лекции вышмат

Добавил:

VadoZ хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

)m−1 g (z) ,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2024

Размер:

5.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2523 24 25 > Следующая >>>

(1+ z)	α

=1+ αz +	α(α −1)	z
		2
	2!

	α(α −1)	... (α − n +1)
+... =1+	α(α −1)	... (α − n +1)	z	n
				n
		n!
n=1		n!
n=1

Первые три разложения справедливы на всей комплексной плоскости в силу аналитичности


на ней функций e	z	,	sin z ,	cos z . Два последних разложения справедливы при \| z \| 1 , так

как z = −1 является особой точкой функций ln(1+ z) и (1+ z)					α	, значит,	ρ , как расстояние

от 0 до −1,	равно 1. В последнем разложении α − произвольное (не действительное,
натуральное)	комплексное число и (1+ z)α = eαln(1+z) ; если же α − натуральное число, то ряд

превращается в конечную сумму

n=1

, и мы получаем формулу бинома Ньютона, которая

верна для всех

Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры

Теорема 3 (Лиувилля). Пусть w = f (z) аналитическая на всей комплексной плоскости и

ограниченная ( f (z) M ) функция. Тогда f (z) C .

Если

произвольная фиксированная точка,

то в разложении функции

f (z)

в ряд

f (ζ)

Тейлора

f (z) = an (z − z0 )

(7)

коэффициенты

dζ

(8) при контуре

2πi

(ζ − z

)

n+1

n=0

( L)

(L) в виде окружности − z0

допускают оценку

2 =

. Т.к. при n > 0

n+1

и больших

выражение

сколько угодно мало, то a

= 0, n =1, 2,3,..., и

f (z) = a

.■

Теорема 4 (основная теорема алгебры). Любой многочлен степени n = 1,2,3…. имеет хотя бы один корень.

Пусть многочлен	f (z)	не имеет корней. Тогда функция w =	1	аналитическая на всей
			f (z)

комплексной

ограниченна

	1	= C f
	f (z)	= C f
	f (z)

плоскости. Т.к. lim f (z) = , то lim		1	= 0 ,	следовательно функция

z→	z→ f (z)			f
на всей комплексной	плоскости.		Тогда	по теореме Лиувилля
(z) = const , что противоречит условию теоремы.

1 (z)

Ряд Лорана

				1
Рассмотрим ряд an (z − z0 )−n . После замены				1
Рассмотрим ряд an (z − z0 )−n . После замены					z − z0
			n=1		z − z0

ряд	anζ	n	, который сходится (абсолютно) при \| ζ
ряд	anζ		, который сходится (абсолютно) при \| ζ
	n=1
				1
ряд an (z − z0 )−n сходится (абсолютно) при				1
	n=1			\| z − z0

Теперь рассмотрим ряд

= ζ этот ряд превращается в степенной

\| R , где R − радиус сходимости. Т.е.
R , \| z − z0 \|	1	.

\|	R

220

an (z −

n=−

Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

z		)	n
	0

(10)


an (z − z0 )	n
an (z − z0 )
n=0

−
an (z − z0 )	n
an (z − z0 )
n=−1

n=−m =


a−m (z − z0 )	−m
a−m (z − z0 )
m=1

и называется сходящимся, сходятся оба

этих ряда. Первый из этих рядов сходится при | z − z0 | R , а второй – при | z − z0 | r . Здесь

R и r − некоторые числа, и предполагается, что r R , так как в противном случае ряд (10) всюду расходится. Значит, областью сходимости ряда (10) является кольцо r | z − z0 | R

(рис. 3).

Рисунок 3

Далее будет изучаться возможность представления аналитической в кольце функции в виде суммы ряда (10). Пусть такое представление возможно:

r \| z − z	0	\| R
	0

f (z) =

an (z −

n=−

z		)	n
	0

(11)

Умножим обе части равенства (11) на

, k

= 0,

... :

k +1

2πi

(z − z

)

f (z)

= an

(z − z0 )

n−k −1

(12)

k +1

2πi

(z − z

)

2πi

n=−

Проинтегрируем

обе части

этого

равенства

вдоль

произвольной окружности ( ) :

| z − z0 |= ρ,

где r ρ R

(на

рис.

эта

окружность

проведена

пунктирной

линией).

Получим:

f (z)

n−k −1

dz =

(z − z0 )

dz =

(z − z0 )

dz .

(13)

(z − z0 )

k +1

2πi

( )

( Г )

n=−

2πi

n=−

2πi ( Г )

Рассмотрим интегралы в правой части (13) при различных значениях

n :

а) n − k −1 0, т.е. n k +1

(z − z0 )

n−k −1

, как интеграл от аналитической функции

dz = 0

( )

по замкнутому контуру;

221

б)	n − k −1 −2	, т.е. n k −1, тогда подставим z − z0					= ρe	iφ	,

			2π		2π
	(z − z0 )n−k −1dz	=		ρn−k −1ei(n−k −1)φi eiφ dφ = iρn−k		ei (n−k )φ dφ		=

( )			0		0

периодичности (с периодом					2πi ) показательной функции
в) n = k		dz		= 2πi , как было показано ранее.
		z − z	0
	( )

z = z			0

iρ	n−k
			i

e	z	.

+ ρe	iφ	,

1
(n − k)

dz = i e				iφ
dz = i e
e	i (n−k )φ	\|	2π	=
e		\|		=

			0

в силу

Таким образом, в правой части формулы (13) лишь один член (в котором n

нуля, и эта формула принимает вид

f (z)

dz = ak .

2πi

(z − z

)

k +1

( )

В итоге, если аналитическую

в кольце

r | z − z0

| R функцию можно

представить в виде суммы ряда

an (z − z0 )n (10), то такое представление

n=−

коэффициенты an находятся по формулам

f (z)

2πi

(z − z

)

n+1

( )

n = 0, 1, 2,..., ( ) : | z − z0 |= ρ , r ρ R .

= k ) отличен от

в этом кольце

единственно, и

(14)

Определение 2. Ряд (10) с коэффициентами (14) называется рядом Лорана для функции f (z) .

Теорема 5. Пусть функция w = f (z) аналитична в кольце (D) : 0 r | z − z0 | R . Тогда ее можно представить в виде суммы сходящегося ряда Лорана (10) с коэффициентами (14).

Для экономии места и времени доказательство этой теоремы в данном курсе приводится не будет.

	Пример. Разложить функцию f ( z
а) \| z \| 1	; б) 1 \| z \| 2 ; в) 0 \| z −1 \| 3 .

Решение. Разложим исходную правильную

) =		2z + 1
) =	2	в ряд Лорана в областях:
z		+ z − 2

рациональную дробь на простые дроби:

		2z + 1	=	2z + 1	=	A	+
	2
z		+ z − 2		( z + 2)( z − 1)		z + 2

B z − 1

. Отсюда

2z +1 =

A(z

−1) + B(z

Подставим в это равенство

z = 1

z = −2 :

−3 = −3A B = 1 , A = 1. Таким образом,

f ( z) =

3 = 3B ,

z + 2

z −1

а) В этом случае z0 = 0

f (z) аналитична в области

| z | 1 , т.е. ряд Лорана превращается в

формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеем:

(−1)

f ( z) =

−

(−1)n (

)

− z n =

−1 z n

n +1

1 − z

n =0

n =0 2

(обе прогрессии бесконечно убывающие, так как | q

−z

| z |

| q

|=| z

| 1 ).

б) Здесь, по-прежнему,

= 0 и f (z)

аналитична в кольце 1 | z

| 2

(особые точки z = −2 и

ряд Тейлора. Используя

z = 1 ) (рис. 4).

222

В этом кольце дробь

1 z + 2

Рисунок 4
раскладывается точно так же, как в случае а), так как \| q1	\|=	−z	=	\| z \|	1 . Для разложения

	2		2

второй дроби (а в ней

| 1 )

поступим следующим образом:

. Последнее выражение уже можно

z −1

1 −

рассматривать как сумму бесконечно убывающей прогрессии с первым членом

= 1

и знаменателем

, | q | 1 .

(−1)

Тогда

. В итоге,

f ( z) =

+ .

n +1

−

n =0

k =1

n =0

n =1

в) В этом случае

= 1

f (z)

аналитична в кольце 0 | z −1 | 3

(рис. 5) (внутренней границей кольца является сама

точка

z = 1 ). Тогда дробь

уже является частью искомого ряда Лорана как всякая степень

z − z

= z −1

, с дробью

z −1

же

поступим так:

. Последнее выражение является суммой бесконечно убывающей

z + 2

z −1 + 3

1 +

−1

геометрической прогрессии с первым членом

b1 = 1

и знаменателем

q = −

z − 1

z −1 |

. Тогда

(

z −1

)

(−1)

Тогда

(−1)

( z −1)

. В итоге,

f ( z) =

( z −1)

z −1

n +1

n =0

z −1

n =0

Рисунок 5

Во всех трех случаях мы использовали единственность разложения функции в ряд Лорана (или Тейлора), т.е. некоторыми преобразованиями получали разложение, а затем использовали то обстоятельство, что других разложений у функции в данной области быть не может.

223

ЛЕКЦИЯ 7

Классификация изолированных особых точек

Определение 1. Точка существует.

z	0

называется особой точкой функции

w =

(z)

, если

f '(z	0	)
	0

не

Определение 2. Особая точка

функции

w = f (z)

называется изолированной, если

w = f (z)	аналитична в некоторой проколотой окрестности точки z0 .
Пусть z0	− изолированная особая точка функции w = f (z) . Тогда в проколотой окрестности
точки z0	, т.е. в области 0 \| z − z0 \| R , где R −некоторое число, эту функцию можно

разложить в ряд Лорана:


f (z) = an (z − z0 )	n
f (z) = an (z − z0 )
n=−

		+
= an (z − z0 )	n	+
	n
n=0

a−n (z − n=1

z		)	−n
	0

(1)

Определение 3. Первая сумма в правой части формулы (1) называется правильной частью ряда Лорана, а вторая сумма в правой части этой формулы называется главной частью ряда Лорана.

Определение 4. Изолированная особая точка разложении (1) главная часть отсутствует, т.е. a−n


z	0
	0
0		,

называется устранимой, если в

n =1,2,...

Теорема 1. Для того чтобы изолированная особая точка

и достаточно, чтобы существовал конечный предел	lim	f
	z→z
	0

z	0

(z)

была устранимой необходимо

Необходимость. Пусть z0			− устранимая особая точка функции

при	0 \| z − z0 \| R	f (z) = an (z − z0 )n . Правая часть этой

n=0

f (z) . Это означает, что

формулы, как сумма

сходящегося степенного ряда, непрерывна в точке z0 , значит, ее предел при			z
сумме ряда в точке z0 .		Так как последняя сумма равна a0 , то существует
предел левой части	lim	f (z) = a
предел левой части	z→z	0 .
	0

→ z0 равен и конечный

Достаточность. Пусть, наоборот, существует конечный

lim z→z0

(z)

. Тогда функция

w = f (z)

ограничена в окрестности точки

; пусть в этой окрестности

формул для коэффициентов ряда Лорана и оценки для интегралов комплексного переменного тогда следует , что при достаточно малом

| an

f (z)n+1 dz

2πρ =

2πi

n+1

|z−z

|=ρ

(z − z

)

2π ρ

f (

от

) | M. Из

функций

(2)

В правой части этой формулы ρ можно взять сколь угодно малым, тогда при отрицательных n правая (а значит, и левая) часть сколь угодно мала, а это может быть только тогда, когда эти части равны 0. Итак, an = 0 при n = −1, − 2, ...■

Определение 5. Изолированная особая точка z0 называется полюсом функции w = f (z) , если в разложении (1) главная часть содержит лишь конечное число членов. Пусть a−n = 0

224

для n k (где k − некоторое натуральное число) и a−k 0 . Тогда число			k	называется
порядком полюса (т.е. порядок полюса это наибольшее число	k N , для которого a−k 0 ).
Полюса первого порядка также называются простыми полюсами.
Можно показать, что это определение эквивалентно тому, что	lim	f (z) = .
	z→z
	0

Определение 6. Изолированная особая точка z0 называется существенно особой точкой

функции w = f (z) ,	если в разложении (1) главная часть содержит бесконечное число
членов.
Можно показать, что это определение эквивалентно тому, что								lim f (z)		не существует.
								z→z
								0
					Теоремы о полюсах
Теорема 2. Пусть в (проколотой)					окрестности точки z0		функция		w = f (z) может быть
представлена в виде	f (z) =	φ(z)				, где φ(z) аналитическая в этой (уже не проколотой)
представлена в виде	f (z) =	(z − z		)	k	, где φ(z) аналитическая в этой (уже не проколотой)
					k
			0
			0

окрестности и φ( w = f (z) порядка

z0 k

)

, а

−

некоторое натуральное число. Тогда

z	0

−

полюс функции

Разложим

аналитическую функцию

φ(z)

ряд Тейлора в

окрестности точки

z0 :

φ(z) = a0 + a1 (z − z0 ) + a2

(z − z0 )

+...

, при этом

φ(z0 ) = a0 0 . Тогда

φ(z)

f (z) =

+...

Это есть разложение функции

f (z)

k −1

(z − z

)

k −2

(z − z

)

(z − z

)

(z − z

)

ряд Лорана в проколотой окрестности точки

(в силу единственности такого разложения),

в котором a0

, значит,

z0 − полюс функции

w = f (z) порядка

k . ■

Определение 7. Точка

называется нулем аналитической в ее окрестности функции

φ(z)

кратности m

(где m =1,

2, ...), если в окрестности этой точки φ(z) = (z − z0 )

g(z) , где

g(z)

аналитична в этой окрестности и

g(z

) 0

Теорема

(m)	(z	)
(m)
	0

3. Это определение эквивалентно тому, что

0 .

φ(z	0	) =
	0

φ '(z	) =
0

…=

φ	(m−1)	(z	)

		0

=0,

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы

многочлена.	А	именно,	пусть	φ(z) = (z − z0 )	m	g(z) ,

φ '(z) = m(z − z0 )m−1 g(z) + (z − z0 )m g '(z) = (z − z0 )m−1 mg(z) + (z − z0 )g '(z)

где g1 (z) −аналитическая в исходной окрестности и g1(z0 ) = mg(z0 ) 0

о кратных корнях

; отсюда φ '(z0 ) = 0 .

Аналогично φ ''(z) = (z − z0 )m−2 (m −1)g1 (z) + (z − z0 )g1 '(z) = (z − z0 )m−2 g2 (z) , где

g	2	(z)
	2

аналитична в исходной окрестности и	g2 (z0 ) = (m −1)g1(z0 ) 0 ; отсюда φ''(z0 ) = 0 . И так
далее. φ(m−1) (z) = (z − z0 )gm−1 (z) , где	gm−1 (z) аналитична в исходной окрестности и

gm−1 (z0 ) 0 ; отсюда φ(m−1) (z ) = 0 . φ(m) (z) = g − (z) + (z − z )g / − (z) ; φ(m) (z ) = g − (z ) 0 .

0 m 1 0 m 1 0 m 1 0

225

Пусть теперь,

наоборот,

φ(z0 ) =

φ '(z0 ) = …

( m−1)

(z0 ) = 0 ,

(z0 ) 0 .

аналитическую в окрестности точки

функцию φ(z)

в ряд Тейлора, имеем:

(n)

)

(n)

)

φ(z) =

n−m

(z − z0 )

= (z − z0 )

g(z) ,

n=0

n=m

(n)

)

n−m

g(z) =

(z − z

)

аналитична

в нашей

окрестности,

как сумма

n=m

(m)

)

степенного ряда, и g(z0 ) =

. ■

Теорема 4.

Пусть в проколотой окрестности точки

0 функция

w = f (z)

Раскладывая

где

сходящегося

может быть

представлена в виде

f (z)


окрестности,	φ(z)	имеет

кратности n m . Тогда			z

φ(z)

, где φ(z) и

ψ(z) аналитичны в этой (уже не проколотой)

ψ(z)

в точке

z0 нуль кратности

m , а ψ(z)

имеет в точке

z0 нуль

−

полюс функции

w = f (z)

порядка

n −m

По условию теоремы в окрестности точки

z	0

f (z) =	φ(z)	=
	ψ(z)

, где

g	(z)
1

2	(z)

(z) =

аналитичны в этой окрестности и							g1(
g (z)
	1
g	2	(z)				. Числитель этой дроби
						. Числитель этой дроби

(z − z				)	n−m
(z − z			0	)
			0

z0 ) 0	,	g	2

является

(z	0	) 0	. Тогда в этой окрестности

функцией аналитической в (не

проколотой) окрестности как отношение двух аналитических функций при знаменателе, отличном от нуля, откуда по теореме 2 и следует нужный нам результат. ■

Замечание. Из доказательства теоремы видно, что ее можно применять и при							m = 0 , т.е.
если	z0 , вообще, не является нулем функции φ(z) .	Кроме того,			из	приведенного
рассуждения видно, что теорему можно применять и		при	n m	.	В	этом	случае в

проколотой окрестности точки

z	0

f (z) =

g		(z)	(z −
	1		(z −
	1
g	2	(z)
	2

z		)	m−n
	0

, где

g	(z)
i

аналитические и

g	(z	) 0
i	0

функции

i=1,2,

=f (z)

значит, существует конечный lim f (z) , и

z→z0

Вычеты и их нахождение

z	0

устранимая особая точка

Определение 8. Пусть

z	0

−

изолированная

особая точка функции

w = f (z)

f (z) =


an (z − z0 )	n
an (z − z0 )
n=−

– разложение этой функции в ряд Лорана в проколотой окрестности


точки	z	0	. Вычетом функции			w = f (z)	в точке	z	0	называется коэффициент
точки		0	. Вычетом функции				в точке		0	называется коэффициент
коэффициент при (z − z0 )				−1	в этом разложении.
коэффициент при (z − z0 )					в этом разложении.

Обозначение: a−1	= Res f (z0 ) = Re s f (z) .
	z =z0

Из формулы для нахождения коэффициентов ряда Лорана при n = −1 следует, что

a−1

, т.е.

226

где

f (z

( )	– окружность	\| z − z	0	\|=
	– окружность		0
)

нет других особых точек.

Res f (z0 ) =	1		f (z)dz ,	(3)
	2 i
		( )

ρ , а ρ столь мало, что внутри этой окружности и на ней у

Нахождение вычетов в особых точках в зависимости от их вида проводится следующим образом:

а)

− устранимая особая точка функции

w = f (z) a−1 = 0 Res

f (z0 ) = 0 ;

б)

−

существенно особая точка функции

w = f (z)

; в этом случае функцию следует

разложить в ряд Лорана и найти коэффициент

a−1

в этом разложении;

в)

− полюс функции w = f (z)

порядка

k ;

тогда в проколотой окрестности точки

ее разложение в ряд Лорана принимает вид:

f (z) =

−k

+...

−1

+ a

+ a (z − z

) +...

(4)

k −1

(z − z

)

(z − z

)

z − z

откуда, умножая обе части этого равенства на

(z − z0 )

, имеем:

f (z)(z − z

)

= a

+ a

(z − z

) +... + a

(z − z

)

k −1

+ a

(z − z

)

+ a (z − z

)

k +1

+...

−k

−k +1

−1

Продифференцируем обе части последнего равенства

k −1

раз. При этом степенной ряд в

правой

его

части

можно дифференцировать почленно,

производные всех

степеней

(z − z

)

, меньших, чем k

−1, будут равны 0. Получим:

f (z)(z − z		)	k	(k −1)	= a	(k −1)!+ a k !(z − z		) + a (k +1)k ... 3(z − z		)	2	+...


	0				−1	0	0	1	0

(5)

Теперь

перейдем

равенстве

(5)

к пределу

при

z → z0 .

Правая часть, как

сумма

сходящегося степенного ряда, непрерывна в точке

, значит,

предел при

z → z0

правой

части существует и равен сумме ряда в точке

т.е. a−1(k −1)!.

Раз существует предел

правой

части,

то

существует

такой же

предел

левой

части

равенства

lim f (z)(z − z

)

(k −1)

= a

(k −1)!

, откуда

z→z

−1

Res

f (z0 ) =

lim f (z)(z

− z

)

(k −1)

(6)

−1)!

z→z

Замечание. При выводе формулы (6) не использовалось отличие от 0 коэффициента

a−k

(равно как и других коэффициентов в формуле (4)). Так как при a−k = 0 порядок полюса уже

будет меньше чем k , то формула (6), на самом деле, справедлива не только для полюса порядка k , но и для полюса любого меньшего порядка, т.е. порядок полюса в формуле (6) можно (если это целесообразно) «перебрать».

В частности, для простого полюса (т.е. при

Res f (z0 ) =

k =1 )
lim f (z)(z − z0 )	(7)
z→z0

227

Рассмотрим здесь также случай, при котором в проколотой окрестности точки

z	0

функция

w = f (z)

может быть представлена в виде

f (z) =

φ(z)

, где φ(z)

ψ(z) аналитичны в этой

ψ(z)

(уже не проколотой) окрестности, φ(z0 ) 0, а

ψ(z)

имеет в точке z0

нуль кратности 1, т.е.

ψ(z0 ) = 0

, а ψ'(z0 ) 0 . Тогда, по замечанию к теореме 4,

− простой полюс

f (z) и,

согласно формуле (7), Res f (z0 ) = lim

φ(z)

(z − z0 ) =

lim

φ(z)

φ(z

)

ψ(z)

− ψ(z

)

ψ '(z

)

z→z

z − z

В итоге,

)

Re s f (z0 ) =

(8)

)

Примеры. Найти вычеты функций в их особых точках. Решения.

1.	f

lim
z →0
2.	f

( z)

sin z ( z)

sin z			. Единственной особой точкой этой функции является точка			z	= 0	. Это устранимая особая точка, так как
						z	= 0
	z					0
	z
= 1		. Значит, Res f (0) = 0		(это же следует из разложения	f (z) в ряд Лорана в проколотой окрестности z0 = 0 ).
z	4	sin	1						z	= 0
z		sin	. Единственной особой точкой этой функции снова является точка						z	= 0	. Так как на всей комплексной
									0		. Так как на всей комплексной
			z

плоскости

	z	3
sin z = z −			+

	3!

z	5
		−

5!

z	7
		+

7 !

...

то при

заменяя в этом разложении

на 1/z, имеем:

f ( z) = z

(

)

−

+ ...

−

3! z

5! z

7 ! z

5! z

Лорана в проколотой окрестности точки

= 0

(в силу

разложения содержит бесконечное число членов,

значит,

1	+ ...
	+ ...
	Это и есть разложение исходной функции в ряд
! z	3
! z

единственности такого разложения). Главная часть этого

= 0 −	существенно особая точка, и вычет	f (z)	в этой точке

				1	−		1	=	1
– коэффициент при					−	равен		=	.
– коэффициент при				z		равен			.
				z			5!		120
	f ( z) =	1 + cos z
3.	f ( z) =		. Единственной особой точкой этой функции является точка
		( z − π)	6
		( z − π)

z 0

. Знаменатель в этой точке имеет

нуль кратности 6, а числитель – нуль кратности 2:

\|
(1 + cos z)	= 0;
	z = π

(1 + cos z) '	\|	\|
(1 + cos z) '		= − sin z	= 0;
	z = π		z = π

(1 + cos z) ''|

z = π

= − cos z|

z = π

= 1 0 . Тогда по теореме 4

z0 = π −

полюс

f (z) 4-го порядка. Однако нахождение вычета в

1 + cos z

///

этой точке по формуле (6) при

k = 4

затруднительно: Res

f (π) =

lim

. Поэтому, согласно замечанию к

z →π

( z − π)

формуле (6), применим для нахождения вычета эту формулу при

k = 6

1 + cos z

( 5 )

f (π) =

( 5 )

lim − sin z

Res

lim

( z − π)

lim 1 + cos z

= 0

z →π

( z −

π)

120

z →π

120

z → π

Теорема 5 (основная теорема о вычетах).

Пусть функция w = f (z) аналитическая в

некоторой области (D) за исключением конечного числа изолированных особых точек и

(L) (D) − кусочно-гладкая замкнутая кривая, не проходящая через эти точки. Тогда

f (z)dz = 2πi Re s

f (zk ) ,

(9)

( L)

k =1

228

где

zk ,

Пусть них и на

=1, 2, ..., n − особые точки

f (z) , лежащие внутри кривой (L)

(рис. 1).

Рисунок 1
( k ) , k =1, 2, ..., n − окружности с центрами в особых точках		zk	такие, что внутри
них нет других особых точек функции f (z) , кроме	zk . По интегральной теореме

	n
Коши для неодносвязных областей	f (z)dz = f (z)dz . Но тогда, согласно формуле (3),
( L)	k =1 ( )
	k

	f (z)dz =
( )
k

2πi

Res

(z	k

)

		z
		tg
Пример 1. Вычислить интеграл		2	2
Пример 1. Вычислить интеграл			dz .
	\| z +1\| =3	( z −1)

Решение. Исходный интеграл равен 2 i Re s f (1) + Re s (− ) , так как особыми точками этой

z = 1	(лежит внутри контура интегрирования) и точки, где	cos	z	= 0	, т.е.	z	=	π	+ 2πk ,	z

			2			2		2

только точка

−π

лежит внутри контура интегрирования (рис. 2).

функции являются точка

= π + 4πk , из которых

Точка	z

Res	f (1)

1	– полюс 2-го порядка (

	tg	z			/
	tg				/
limz →1	2		( z − 1)	2		=
limz →1	( z −1)2		( z − 1)			=

tg	1	0
tg		0
	2

lim	(	tg
lim		tg
z →1

Рисунок 2 ), значит, по формуле (6)

	)
z	/		1			1
2		= lim		z	=		1	. Что касается точки
		z →1	2 cos2			2 cos2


			2			2

−π

, то в окрестности

этой точки подынтегральную функцию можно представить в виде отношения двух аналитических функций:

229

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2523 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.06.20245.04 Mб2L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_1.pdf
#
01.06.20246.08 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_2.pdf
#
01.06.20242.46 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_3.pdf
#
01.06.20241.39 Mб10вышмат полезно.pdf
#
01.06.2024482.88 Кб3кр по алегебре.pdf
#
01.06.20245.41 Mб76лекции вышмат.pdf
#
01.06.20241.34 Mб2линейная алгебра и агалитич геом.pdf