лекции вышмат

Добавил:

VadoZ хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

; при этом число

называется показателем роста

является оригиналом. Изображением этой функции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2024

Размер:

5.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2524 25 > Следующая >>>

	sin	z	/( z −1)	2
φ( z)	sin		/( z −1)
φ( z)	=	2
		2
			z
ψ( z)			z
		cos
			2

φ(−π) = −	1
			2
	(π +	1)

ψ(−π)

, а

ψ '(−π) = −	1	sin	z	\|	=	1
	2		2			2
					z = − π

, значит, по формуле (8)


	φ(−π)		2										1				2
Res f (−π) =	ψ '(−π)	= −	(π + 1)	2	. Таким образом, исходный интеграл равен							2πi			1	−	(π + 1)	2	.
												2 cos		2	1
														2

															2
									z	3
Пример 2. Вычислить интеграл									z	dz	.
									4	dz

						\| z \| =	2	z		+ 1

Решение. Вычисления по формуле (9) достаточно громоздки, так как внутри контура интегрирования содержатся 4 особых

точки подынтегральной функции:

		4			2	2
z	=	4	−1	=		i
z	=		−1	=		i
					2	2

(см. формулу извлечения корня из комплексного числа).

z =

arg z = − arg ζ

Поэтому сделаем замену

. Тогда направление обхода контура меняется на противоположное, т. к.

, а

−

окружность

z = 2 переходит в окружность

. В итоге, имеем:

dz =

где окружность

z = 2

+ 1

проходится по часовой стрелке. Меняя направление обхода на противоположное, получаем

dζ

. Теперь внутри

ζ (1 + ζ

)

контура интегрирования находится лишь простой полюс

ζ 0

, и по формуле (8)

	1 +	ζ	4		1 +	ζ	4
2πi Re s	ζ			= 2πi	1
=0	ζ				1

\|	= 2πi
	=0

230

ЛЕКЦИЯ 8

Вычисление некоторых интегралов от функций действительного переменного

		P	(x)
		P	(x)						m,		n,
1. Рассмотрим		m		dx , где	P	(x) −	многочлен степени		m,	Qn (x) − многочлен степени	n,
1. Рассмотрим		m		dx , где	m		многочлен степени			Qn (x) − многочлен степени
	−	Q	(x)
	−	n
не имеющий действительных корней, и n −m 2								. Такой несобственный интеграл сходится,
так как подынтегральная функция при действительных									x	непрерывна и при больших	x
									x		x

ведет себя, как

x	m			1
		=
x	n		x	n−m

, где

n −m

Теорема 1.

где	σ −	сумма вычетов функции
	σ −

			P	(
			P	(
			m
			m
	−	Q		(
	−		n
	P		(z)
f (z) =	m
f (z) =	Q		(z)
	Q		(z)
		n

x)	dx = 2 iσ	(1)

x)	,

в ее особых точках, находящихся в верхней

полуплоскости (т.е. при Im z 0 ).

Особые точки

f (z) −

это корни (нули)

ее знаменателя

Q (z)

. Значит, этих точек

конечное число, и

они являются полюсами

(не лежащими

на

действительной оси).

Рассмотрим изображенный на рис.1 контур

(L),

состоящий

из отрезка

− R, R

полуокружности (CR ) : | z |= R, Im z 0, где

столь велико, что все особые точки f (z)

из

верхней полуплоскости находятся внутри

(L)

Рисунок 1

Согласно основной теореме о вычетах,		f (z)dz = 2 iσ	,
Согласно основной теореме о вычетах,			,
	( L)

или, учитывая, что на

действительной оси	z = x	,
	z = x

R	P	(x)
	P	(x)	dx
	m		dx
	m
−R	Q	(x)
−R	n

Мы будем в этой формуле переходить к

+			P	(z)	dz =
+			m		dz =
			m
	(C	)	Q	(z)
	(C	)	n
	R

пределу при

2 iσ . R →

. Докажем, что

(2)

								P		(z)
				lim					m		dz =
				lim			Q			(z)	dz =
				R→	(C	)	Q			(z)
					(C	)			n
					R
А именно, пусть	P (z) = a zm + a zm−1			+... + a				m	,	Q (z)
	m	0	1					m			n

0	.

= b0 zn + b1 zn−1 +... + bn , тогда

(3)

+... +

P (z)

| a || z |m

a z

a zm

. Последняя дробь при | z |= R → стремится к 1, т.е.

Qn (z)

| b0

|| z |n

+... +

b z

b zn

231

имеет конечный

	a		a	m
1+	1	+... +		m
1+	a z	+... +	a z		m
					m

	0		0
	0		0
	b		b
1+	1	+... +	n
1+	b z	+... +	b z		n
					n

	0		0

предел, значит,			при	больших			R	эта
K , где	K −некоторое число, следовательно, при
		P	(z)	K \| a		\|
		P	(z)	K \| a		\|
		m			0
		Q	(z)	\| b	\| R	n−m .
		Q	(z)	\| b	\| R
		n		0

дробь ограничена:

| z |= R

(4)

Следуя полученной ранее

		P	(z)		K \| a			\|
		m		dz		0			πR =
		Q	(z)	dz	\| b	\| R	n−m		πR =
(C	)	Q	(z)		\| b	\| R
(C	)	n			0
R

оценке

πK \| a			\|
		0
b	\| R	n−m−1
b	\| R
0

при длине кривой

(CR )

, но так как по условию

l = πR

теоремы

теперь имеем:

n − m −1 1,	то

последняя величина при

R →

стремится к нулю, что

Переходя

в формуле (2)

пределу

при

R →

(x)

dx = 2 iσ,

т.е. формулу (1). ■

(x)

−

Пример. Вычислить

−

+ 1)

( z − i)

Решение.

dx = 2πi

Re s

2 = 2πi lim

−

( x

+ 1)

( z

( z − i)

z →i

( z + i)

2z( z + i)

− z

2( z − i)

2z( z + i) − 2z

2zi

= 2πi lim

z →i

( z + i)

z →i

( z + i)

z →i

( z + i)

функции

( z

2. Рассмотрим

T (x) cos λxdx

T (x) sin λxdx

, где

T (x

−

и доказывает формулу (3).

учитывая формулу (3), получаем

			z	2					/
				2
=	2πi lim					2			=
						2
	z →i	( z + i)
	z →i
	−2		π
=	2πi	=		(	z		0	= i		−	полюс 2ого порядка
	−8i		2	(			0				полюс 2ого порядка
	−8i		2

) − правильная рациональная дробь,

знаменатель которой не имеет действительных корней, и λ 0

Сначала приведем (без доказательства) нижеследующую полуокружность, изображенная на рис. 1: | z |= R , Im z 0 .

лемму, в которой

(C	) −
R

Лемма Жордана. Пусть g(z) − непрерывная в верхней

больших	\| z \|	функция такая, что	lim M (R) = 0	, где M (R) =

			R→

полуплоскости при достаточно

max | g(z) | . Тогда при λ 0

z (CR )

lim			g(z)e	iλz	dz

R→	(C		)
		R

(5)

Теперь сформулируем теорему:

Теорема 2.


T (x) cos λxdx = Re(2πiσ) , T (x) sin λxdx = Im(2πiσ) ,		(6)
−	−
где σ – сумма вычетов функции T (z)eiλz	в ее особых точках из верхней полуплоскости.

232

Рассмотрим

T (z)e	iλz	dz
T (z)e		dz
( L)

где

T (z) =

P	(z)
m
Q	(z)
n

−

правильная

рациональная дробь

(т.е.

n m ), знаменатель которой не

имеет действительных корней, λ 0

и (L) − тот же

контур, что в пункте 1 (рис. 1),

т.е. этот контур состоит из отрезка

− R, R и

полуокружности (CR ) : | z |= R , Im z 0

, где R столь велико, что все особые точки T (z)

(нули ее знаменателя) из верхней полуплоскости находятся внутри (L) .

Согласно основной теореме о вычетах,

T (z)e

iλz

dz = T (x)e

iλx

dx +

T (z)e

iλz

dz = 2πiσ ,

(7)

( L)

−R

)

где

σ −

сумма вычетов функции T (z)e

iλz

в ее особых точках из верхней полуплоскости.

следует,

Перейдем в формуле (7) к пределу при R → . При этом из оценки (4) при

n m

что

M (R) =

lim		T (z)e
R→	(C	)
	(C	)
	R

Так как				T
Так как
			−

(z)

max T (z)

max

→ 0

при

R → , значит,

согласно лемме Жордана,

z (CR ) Q

(z)

z (CR )

iλz

= 0

, и тогда из формулы (7) при R →

следует, что

T (x)e

iλx

dx = 2πiσ

(8)

−

(x)e

iλx

dx =

T (x) cos λxdx + i

T (x) sin λxdx,

то, приравнивая действительные и

−

мнимые части обеих сторон равенства (8), получаем формулы (6). ■

Замечание. Из доказательства теоремы 2 видно, что в левой части формулы (8), а, значит, и в левых частях формул (6) несобственные интегралы понимаются в смысле главного значения.

x sin x

Пример. Вычислить интеграл

−

+ 4

( ze

)

x sin x

dx = Im

2 i Re s

Im 2πi

z =2 i

2πi

|z = 2 i

= Im

πie

−2

Решение.

2 .

−

+ 4

z =2 i

+ 4

( z

4) '

z =2 i

Рассмотрим

теперь

2π R(sin x, cos x)dx ,

где

R(x, y) −рациональная

функция

двух

z = e

z =1

переменных.

Сделаем

этом

интеграле

замену

при

которой

z −

z +

− e

−ix

−1

+ e

−ix

sin x =

, cos x =

. Тогда

2iz

dz = ie dx = izdx

dx =

2π

−1

+1 1

R(sin x, cos x)dx

dz =

F (z)dz ,

(9)

= R

2iz

|z|=1

z2 −1 z2 +1

F (z) =

где

–

рациональная

функция

z .

Интеграл

правой

части

2iz

формулы (9) считается при помощи основной теоремы о вычетах.

233

2 π

Пример. Вычислить интеграл

+ 4 cos x

2 π

Решение.

I =

+ 1

5 + 4 cos x

| z | =1

iz 5 + 4

решения уравнения

+ 5z

+ 2 = 0

т.е.

= −2

интегрирования, и I

= −i2 i Re s

= 2

+ 5z + 2

z =−

−i				dz			.	Особые точки подынтегральной функции это
			2

	\| z \| =1	2z		+ 5z + 2
	z	= −		1					z
и	z	= −		. Из				этих точек лишь	z		находится внутри контура
	2			2						2
				2
	1					=	2
					1	=		.
4z +		5 z = −			1			3
4z +		5 z = −						3
					2

ОСНОВЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Оригинал и его изображение

Определение 1. Оригиналом называется любая комплекснозначная функция

действительного аргумента		t	, удовлетворяющая следующим условиям:

1)	f (t) определена на всей прямой и			f (t) = 0 при t 0 .

f (t)

2)	f

(t)

вместе со своими производными до некоторого (достаточно высокого) порядка

кусочно-непрерывна, т.е. эти функции могут иметь только разрывы 1-го рода в конечном числе в любом конечном интервале.

3)	f (t)	возрастает не быстрее показательной функции, т.е. существуют числа	M 0	и

s0 0 такие, что для всех t			\| f (t)
функции	f (t)	.

Определение 2. Пусть функция

(или ее

p = s +iσ

преобразованием Лапласа) называется функция комплексного переменного , определяемая соотношением

F ( p) =

+
	f
0

(t)e	− pt	dt

(10)

Формулу (10) мы также будем записывать в виде

(t)

F( p)

Теорема 3. Изображение	F( p)	определено при	Re p = s

несобственный интеграл в формуле (10) сходится (рис. 2).

, т.е. при этом условии

Рисунок 2

234

Аналогично оценкам интеграла в действительной области, имеем:

F ( p)

f (t)e

− pt

f (t)

− pt

−st

−iσ t

dt =

−st

dt =

(

)

( s

−s)t

dt =

lim e

−1

(0 −1)

− s

t →+

− s

s − s

что и дает сходимость (даже абсолютную) интеграла в правой части формулы (10). ■

Замечание. Из полученной в ходе доказательства этой теоремы оценки

F ( p)

s − s

следует также, что

lim

F ( p) = 0 .

Re p→+

Пример. Найти изображение так называемой единичной функции

η(t)

F ( p) = η(t)e

− pt

Решение. По определению

dt =

dt = −

. При

p =

так как под знаком предела стоит произведение бесконечно малой при

t → +

(11)

(12)

1 при

t 0

при

t 0

s + iσ

и s 0

lim e

− pt

lim e

− st

− iσ t

= 0

t → +

t →+

функции

− st

на ограниченную функцию

e	−iσ t

(

e	− iσ t

). Отсюда

η(t )	1
η(t )
	p

Теорема 4. Изображение	F( p)	является в области Re

Не вдаваясь в законность приведенных ниже следующей формальной выкладкой:

p = s s0

аналитической функцией.

преобразований, подтвердим это

Проверим существование

F'( p) для каждого

из полуплоскости Re

F '( p) =

f (t)e

− pt

(f (t)e

− pt

)

dt = −

tf (t)e

− pt

Можно проверить, что последний интеграл сходится. ■

p dt .

(13)

Схема применения операционного исчисления состоит в следующем: переходят от данных функций к их изображениям; совершают соответствующие (более простые) операции над полученными изображениями, находя изображение искомой функции; затем по найденному изображению искомой функции находят оригинал – решение исходной задачи.

Приведем (без доказательства) теорему, оправдывающую описанную выше схему применения операционного исчисления.

Теорема 5 (единственности). Если в некоторой полуплоскости Re p s0 F( p) является

изображением двух оригиналов, то эти оригиналы равны во всех точках, где они непрерывны.

Т.е. в точках своей непрерывности оригинал определяется однозначно; в точках же разрыва (1-го рода) значение оригинала может быть любым, так как это значение не влияет на величину интеграла в формуле (10).

235

Свойства преобразования Лапласа

Ниже всюду запись изображение.

f (t) F( p)

будет обозначать, что

(t)

−

оригинал, а

F( p)

его

Теорема 6 (смещения).

Тогда при	Re p s	0	+ Re


Пусть		f (t) F( p)	при Re p s0
Пусть			при Re p s0
	справедлива формула
	справедлива формула

−

любое комплексное число.

(т.е. в аргументе изображения

	+				+
t	t		− pt
e	f (t) e	f (t)e		dt =		f
	0				0

		t	f (t) F( p −)
		e
p	заменяется на p −
(t)e		−( p− )t		dt = F ( p −)

в силу формулы (10) при

Re( p −)

, т.е. при

Re p −Re

s	0

+ Re

Пример. Найти изображение функции

e	t

, где

−

произвольное комплексное число.

Решение. Здесь, как и в других примерах ниже, условию 1) определения оригинала удовлетворяет не эта функция, а

функция, равная нулю при отрицательных	t	и равная	e	t	при	t	положительных, т.е. функция	e	t	η(t) . Однако там, где

это не может привести к недоразумениям, мы будем для простоты записи	η(t)	опускать.

η(t) ; так как η(t )

η(t)

Имеем: e

= e

, то по теореме 6

p −

Теорема 7 (линейность изображения). Пусть

f1(t) F1( p)

при

Re p s1

f	2	(t) F ( p)
	2	2

при

Re p s2

. Тогда при

Re p max(s1, s2 )

любых комплексных постоянных

справедлива формула c1 f1

(t) + c2 f2 (t) c1F1( p) + c2 F2 ( p) .

f (t) + c

(t)

f (t) + c

(t) e

− pt

dt = c

f (t)e

− pt

dt + c

(t)e

− pt

dt =

c	2

= c1F1( p)

+ c F ( p)
2	2

. ■

Примеры. Найти изображения функций ( − произвольное комплексное число). Решение.

				e	i t	− e	− i t			1		1				1					1							2i
1.	sin t =			e		− e				1		1		−		1				=	1							2i					=										;
1.	sin t =													−						=							2						=										;
						2i			2i p − i							p + i					2i				p				+			2			p		2			+			2
																																2					2						2
	cos t =			ei t + e− i t					1		1			+		1				=	1					2 p						=							p				;
2.
2.						2			2							p + i									p	2		+			2				p	2		+				2
						2			2		p − i					p + i				2					p			+							p			+
		e t − e− t						1				1			1			1					2
3.	sh t =												−				=												=											;
3.	sh t =					2					p −		−				=					2		−				2	=			p	2	−				2		;
						2		2			p −			p +					2 p					−								p		−
			e t + e− t					1				1				1		1					2 p												p
4.	ch t =												+				=													=											.
4.	ch t =					2					p −		+				=					2		−				2		=		p	2	−					2		.
						2		2			p −			p +					2 p					−								p		−

Приведем еще один пример применения теорем 6 и 7:

sin

t =

(1 − cos 2t) ; так как 1

− cos 2t = η(t) − cos 2t

−

, то

p p2 + 4

p( p2 + 4)

et sin2

( p −1) ( p −1)2

+ 4

236

Теорема 8 (дифференцирование оригинала). Пусть

(t)

F( p)

при

Re p s0

f '(t)

тоже является оригиналом при

где под	f (0)	понимается	lim	f

			t→+0

Re p (t) .

. Тогда при

Re p max(s	, s )
0	1

f '(t) pF( p) −

(0)

Интегрируя по частям, имеем:

f '(t)

f '(t)e

− pt

df (t) = e

− pt

f (t)

−

f (t)de

− pt

= lim e

− pt

f (t) − f (0)

f (t)e

−pt

dt = pF( p) − f (0)

, так как при

p = s +iσ

t→+

| e

− pt

f (t) | | e

−st

|| e

−iσ t

| Me

s t

−st

s t

−(s−s

→ 0

при t → + ( s − s0 0 ). ■

= Me

Следствие. Если оригиналом является не только

f '(t)

, но и следующие производные этой

функции, то из теоремы 8 получаем:

;

''(t) =

f '(t)

pF ( p) − f (0)

− f

'(0) = p F ( p) − pf (0) − f

'(0)

F ( p) − pf (0) − f '(0)

− f

F ( p) − p

f (0) − pf '(0) − f ''(0)

и так

'''(t) = f ''(t)

''(0) = p

далее. В общем случае

(n)

F( p) − p

n−1

f (0) − p

n−2

f '(0)

−...

− f

(n−1)

(0) ,

(t) p

где

(k )

(0)

= lim

(k )

(t) ,

= 0, 1,

...,

n −1 .

t→+0

Теорема 9 (интегрирование	оригинала). Пусть						f (t) F( p)		при	Re
Теорема 9 (интегрирование	оригинала). Пусть								при	Re
				t		F ( p)
непрерывна при t 0 . Тогда при тех же			p		f (t)dt	F ( p)		.
							p

				0
				0
	t
Проверим, что функция φ(t) =		f (t)dt	является оригиналом. Условия 1) и
Проверим, что функция φ(t) =		f (t)dt	является оригиналом. Условия 1) и
	0
оригинала, очевидно, выполняются, условие 3) тоже выполняется:

p s0	и	f (t)

2) определения

t φ(t) =

Так как

φ(t) (

	t		t				M
(t)dt		f (t)dt M e		s	t	dt =	M		e	s	t
(t)dt		f (t)dt M e		0		dt =			e	0
				0						0
	0		0					s
	0		0					0
φ(t)	является		оригиналом,					то
	является		оригиналом,					то
)
. Тогда по теореме 8 имеем:

t
\|	=
0

она

M	(e	s	t	−
	(e	0		−
		0
s
0

имеет

1)	M		e	s	t	.
1)			e	0		.
	s	0
		0

некоторое изображение. Пусть

φ (t) p ( p) −φ(0) =

	t
p ( p) − lim	f (t)dt	=
t →+0	0
	0

p ( p) − lim	f (c) t
t →+0

p ( p) −0 =

p ( p)

(здесь применены теорема о среднем в определенном интеграле, c между 0 и t , и теорема о произведении бесконечно малой и ограниченной функций).

Но по теореме о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу

φ (t) = f (t) F( p)	, значит	F( p) = p ( p)	, т.е.	( p)
	, значит		, т.е.

Теорема 10 (дифференцирование изображения).

при тех же p справедлива формула −tf (t) F'( p) .

Теорема сразу же следует из формулы (13). ■

	=	F ( p)
	=	p
		p

Пусть

. ■

f (t)

F( p)

при Re p s0 . Тогда

237

Результат теоремы можно переписать следующим образом:

Следствие. Применяя эту теорему несколько раз, имеем

…; t

f (t) (−1)

(n)

( p) .

Пример. Найти изображение функций g(t) = t

( n )

(−1)

n !

η(t) (−1)

= (−1)

Решение. При натуральных n имеем:

= t

(t) −F' (t) F''(

n !
	.
p	n +1

( p

p) ) ;

t	3	f

(t) −F'''( p)

;

Рассмотренные до сих пор примеры изображений:

	η(t)		1	sin t
	η(t)		p	sin t	2	+	2
			p	p		+

t			1	cos t		p
e			−	cos t	2	+	2
		p	−	p		+

Пример: Найти изображение функции						f (t) = t
Пример: Найти изображение функции

можно объединить

sh t
sh t	p	2	−	2
	p		−

ch t			p
ch t	p	2	−	2
	p		−

sin t .

в следующую таблицу

t	n	n!
t

		p	n+1
		p

Решение.

		1	/		2 p
t sin t −	2		=		2			.
p	2	+ 1		( p	2	+	1)	2
p		+ 1		( p		+	1)

238

ЛЕКЦИЯ 9

Свойства преобразования Лапласа (продолжение)

Теорема 1 (интегрирование изображения). Пусть					f (t) F( p)	при	Re p
Теорема 1 (интегрирование изображения). Пусть						при	Re p

p	интеграл		F ( p)dp	сходится (здесь под этим интегралом понимается
	интеграл		F ( p)dp	сходится (здесь под этим интегралом понимается

		p

s0	и для таких
		P
lim			F ( p)dp ).
lim			F ( p)dp ).
Re P→+		p
		p

Тогда этот интеграл является изображением функции

f(t) t

, т.е.

f(t) t

F ( p)dp

Интеграл в правой части последней формулы имеет вид

			+

	F ( p)dp =			f (t)e− pt dt dp
p		p	0

(1)

Предполагая возможность изменить в этой формуле порядок интегрирования (что можно аккуратно проверить), имеем:

	+		− pt
F ( p)dp =		f (t) e	− pt	dp dt
F ( p)dp =		f (t) e		dp dt
p	0	p

(2)

Так как произведение бесконечно малой и ограниченной функций есть функция бесконечно

малая, то при

p = s +iσ

− pt

dp = −

− pt

= −

lim e

−st

−iσ t

− e

− pt

= −

(0 − e

− pt

) =

− pt

. Тогда из формулы (2)

s→+

f (t)

F ( p)dp =

− pt

, что и доказывает теорему. ■

−1

Пример. Найти изображение функции

g (t) =

−1

p −1

Решение.

−

dp = ln( p −1)

− ln

= ln

= ln 1 − ln

= ln

p −1

+ f (t)

− pt

Замечание. Теорема 1 означает, что

dt = F ( p)dp . Если бы в этой формуле можно

было положить, что p = 0 , то она приняла бы вид

f (t)

dt =

F ( p)dp .

(3)

На самом деле, формула (3) действительно верна. Ее можно применять для вычисления некоторых сходящихся несобственных интегралов от функций действительного переменного.

					+
						sin
Пример.	Вычислить интеграл						t
					0		t
+		dp2	= arctg	p\|0 =
Решение. sin t dt =		dp2	= arctg	p\|0 =

0 t	0	p + 1				2

t dt

239

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2524 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.06.20245.04 Mб3L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_1.pdf
#
01.06.20246.08 Mб2L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_2.pdf
#
01.06.20242.46 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_3.pdf
#
01.06.20241.39 Mб21вышмат полезно.pdf
#
01.06.2024482.88 Кб11кр по алегебре.pdf
#
01.06.20245.41 Mб99лекции вышмат.pdf
#
01.06.20241.34 Mб4линейная алгебра и агалитич геом.pdf