Добавил:
хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

лекции вышмат

.pdf
Скачиваний:
76
Добавлен:
01.06.2024
Размер:
5.41 Mб
Скачать

(1+ z)

α

 

=1+ αz +

α(α 1)

z

 

 

2

 

2!

 

 

α(α 1)

... (α n +1)

 

 

+... =1+

z

n

 

 

 

n!

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

.

Первые три разложения справедливы на всей комплексной плоскости в силу аналитичности

на ней функций e

z

,

sin z ,

cos z . Два последних разложения справедливы при | z | 1 , так

 

как z = −1 является особой точкой функций ln(1+ z) и (1+ z)

α

, значит,

ρ , как расстояние

 

от 0 до 1,

равно 1. В последнем разложении α произвольное (не действительное,

натуральное)

комплексное число и (1+ z)α = eαln(1+z) ; если же α натуральное число, то ряд

превращается в конечную сумму

α

n=1

, и мы получаем формулу бинома Ньютона, которая

верна для всех

z

.

Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры

Теорема 3 (Лиувилля). Пусть w = f (z) аналитическая на всей комплексной плоскости и

ограниченная ( f (z) M ) функция. Тогда f (z) C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

z0

произвольная фиксированная точка,

то в разложении функции

f (z)

в ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

f (ζ)

 

 

 

 

 

 

 

Тейлора

f (z) = an (z z0 )

n

(7)

коэффициенты

a

=

 

 

 

dζ

 

(8) при контуре

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

i

z

)

n+1

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( L)

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(L) в виде окружности z0

=

допускают оценку

a

 

1

M

2 =

M

. Т.к. при n > 0

 

 

n+1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и больших

выражение

M

сколько угодно мало, то a

= 0, n =1, 2,3,..., и

f (z) = a

.■

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 4 (основная теорема алгебры). Любой многочлен степени n = 1,2,3…. имеет хотя бы один корень.

Пусть многочлен

f (z)

не имеет корней. Тогда функция w =

1

аналитическая на всей

f (z)

 

 

 

 

комплексной

ограниченна

1

= C f

f (z)

 

плоскости. Т.к. lim f (z) = , то lim

1

= 0 ,

следовательно функция

 

z

zf (z)

f

на всей комплексной

плоскости.

 

Тогда

по теореме Лиувилля

(z) = const , что противоречит условию теоремы.

1 (z)

3

Ряд Лорана

 

 

 

 

1

Рассмотрим ряд an (z z0 )n . После замены

 

z z0

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

ряд

anζ

n

, который сходится (абсолютно) при | ζ

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ряд an (z z0 )n сходится (абсолютно) при

 

n=1

 

 

| z z0

Теперь рассмотрим ряд

= ζ этот ряд превращается в степенной

| R , где R радиус сходимости. Т.е.

R , | z z0 |

1

.

 

|

R

220

an (z

n=−

Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

z

 

)

n

0

 

 

 

 

.

(10)

 

 

an (z z0 )

n

 

n=0

 

и

 

an (z z0 )

n

 

n=−1

 

n=−m =

 

 

am (z z0 )

m

 

m=1

 

и называется сходящимся, сходятся оба

этих ряда. Первый из этих рядов сходится при | z z0 | R , а второй – при | z z0 | r . Здесь

R и r некоторые числа, и предполагается, что r R , так как в противном случае ряд (10) всюду расходится. Значит, областью сходимости ряда (10) является кольцо r | z z0 | R

(рис. 3).

Рисунок 3

Далее будет изучаться возможность представления аналитической в кольце функции в виде суммы ряда (10). Пусть такое представление возможно:

r | z z

0

| R

 

 

f (z) =

an (z

n=−

z

 

)

n

0

 

 

 

 

.

(11)

Умножим обе части равенства (11) на

1

 

 

 

1

 

 

 

 

, k

= 0,

1,

2,

... :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

(z z

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= an

(z z0 )

nk 1

.

 

 

(12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

(z z

 

)

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

n=−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проинтегрируем

обе части

этого

равенства

 

вдоль

произвольной окружности ( ) :

| z z0 |= ρ,

где r ρ R

(на

рис.

3

эта

окружность

проведена

 

пунктирной

линией).

Получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

nk 1

 

an

 

 

 

 

nk 1

 

 

 

 

 

 

dz =

 

 

 

 

(z z0 )

 

 

 

 

dz =

 

 

 

(z z0 )

dz .

(13)

 

 

(z z0 )

k +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2πi

( )

 

( Г )

n=−

 

2πi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=−

 

2πi ( Г )

 

 

 

Рассмотрим интегралы в правой части (13) при различных значениях

n :

 

 

а) n k 1 0, т.е. n k +1

 

(z z0 )

nk 1

 

 

 

, как интеграл от аналитической функции

 

 

 

 

dz = 0

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по замкнутому контуру;

221

б)

n k 1 2

, т.е. n k 1, тогда подставим z z0

= ρe

iφ

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z z0 )nk 1dz

=

 

ρnk 1ei(nk 1)φi e= nk

 

ei (nk )φ

=

 

 

 

( )

 

0

 

0

 

 

 

 

периодичности (с периодом

i ) показательной функции

в) n = k

 

dz

 

= 2πi , как было показано ранее.

z z

0

 

( )

 

 

 

z = z

0

 

 

 

iρ

nk

 

 

 

i

 

 

 

e

z

.

 

 

 

+ ρe

iφ

,

 

1

 

 

(n k)

dz = i e

iφ

 

e

i (nk

|

=

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

:

0

в силу

Таким образом, в правой части формулы (13) лишь один член (в котором n

нуля, и эта формула принимает вид

1

 

 

 

 

 

f (z)

 

dz = ak .

i

 

(z z

)

k +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

В итоге, если аналитическую

в кольце

 

r | z z0

| R функцию можно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

представить в виде суммы ряда

an (z z0 )n (10), то такое представление

 

n=−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

коэффициенты an находятся по формулам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

=

 

1

 

 

 

 

f (z)

 

dz

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

i

(z z

)

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

n = 0, 1, 2,..., ( ) : | z z0 |= ρ , r ρ R .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= k ) отличен от

в этом кольце

единственно, и

(14)

Определение 2. Ряд (10) с коэффициентами (14) называется рядом Лорана для функции f (z) .

Теорема 5. Пусть функция w = f (z) аналитична в кольце (D) : 0 r | z z0 | R . Тогда ее можно представить в виде суммы сходящегося ряда Лорана (10) с коэффициентами (14).

Для экономии места и времени доказательство этой теоремы в данном курсе приводится не будет.

 

Пример. Разложить функцию f ( z

а) | z | 1

; б) 1 | z | 2 ; в) 0 | z 1 | 3 .

Решение. Разложим исходную правильную

) =

 

2z + 1

2

в ряд Лорана в областях:

z

+ z 2

 

 

рациональную дробь на простые дроби:

 

 

2z + 1

=

2z + 1

=

A

+

 

2

 

 

 

z

+ z 2

 

( z + 2)( z 1)

 

z + 2

 

 

 

 

 

B z 1

. Отсюда

2z +1 =

A(z

1) + B(z

+

2)

.

Подставим в это равенство

z = 1

и

z = −2 :

 

 

 

 

3 = −3A B = 1 , A = 1. Таким образом,

f ( z) =

1

+

1

 

3 = 3B ,

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z + 2

 

z 1

 

а) В этом случае z0 = 0

и

f (z) аналитична в области

| z | 1 , т.е. ряд Лорана превращается в

формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеем:

 

 

1

 

1

 

 

1

 

1

 

z

 

n

 

 

 

 

(1)

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( z) =

 

 

 

 

 

=

 

(1)n (

 

)

 

z n =

 

 

 

 

 

 

1 z n

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

n +1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1 z

 

2

n =0

2

 

 

n =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+

 

 

 

 

 

n =0 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(обе прогрессии бесконечно убывающие, так как | q

|=

 

z

 

=

| z |

 

1

и

| q

|=| z

| 1 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

2

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Здесь, по-прежнему,

z0

= 0 и f (z)

аналитична в кольце 1 | z

| 2

(особые точки z = −2 и

ряд Тейлора. Используя

z = 1 ) (рис. 4).

222

В этом кольце дробь

1 z + 2

Рисунок 4

 

 

 

 

 

раскладывается точно так же, как в случае а), так как | q1

|=

z

=

| z |

1 . Для разложения

 

 

 

2

2

 

второй дроби (а в ней

 

|

z

| 1 )

 

поступим следующим образом:

 

1

 

=

 

1

 

1

 

 

. Последнее выражение уже можно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

z

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рассматривать как сумму бесконечно убывающей прогрессии с первым членом

b

 

= 1

и знаменателем

q

=

1

, | q | 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

(1)

n

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

=

 

 

 

 

=

 

 

=

 

 

 

 

. В итоге,

f ( z) =

 

 

 

 

z

n

+ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n +1

 

 

k

 

 

n +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

1

z

 

 

z

 

 

 

 

z

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

z

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n =0

 

 

 

n =0

 

 

 

k =1

 

 

 

 

 

 

 

 

n =0

 

 

 

 

 

 

n =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) В этом случае

z

= 1

 

и

 

f (z)

аналитична в кольце 0 | z 1 | 3

(рис. 5) (внутренней границей кольца является сама

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точка

z = 1 ). Тогда дробь

 

1

 

уже является частью искомого ряда Лорана как всякая степень

 

z z

= z 1

, с дробью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

=

 

 

1

 

=

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

же

 

поступим так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

. Последнее выражение является суммой бесконечно убывающей

z + 2

 

 

 

 

 

 

 

z + 2

 

 

z 1 + 3

 

 

 

3

1 +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

геометрической прогрессии с первым членом

b1 = 1

и знаменателем

q = −

z 1

,

|

 

q

|=

|

z 1 |

1

. Тогда

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

(

z 1

)

n

 

 

 

 

(1)

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

(1)

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

=

 

(1)

n

 

 

 

=

 

 

 

 

 

( z 1)

n

. В итоге,

 

f ( z) =

 

 

+

 

 

 

 

( z 1)

n

.

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

n +1

 

 

 

 

 

 

 

n +1

 

 

 

 

 

 

 

3

1

+

 

3

n

=0

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

n =0

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

n =0

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 5

Во всех трех случаях мы использовали единственность разложения функции в ряд Лорана (или Тейлора), т.е. некоторыми преобразованиями получали разложение, а затем использовали то обстоятельство, что других разложений у функции в данной области быть не может.

223

ЛЕКЦИЯ 7

Классификация изолированных особых точек

Определение 1. Точка существует.

z

0

 

называется особой точкой функции

w =

f

(z)

, если

f '(z

0

)

 

 

не

Определение 2. Особая точка

z0

функции

w = f (z)

называется изолированной, если

w = f (z)

аналитична в некоторой проколотой окрестности точки z0 .

Пусть z0

изолированная особая точка функции w = f (z) . Тогда в проколотой окрестности

точки z0

, т.е. в области 0 | z z0 | R , где R некоторое число, эту функцию можно

разложить в ряд Лорана:

 

 

f (z) = an (z z0 )

n

 

n=−

 

 

 

+

= an (z z0 )

n

 

 

n=0

 

 

an (z n=1

z

 

)

n

0

 

 

 

 

.

(1)

Определение 3. Первая сумма в правой части формулы (1) называется правильной частью ряда Лорана, а вторая сумма в правой части этой формулы называется главной частью ряда Лорана.

Определение 4. Изолированная особая точка разложении (1) главная часть отсутствует, т.е. an

=

z

0

 

0

,

называется устранимой, если в

n =1,2,...

Теорема 1. Для того чтобы изолированная особая точка

и достаточно, чтобы существовал конечный предел

lim

f

 

zz

 

 

0

 

z

0

 

(z)

была устранимой необходимо

.

Необходимость. Пусть z0

устранимая особая точка функции

 

 

 

 

при

0 | z z0 | R

f (z) = an (z z0 )n . Правая часть этой

n=0

f (z) . Это означает, что

формулы, как сумма

сходящегося степенного ряда, непрерывна в точке z0 , значит, ее предел при

z

сумме ряда в точке z0 .

Так как последняя сумма равна a0 , то существует

предел левой части

lim

f (z) = a

 

zz

0 .

 

 

0

 

 

z0 равен и конечный

Достаточность. Пусть, наоборот, существует конечный

lim zz0

f

(z)

. Тогда функция

w = f (z)

ограничена в окрестности точки

z0

; пусть в этой окрестности

формул для коэффициентов ряда Лорана и оценки для интегралов комплексного переменного тогда следует , что при достаточно малом

| an

|=

1

 

 

f (z)n+1 dz

1

 

M

2πρ =

M

.

i

 

 

n+1

n

 

 

|zz

|=ρ

(z z

)

2π ρ

ρ

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

f (

от

z

) | M. Из

функций

(2)

В правой части этой формулы ρ можно взять сколь угодно малым, тогда при отрицательных n правая (а значит, и левая) часть сколь угодно мала, а это может быть только тогда, когда эти части равны 0. Итак, an = 0 при n = −1, 2, ...

Определение 5. Изолированная особая точка z0 называется полюсом функции w = f (z) , если в разложении (1) главная часть содержит лишь конечное число членов. Пусть an = 0

224

для n k (где k некоторое натуральное число) и ak 0 . Тогда число

k

называется

порядком полюса (т.е. порядок полюса это наибольшее число

k N , для которого ak 0 ).

Полюса первого порядка также называются простыми полюсами.

 

 

 

Можно показать, что это определение эквивалентно тому, что

lim

f (z) = .

 

 

 

zz

 

 

 

 

0

 

 

 

Определение 6. Изолированная особая точка z0 называется существенно особой точкой

функции w = f (z) ,

если в разложении (1) главная часть содержит бесконечное число

членов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Можно показать, что это определение эквивалентно тому, что

lim f (z)

не существует.

 

 

 

 

 

 

 

 

zz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Теоремы о полюсах

 

 

 

 

Теорема 2. Пусть в (проколотой)

окрестности точки z0

функция

w = f (z) может быть

представлена в виде

f (z) =

φ(z)

 

 

, где φ(z) аналитическая в этой (уже не проколотой)

(z z

 

)

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

окрестности и φ( w = f (z) порядка

z0 k

)

.

0

, а

k

некоторое натуральное число. Тогда

z

0

 

полюс функции

Разложим

 

аналитическую функцию

φ(z)

 

 

в

ряд Тейлора в

окрестности точки

z0 :

φ(z) = a0 + a1 (z z0 ) + a2

(z z0 )

2

+...

, при этом

φ(z0 ) = a0 0 . Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ(z)

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) =

 

 

 

 

=

0

 

 

 

 

+

 

1

 

 

 

+

 

 

 

 

 

+...

Это есть разложение функции

f (z)

в

 

 

 

k

 

 

 

 

k

 

 

 

 

k 1

(z z

 

)

k 2

 

(z z

 

)

 

 

(z z

 

)

(z z

 

)

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ряд Лорана в проколотой окрестности точки

z

0

(в силу единственности такого разложения),

 

 

в котором a0

0

, значит,

z0 полюс функции

w = f (z) порядка

k . ■

 

 

 

 

 

Определение 7. Точка

 

z

0

называется нулем аналитической в ее окрестности функции

φ(z)

кратности m

(где m =1,

 

2, ...), если в окрестности этой точки φ(z) = (z z0 )

m

g(z) , где

g(z)

 

 

аналитична в этой окрестности и

g(z

0

) 0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема

 

(m)

(z

)

 

 

 

 

 

0

 

3. Это определение эквивалентно тому, что

0 .

φ(z

0

) =

 

 

φ '(z

) =

0

 

…=

φ

(m1)

(z

)

 

 

 

0

 

=0,

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы

многочлена.

А

именно,

пусть

φ(z) = (z z0 )

m

g(z) ,

 

φ '(z) = m(z z0 )m1 g(z) + (z z0 )m g '(z) = (z z0 )m1 mg(z) + (z z0 )g '(z)

где g1 (z) аналитическая в исходной окрестности и g1(z0 ) = mg(z0 ) 0

о кратных корнях

g(z

0

) 0

,

тогда

 

 

 

 

= (z z

0

)m1 g (z) ,

 

 

 

 

 

1

; отсюда φ '(z0 ) = 0 .

Аналогично φ ''(z) = (z z0 )m2 (m 1)g1 (z) + (z z0 )g1 '(z) = (z z0 )m2 g2 (z) , где

g

2

(z)

 

 

аналитична в исходной окрестности и

g2 (z0 ) = (m 1)g1(z0 ) 0 ; отсюда φ''(z0 ) = 0 . И так

далее. φ(m1) (z) = (z z0 )gm1 (z) , где

gm1 (z) аналитична в исходной окрестности и

gm1 (z0 ) 0 ; отсюда φ(m1) (z ) = 0 . φ(m) (z) = g (z) + (z z )g / (z) ; φ(m) (z ) = g (z ) 0 .

0 m 1 0 m 1 0 m 1 0

225

Пусть теперь,

наоборот,

 

φ(z0 ) =

φ '(z0 ) =

=

φ

( m1)

(z0 ) = 0 ,

φ

m

(z0 ) 0 .

 

 

 

 

аналитическую в окрестности точки

z

0

функцию φ(z)

в ряд Тейлора, имеем:

 

 

φ

(n)

(z

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ

(n)

(z

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ(z) =

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

nm

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

0

 

(z z0 )

=

(z z0 )

 

 

0

 

(z z0 )

= (z z0 )

g(z) ,

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ

(n)

(z

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(z) =

 

 

 

 

0

 

(z z

)

 

аналитична

в нашей

окрестности,

как сумма

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

0

 

 

 

 

 

 

n=m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ

(m)

(z

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

степенного ряда, и g(z0 ) =

 

 

0

 

 

0

. ■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 4.

Пусть в проколотой окрестности точки

z

0 функция

w = f (z)

 

 

Раскладывая

где

сходящегося

может быть

представлена в виде

f (z)

окрестности,

φ(z)

имеет

 

кратности n m . Тогда

z

=

φ(z)

, где φ(z) и

ψ(z) аналитичны в этой (уже не проколотой)

ψ(z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в точке

z0 нуль кратности

m , а ψ(z)

имеет в точке

z0 нуль

0

полюс функции

w = f (z)

порядка

n m

.

 

 

 

 

 

 

 

По условию теоремы в окрестности точки

z

0

 

f (z) =

φ(z)

=

ψ(z)

 

 

(z z

 

)

m

g

(z)

0

 

 

 

 

 

1

 

(z z

 

)

n

g

 

(z)

0

 

2

 

 

 

 

 

, где

g

(z)

1

 

и

g

f

2

(z)

 

(z) =

аналитичны в этой окрестности и

g1(

g (z)

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

g

2

(z)

. Числитель этой дроби

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z z

 

)

nm

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z0 ) 0

,

g

2

 

является

(z

0

) 0

. Тогда в этой окрестности

 

 

функцией аналитической в (не

проколотой) окрестности как отношение двух аналитических функций при знаменателе, отличном от нуля, откуда по теореме 2 и следует нужный нам результат. ■

Замечание. Из доказательства теоремы видно, что ее можно применять и при

m = 0 , т.е.

если

z0 , вообще, не является нулем функции φ(z) .

Кроме того,

из

приведенного

рассуждения видно, что теорему можно применять и

при

n m

.

В

этом

случае в

 

проколотой окрестности точки

z

0

 

f (z) =

g

(z)

(z

 

1

 

 

 

 

g

2

(z)

 

 

 

 

z

 

)

mn

0

 

 

 

 

, где

g

(z)

i

 

аналитические и

g

(z

) 0

i

0

 

функции

,

w

i=1,2,

=f (z)

значит, существует конечный lim f (z) , и

zz0

.

Вычеты и их нахождение

z

0

 

устранимая особая точка

Определение 8. Пусть

z

0

 

изолированная

особая точка функции

w = f (z)

и

f (z) =

 

 

an (z z0 )

n

 

n=−

 

– разложение этой функции в ряд Лорана в проколотой окрестности

точки

z

0

. Вычетом функции

w = f (z)

в точке

z

0

называется коэффициент

 

 

 

коэффициент при (z z0 )

1

в этом разложении.

 

 

 

 

 

 

 

Обозначение: a1

= Res f (z0 ) = Re s f (z) .

 

z =z0

Из формулы для нахождения коэффициентов ряда Лорана при n = −1 следует, что

a1

, т.е.

226

где

f (z

( )

– окружность

| z z

0

|=

 

 

 

)

 

 

 

 

нет других особых точек.

Res f (z0 ) =

1

 

f (z)dz ,

(3)

2 i

 

( )

 

 

 

 

 

 

ρ , а ρ столь мало, что внутри этой окружности и на ней у

Нахождение вычетов в особых точках в зависимости от их вида проводится следующим образом:

а)

z0

устранимая особая точка функции

w = f (z) a1 = 0 Res

f (z0 ) = 0 ;

 

б)

z

0

существенно особая точка функции

 

w = f (z)

; в этом случае функцию следует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

разложить в ряд Лорана и найти коэффициент

a1

в этом разложении;

 

 

 

 

 

 

в)

z0

полюс функции w = f (z)

порядка

k ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда в проколотой окрестности точки

 

z

0

ее разложение в ряд Лорана принимает вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) =

a

k

 

 

 

+

a

k

+1

 

+...

a

1

 

+ a

+ a (z z

 

) +...

,

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

k 1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z z

 

)

 

(z z

 

)

 

 

 

z z

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда, умножая обе части этого равенства на

(z z0 )

k

, имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)(z z

 

)

k

= a

 

+ a

 

(z z

 

) +... + a

 

 

(z z

)

k 1

+ a

(z z

 

)

k

+ a (z z

 

)

k +1

+...

 

0

 

k

k +1

0

1

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Продифференцируем обе части последнего равенства

k 1

раз. При этом степенной ряд в

правой

его

части

можно дифференцировать почленно,

и

производные всех

степеней

(z z

0

)

, меньших, чем k

1, будут равны 0. Получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)(z z

)

k

 

(k 1)

= a

(k 1)!+ a k !(z z

) + a (k +1)k ... 3(z z

)

2

+...

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

0

0

1

0

 

 

 

(5)

Теперь

перейдем

в

равенстве

(5)

к пределу

при

 

z z0 .

 

Правая часть, как

сумма

сходящегося степенного ряда, непрерывна в точке

z

0

, значит,

предел при

z z0

правой

 

части существует и равен сумме ряда в точке

z

0

,

т.е. a1(k 1)!.

Раз существует предел

 

правой

части,

 

 

то

существует

такой же

 

предел

левой

 

части

равенства

и

lim f (z)(z z

 

)

k

 

(k 1)

= a

(k 1)!

, откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zz

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Res

f (z0 ) =

lim f (z)(z

z

 

)

k

 

(k 1)

.

 

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k

zz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание. При выводе формулы (6) не использовалось отличие от 0 коэффициента

ak

(равно как и других коэффициентов в формуле (4)). Так как при ak = 0 порядок полюса уже

будет меньше чем k , то формула (6), на самом деле, справедлива не только для полюса порядка k , но и для полюса любого меньшего порядка, т.е. порядок полюса в формуле (6) можно (если это целесообразно) «перебрать».

В частности, для простого полюса (т.е. при

Res f (z0 ) =

k =1 )

 

lim f (z)(z z0 )

(7)

zz0

 

227

Рассмотрим здесь также случай, при котором в проколотой окрестности точки

z

0

 

функция

w = f (z)

может быть представлена в виде

f (z) =

φ(z)

, где φ(z)

и

ψ(z) аналитичны в этой

ψ(z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(уже не проколотой) окрестности, φ(z0 ) 0, а

ψ(z)

 

имеет в точке z0

нуль кратности 1, т.е.

ψ(z0 ) = 0

, а ψ'(z0 ) 0 . Тогда, по замечанию к теореме 4,

z0

простой полюс

f (z) и,

согласно формуле (7), Res f (z0 ) = lim

φ(z)

(z z0 ) =

 

lim

φ(z)

 

 

=

φ(z

0

)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ(z)

 

ψ(z)

ψ(z

)

ψ '(z

 

 

)

 

 

zz

 

 

 

 

zz

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z z

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В итоге,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Re s f (z0 ) =

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8)

 

(z

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры. Найти вычеты функций в их особых точках. Решения.

1.

f

 

lim

z 0

 

2.

f

 

( z)

sin z ( z)

=

z

=

sin z

. Единственной особой точкой этой функции является точка

z

= 0

. Это устранимая особая точка, так как

 

 

 

 

z

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1

. Значит, Res f (0) = 0

(это же следует из разложения

f (z) в ряд Лорана в проколотой окрестности z0 = 0 ).

z

4

sin

1

 

 

 

 

 

z

= 0

 

 

. Единственной особой точкой этой функции снова является точка

. Так как на всей комплексной

 

 

 

0

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

плоскости

 

z

3

 

sin z = z

 

+

 

 

 

3!

 

z

5

 

 

 

 

5!

 

z

7

 

 

+

 

 

7 !

 

...

,

то при

z

0

,

заменяя в этом разложении

z

на 1/z, имеем:

f ( z) = z

4

(

1

 

1

3

1

5

1

7

)

 

z

3

 

z

 

1

 

 

 

 

 

+

 

 

+ ...

 

=

 

+

 

 

 

 

 

z

 

3! z

 

5! z

 

7 ! z

 

 

 

 

 

 

3!

 

5! z

 

7

Лорана в проколотой окрестности точки

 

z

0

= 0

(в силу

 

 

 

 

разложения содержит бесконечное число членов,

значит,

z

0

1

+ ...

 

 

Это и есть разложение исходной функции в ряд

! z

3

 

единственности такого разложения). Главная часть этого

= 0

существенно особая точка, и вычет

f (z)

в этой точке

 

 

 

 

 

 

1

 

1

=

1

– коэффициент при

 

равен

 

.

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5!

 

120

 

f ( z) =

1 + cos z

 

 

 

 

 

 

3.

 

. Единственной особой точкой этой функции является точка

 

 

( z π)

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 0

=

π

. Знаменатель в этой точке имеет

нуль кратности 6, а числитель – нуль кратности 2:

|

 

(1 + cos z)

= 0;

 

z = π

(1 + cos z) '

|

|

 

 

= − sin z

= 0;

 

z = π

 

z = π

(1 + cos z) ''|

z = π

= − cos z|

z = π

= 1 0 . Тогда по теореме 4

z0 = π

полюс

 

f (z) 4-го порядка. Однако нахождение вычета в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1 + cos z

///

 

этой точке по формуле (6) при

k = 4

затруднительно: Res

f (π) =

lim

 

 

. Поэтому, согласно замечанию к

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

z π

 

( z π)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формуле (6), применим для нахождения вычета эту формулу при

k = 6

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1 + cos z

 

6

( 5 )

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (π) =

 

 

 

 

 

 

 

( 5 )

 

 

 

lim sin z

 

 

 

 

 

Res

 

lim

 

 

 

( z π)

 

 

=

 

lim 1 + cos z

 

=

 

 

 

= 0

.

 

 

5!

z π

( z

π)

6

 

 

 

 

120

z π

 

 

 

120

z π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 5 (основная теорема о вычетах).

Пусть функция w = f (z) аналитическая в

некоторой области (D) за исключением конечного числа изолированных особых точек и

(L) (D) кусочно-гладкая замкнутая кривая, не проходящая через эти точки. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)dz = 2πi Re s

 

f (zk ) ,

 

 

 

 

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( L)

 

 

 

k =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

228

где

zk ,

k

Пусть них и на

=1, 2, ..., n особые точки

f (z) , лежащие внутри кривой (L)

(рис. 1).

Рисунок 1

 

 

 

( k ) , k =1, 2, ..., n окружности с центрами в особых точках

zk

такие, что внутри

них нет других особых точек функции f (z) , кроме

zk . По интегральной теореме

 

n

Коши для неодносвязных областей

f (z)dz = f (z)dz . Но тогда, согласно формуле (3),

( L)

k =1 ( )

 

k

 

f (z)dz =

( )

 

k

 

i

Res

f

(z

k

 

)

.

 

 

z

 

 

 

tg

 

Пример 1. Вычислить интеграл

 

2

2

 

 

dz .

 

| z +1| =3

( z 1)

 

Решение. Исходный интеграл равен 2 i Re s f (1) + Re s () , так как особыми точками этой

z = 1

(лежит внутри контура интегрирования) и точки, где

cos

z

= 0

, т.е.

z

=

π

+ k ,

z

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

2

 

 

только точка

π

лежит внутри контура интегрирования (рис. 2).

функции являются точка

= π + k , из которых

Точка

z

 

Res

f (1)

 

=

=

1

– полюс 2-го порядка (

 

 

 

tg

z

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

limz 1

 

2

 

( z 1)

2

 

=

 

( z 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

1

0

 

 

2

 

lim

(

tg

 

z 1

 

 

Рисунок 2 ), значит, по формуле (6)

 

)

 

 

 

 

 

 

 

z

/

 

1

 

 

1

 

 

2

 

= lim

 

z

=

 

1

. Что касается точки

 

z 1

2 cos2

 

2 cos2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

z

=

π

, то в окрестности

этой точки подынтегральную функцию можно представить в виде отношения двух аналитических функций:

229