =

ln e = 1.

(9)

Решение: сделав замену							y = e	x

	x			e	x	−1
y = e		, имеем:	lim				= lim
						x
			x →0				y →0

−1, y

ln(1 +

x = ln (1+y), и,

	= lim	1:	ln(1+
y)		1:	y

	y →0
	y →0

используя непрерывность функции

y)	= 1.

Результаты (6) – (9) можно использовать для вычисления других пределов.

Сравнение бесконечно малых

Определение 4. Пусть = (х) и = (х) –

б.м. одного порядка при х → а , если

две б.м. функции, х → а

lim	(x)	= b, b 0,	b
x→a	(x)

Эти б.м. называются

. Если b=1, то б.м.

называются эквивалентными при х→а (обозначение: , х→а). Если b=0, то называется б.м. более высокого порядка, чем при х→а (обозначение: =о( ), х→а).

Для нахождения ряда пределов бесконечно малые удобно заменять на их эквивалентные.

Теорема 4 (о пределе отношения бесконечно малых).

Пусть f (x) (x), x→a,	g (x) (x), x→a и	lim	(x)	= b	lim	f (x)	= b, т.е. при
			(x)
		x→a			x→a	g(x)

вычислении пределов отношения бесконечно малые можно заменять на им эквивалентные.

▲ lim

f (x)

= lim

f (x)

(x) (x)

= lim

f (x)

lim

(x)

lim

(x)

= 1 b 1 = b. ■

g(x)

(x)

(x) g(x)

(x)

g(x)

x→a

ln(1 + 3x2 )

Пример.

lim

.Согласно предыдущим

2 x2

x →0

−1

ln(1 +

и e 2 x2 – 1 2x 2

)

lim

= lim

e2 x

x →0

−1

x →0 2 x2

примерам

2) и 3), ln (1+3x

) 3x

ЛЕКЦИЯ 5

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Непрерывность функции в точке

Определение 1. Пусть функция y = f (x)

определена в некоторой окрестности точки x0 .

Эта функция называется непрерывной в точке равен значению функции в этой точке, или если

lim f (x) = f (x 0 ) x→x0

х0

, если предел функции в точке х0

(1)

По определению предела функции, это равенство равносильно

>0 = ( ): x U (x 0 , ) f (x) U (f

тому, что

(x 0 ), )

>0 = ( ): x, |x−x 0 | <

|f (x)−f (x0 )| <

По сравнению с определением предела функции здесь опущено условие

х = х 0 последнее неравенство заведомо верно.

Определение 1 равносильно условию	lim	[f (x) −f (x 0 )] = 0. Обозначим х−х
	x→x
	0

х х0	, так как при

= х–приращение

аргумента, f(x)–f(x0 ) = y – приращение функции, соответствующее данному приращению аргумента, тогда определение непрерывности 1 можно записать в другом виде.

Определение 2 (равносильное определению 1). Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки х0 . Эта функция называется непрерывной в точке х 0 , если

lim y = 0, или, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечноx→0

малое приращение функции.

Приведем основные свойства функций, непрерывных в точке.

Теорема 1 (ограниченность).

при х→х 0 .

Пусть y = f (x) непрерывна в точке х

, тогда она ограничена

▲ Это есть частный случай теоремы 2 лекции 2 (функция, имеющая конечный предел в точке, ограничена в окрестности этой точки). ■

Теорема 2 (сохранение знака). Пусть y = f (x) непрерывна в точке х0 и f (x0 ) > 0 ( < 0 )

f (x) > 0 ( < 0 ) и в некоторой окрестности точки х 0 (см. рис.1).

Рисунок 1

																	\|	f (x			) \|
▲ Возьмем в определении непрерывности функции =																				0		: x U(x0	, )
▲ Возьмем в определении непрерывности функции =																			2			: x U(x0	, )
																			2
\|f (x)−f (x 0 )\| <		\| f (x0 ) \|	−	\|		f (x0 ) \|		< f (x)−f(x 0 ) <			\|	f (x0 ) \|				. Перенесем f (x0 ) в левую и правую
\|f (x)−f (x 0 )\| <			−			2		< f (x)−f(x 0 ) <								. Перенесем f (x0 ) в левую и правую
	2					2								2
						\| f (x		) \|							\| f (x				) \|
части неравенства: f (x0 ) −							0		< f (x) < f (x				0 ) +				0			. Отсюда имеем:
части неравенства: f (x0 ) −							2		< f (x) < f (x				0 ) +		2					. Отсюда имеем:
							2								2
										f (x		)			f (x		)
если	f (x0 ) > 0, то x U(x				0	, )	f (x) > f (x 0 ) −			0				=	0				> 0;
если	f (x0 ) > 0, то x U(x				0	, )	f (x) > f (x 0 ) −			2				=	2				> 0;
										2					2
										f (x			)		f (x		)
если	f (x0 ) < 0, то x U(x				0	, )	f (x) < f (x0 ) −			0				=	0				< 0. ■
если	f (x0 ) < 0, то x U(x				0	, )	f (x) < f (x0 ) −			2				=	2				< 0. ■
										2					2

Теорема 3 (арифметические операции над непрерывными функциями). Пусть функции

y = f (x) и y = g (x) непрерывны в точке	х 0 . Тогда в этой точке непрерывны функции
y = f (x) g (x), y = f (x)g (x) и (при g (x 0 ) 0)	f (x)	.
	g(x)

▲ Все эти утверждения доказываются одинаково. Докажем только последнее из них. Согласно теореме 7 лекции 3 и определению 1,

lim x→x0

f (x) g(x)

lim	f (x)
x→x
0
lim g(x)
x→x
0

f (x	)
0
g(x	)
0

функция

f (x) g(x)

непрерывна в точке x

. ■

Теорема 4 (непрерывность сложной функции). Пусть z = f ( (x)) – cложная функция.

Пусть функция y = (x) непрерывна в точке х 0 , а функция z = f (y) y 0 = (x 0 ) . Тогда сложная функция z = f ( (x)) непрерывна в точке х

непрерывна в точке

(проще говоря, если

сложная функция составлена из двух непрерывных, то она сама непрерывна).

▲

lim x→x0

(x) = (x

) =

;

lim y → y0

f (y) = f (y

) . По теореме 4 лекции 4 (здесь

(x) =

)

допустимо)

lim x→x0

f ( (x)) =

lim y → y0

f (y) = f (y

) = f (

)), что и означает непрерывность сложной

функции z = f ( (x)) в точке х0

. ■

Замечание. Полученное при доказательстве равенство

lim x→x0

f (

(x))=f (

lim x→x0

(x)) (оба этих

предела равны f ( (x0 )) было использовано в примерах предыдущей лекции.

Теорема 5 (непрерывность элементарных функций). Любая элементарная функция непрерывна во всех точках, где она определена.

▲ Так как все элементарные функции получаются из основных элементарных функций путем арифметических операций и суперпозиций, а эти действия, по теоремам 3 и 4, сохраняют непрерывность, то нужно проверить непрерывность основных элементарных функций в точках их определения. Для некоторых из них по определению 2 имеем:

y = c:

lim

0 = 0;

x→0

y = x:

lim

x = 0;

x→0

y = sin x: y = sin x − sin x = 2 sin

x − x0

cos

x + x0

2 sin x

= 2 sin

;

x ( −

) последнее выражение не превосходит

| x |

=| x |

0 | y |

| x |. По

теореме «о двух милиционерах»: lim 0 = 0,

lim | x | =

0 lim | y | = 0

lim

y = 0;

x→0

x + x

x − x

y = cos x: | y |=| cos x – cos x0 | = 2

sin

и далее аналогично примеру 3). ■

Определение 3.

Пусть функция y = f (x) определена в точке х0

и в некотором интервале

(х 0

– , х0 ) (или (х0 , х 0 + )). Эта функция называется непрерывной слева (справа) в точке х 0

если lim f (x) = f (x0 ) (

lim

f (x) = f (x0 )).

x → x

−o

x → x

Классификация точек разрыва

С учетом введенного выше понятия односторонних пределов, непрерывность функции y = f (x) в точке х0 равносильна выполнению условия

f (x

− 0) = f (x

) = f (x

+ 0)

(2)

Определение 4. Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки х0 ,

кроме, может быть, самой этой точки. Точка х 0 называется точкой разрыва функции

y = f (x), если эта функция не является непрерывной в точке х0 . В точках разрыва функции y = f (x) условие (2) не выполняется.

Определение 5. Точка разрыва х 0 функции y = f (x) называется точкой разрыва 1-ого рода,

если в этой точке существуют конечные односторонние пределы f (x0 − 0) и f (x0 + 0).

Определение 6. Точка разрыва 1-ого рода х 0	функции y = f (x) называется устранимой
точкой разрыва, если f (x0 − 0) = f (x0 + 0).
В такой точке либо f (x0 ) не определена, либо	f (x0 − 0) = f (x0 + 0) f (x0 ). Если положить
f (x0 ) = f (x0 − 0) = f (x0 + 0), то f (x) станет непрерывной в точке х0 , т.е. разрыв можно
устранить, изменив значение функции в одной точке.

Определение 7. Точка разрыва х0 функции y = f (x) называется точкой разрыва 2-ого рода, если она не является точкой разрыва первого рода.

В такой точке хотя бы один из односторонних пределов f (x 0	− 0) и f (x0	+ 0) бесконечен
или не существует.
Примеры.

а)

б)

в)	г)
	Рисунок 2

а) х0 − точка разрыва первого рода, разрыв не устранимый; б) х0	− устранимая точка
разрыва; в), г) х0 − точка разрыва второго рода.

“Исследовать функцию на непрерывность” означает, что нужно указать все точки разрыва функции, дать их классификацию и нарисовать схему графика функции в окрестностях точек разрыва.

	Пример. Исследовать функцию на непрерывность: y =	x
	Пример. Исследовать функцию на непрерывность: y =	sin x
		sin x

Точки разрыва: sin x = 0, x = n, n Z (в остальных точках функция непрерывна по теоремам

3 и 5); f (−0) = f (+0) = lim	x	= 1	x = 0 – устранимая точка разрыва;	f ( π −0) = + ,
	sin x
x →0

f ( π +0)	= − x = – точка разрыва второго рода; такими же будут все точки вида
x = n,	n Z, n 0.

Схема графика функции в окрестностях точек разрыва имеет вид (рис. 3):

Рисунок 3

Непрерывность функции на множестве

Определение 8. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Далее речь будет идти о функциях, непрерывных на отрезке. При этом под непрерывностью на левом краю отрезка будет пониматься непрерывность справа, а под непрерывностью на правом краю отрезка будет пониматься непрерывность слева.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Приведем (для простоты) без доказательства три основных свойства:

Теорема 6. Пусть функция y = f (x) непрерывна на [a,b] . Тогда f (x) ограничена на этом отрезке, т.е. M > 0: | f (x)| M.

По этой теореме множество значений непрерывной на отрезке [a,b] функции f (x) ограничено, тогда по теореме 1 лекции 1 это множество имеет верхнюю и нижнюю грани

M = sup f (x) и m =	inf	f (x).
	x [ a,b]
x a,b

Теорема 7. Пусть функция y = f (x) непрерывна на [a,b] она достигает на этом отрезке своих верхней и нижней граней, т.е. х 0 [a,b] и х0 [a,b]: f (x 0 ) = M и f ( х0 ) = m.

Теорема 8. y = f (x) непрерывна на [a,b] она принимает на этом отрезке любое промежуточное значение между m и M, т.е. если c (m,M), то хотя бы одна точка

х 0 [a,b]: f (x0 ) = c.

Следствие. Если функция y = f (x) непрерывна на [a,b] и f (a) f(b) < 0 (т.е. на концах отрезка [a,b] функция f (x) принимает значения разных знаков), то существует хотя бы

одна точка x 0 (a,b): f (x0 ) = 0.

▲ По условию m < 0, а M > 0 в теореме 8 в качестве точки с можно взять с = 0. ■

Данное следствие может применяться для приближенного решения уравнений, которые точно решить невозможно.

Пример. Найти корни уравнения

f (x) = x

+ x − 1 = 0.

f (0) = −1 < 0, f (1) = 1 > 0 уравнение имеет корень [0,1];

f (1/2) = 1/8 + 1/2 −1 = −3/8 < 0 уравнение имеет корень [1/2, 1];

f (3/4) = 27/64 + 3/4 −1 = 11/64 > 0 уравнение имеет корень [1/2,3/4] и т.д.

Таким способом находится корень уравнения с любой нужной точностью.

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.06.20245.04 Mб2L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_1.pdf
#
01.06.20246.08 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_2.pdf
#
01.06.20242.46 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_3.pdf
#
01.06.20241.39 Mб10вышмат полезно.pdf
#
01.06.2024482.88 Кб3кр по алегебре.pdf
#
01.06.20245.41 Mб72лекции вышмат.pdf
#
01.06.20241.34 Mб2линейная алгебра и агалитич геом.pdf