
лекции вышмат
.pdf
(1+ z) |
α |
|
=1+ αz + |
α(α −1) |
z |
|
|
2 |
|
2! |
|
|
α(α −1) |
... (α − n +1) |
|
|
|
+... =1+ |
z |
n |
|||
|
|
||||
|
n! |
|
|||
n=1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
.
Первые три разложения справедливы на всей комплексной плоскости в силу аналитичности
на ней функций e |
z |
, |
sin z , |
cos z . Два последних разложения справедливы при | z | 1 , так |
|||
|
|||||||
как z = −1 является особой точкой функций ln(1+ z) и (1+ z) |
α |
, значит, |
ρ , как расстояние |
||||
|
от 0 до −1, |
равно 1. В последнем разложении α − произвольное (не действительное, |
натуральное) |
комплексное число и (1+ z)α = eαln(1+z) ; если же α − натуральное число, то ряд |
превращается в конечную сумму
α
n=1
, и мы получаем формулу бинома Ньютона, которая
верна для всех
z
.
Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры
Теорема 3 (Лиувилля). Пусть w = f (z) аналитическая на всей комплексной плоскости и
ограниченная ( f (z) M ) функция. Тогда f (z) C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если |
z0 |
произвольная фиксированная точка, |
то в разложении функции |
f (z) |
в ряд |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
f (ζ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
Тейлора |
f (z) = an (z − z0 ) |
n |
(7) |
коэффициенты |
a |
= |
|
|
|
dζ |
|
(8) при контуре |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n |
2πi |
(ζ − z |
) |
n+1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( L) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(L) в виде окружности − z0 |
= |
допускают оценку |
a |
|
1 |
M |
2 = |
M |
. Т.к. при n > 0 |
||||||||||||
|
|
n+1 |
|
n |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и больших |
выражение |
M |
сколько угодно мало, то a |
= 0, n =1, 2,3,..., и |
f (z) = a |
.■ |
|||||||||||||||
|
n |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 4 (основная теорема алгебры). Любой многочлен степени n = 1,2,3…. имеет хотя бы один корень.
Пусть многочлен |
f (z) |
не имеет корней. Тогда функция w = |
1 |
аналитическая на всей |
|
f (z) |
|||||
|
|
|
|
комплексной
ограниченна
1 |
= C f |
|
f (z) |
||
|
плоскости. Т.к. lim f (z) = , то lim |
1 |
= 0 , |
следовательно функция |
|
|
||||
z→ |
z→ f (z) |
f |
||
на всей комплексной |
плоскости. |
|
Тогда |
по теореме Лиувилля |
(z) = const , что противоречит условию теоремы. |
1 (z)
3
Ряд Лорана
|
|
|
|
1 |
||
Рассмотрим ряд an (z − z0 )−n . После замены |
||||||
|
z − z0 |
|||||
|
|
|
n=1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ряд |
anζ |
n |
, который сходится (абсолютно) при | ζ |
|||
|
||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
ряд an (z − z0 )−n сходится (абсолютно) при |
||||||
|
n=1 |
|
|
| z − z0 |
Теперь рассмотрим ряд
= ζ этот ряд превращается в степенной
| R , где R − радиус сходимости. Т.е. |
||
R , | z − z0 | |
1 |
. |
|
||
| |
R |
220

an (z −
n=−
Этот ряд понимается как сумма двух рядов:
z |
|
) |
n |
0 |
|
||
|
|
|
.
(10)
|
|
an (z − z0 ) |
n |
|
|
n=0 |
|
и
− |
|
an (z − z0 ) |
n |
|
|
n=−1 |
|
n=−m =
|
|
a−m (z − z0 ) |
−m |
|
|
m=1 |
|
и называется сходящимся, сходятся оба
этих ряда. Первый из этих рядов сходится при | z − z0 | R , а второй – при | z − z0 | r . Здесь
R и r − некоторые числа, и предполагается, что r R , так как в противном случае ряд (10) всюду расходится. Значит, областью сходимости ряда (10) является кольцо r | z − z0 | R
(рис. 3).
Рисунок 3
Далее будет изучаться возможность представления аналитической в кольце функции в виде суммы ряда (10). Пусть такое представление возможно:
r | z − z |
0 |
| R |
|
|
f (z) =
an (z −
n=−
z |
|
) |
n |
0 |
|
||
|
|
|
.
(11)
Умножим обе части равенства (11) на |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, k |
= 0, |
1, |
2, |
... : |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k +1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πi |
|
(z − z |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
f (z) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= an |
(z − z0 ) |
n−k −1 |
. |
|
|
(12) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2πi |
(z − z |
|
) |
|
|
|
|
|
|
2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
n=− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проинтегрируем |
обе части |
этого |
равенства |
|
вдоль |
произвольной окружности ( ) : |
|||||||||||||||||||||||||||
| z − z0 |= ρ, |
где r ρ R |
(на |
рис. |
3 |
эта |
окружность |
проведена |
|
пунктирной |
линией). |
|||||||||||||||||||||||
Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
f (z) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
n−k −1 |
|
an |
|
|
|
|
n−k −1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
dz = |
|
|
|
|
(z − z0 ) |
|
|
|
|
dz = |
|
|
|
(z − z0 ) |
dz . |
(13) |
||||||||||||
|
|
(z − z0 ) |
k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2πi |
( ) |
|
( Г ) |
n=− |
|
2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=− |
|
2πi ( Г ) |
|
|
|
|||||||||
Рассмотрим интегралы в правой части (13) при различных значениях |
n : |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
а) n − k −1 0, т.е. n k +1 |
|
(z − z0 ) |
n−k −1 |
|
|
|
, как интеграл от аналитической функции |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dz = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по замкнутому контуру;
221

б) |
n − k −1 −2 |
, т.е. n k −1, тогда подставим z − z0 |
= ρe |
iφ |
, |
||||
|
|||||||||
|
|
|
2π |
|
2π |
|
|
|
|
(z − z0 )n−k −1dz |
= |
|
ρn−k −1ei(n−k −1)φi eiφ dφ = iρn−k |
|
ei (n−k )φ dφ |
= |
|||
|
|
|
|||||||
( ) |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
периодичности (с периодом |
2πi ) показательной функции |
||||
в) n = k |
|
dz |
|
= 2πi , как было показано ранее. |
|
z − z |
0 |
||||
|
( ) |
|
|
|
z = z |
0 |
||
|
|
|
|
iρ |
n−k |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
e |
z |
. |
|
|
|
+ ρe |
iφ |
, |
|
||
1 |
|
|
(n − k) |
dz = i e |
iφ |
|||
|
||||
e |
i (n−k )φ |
| |
2π |
= |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
:
0
в силу
Таким образом, в правой части формулы (13) лишь один член (в котором n
нуля, и эта формула принимает вид |
1 |
|
|
|
|
|
f (z) |
|
dz = ak . |
|||||||
2πi |
|
(z − z |
) |
k +1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
В итоге, если аналитическую |
в кольце |
|
r | z − z0 |
| R функцию можно |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представить в виде суммы ряда |
an (z − z0 )n (10), то такое представление |
|||||||||||||||
|
n=− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коэффициенты an находятся по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
a |
= |
|
1 |
|
|
|
|
f (z) |
|
dz |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n |
|
|
2πi |
(z − z |
) |
n+1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
n = 0, 1, 2,..., ( ) : | z − z0 |= ρ , r ρ R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= k ) отличен от
в этом кольце
единственно, и
(14)
Определение 2. Ряд (10) с коэффициентами (14) называется рядом Лорана для функции f (z) .
Теорема 5. Пусть функция w = f (z) аналитична в кольце (D) : 0 r | z − z0 | R . Тогда ее можно представить в виде суммы сходящегося ряда Лорана (10) с коэффициентами (14).
Для экономии места и времени доказательство этой теоремы в данном курсе приводится не будет.
|
Пример. Разложить функцию f ( z |
а) | z | 1 |
; б) 1 | z | 2 ; в) 0 | z −1 | 3 . |
Решение. Разложим исходную правильную
) = |
|
2z + 1 |
2 |
в ряд Лорана в областях: |
|
z |
+ z − 2 |
|
|
|
рациональную дробь на простые дроби:
|
|
2z + 1 |
= |
2z + 1 |
= |
A |
+ |
|
2 |
|
|
|
|||
z |
+ z − 2 |
|
( z + 2)( z − 1) |
|
z + 2 |
|
|
|
|
|
|
B z − 1
. Отсюда
2z +1 =
A(z
−1) + B(z
+
2)
.
Подставим в это равенство
z = 1
и
z = −2 : |
|
|
|
|
−3 = −3A B = 1 , A = 1. Таким образом, |
f ( z) = |
1 |
+ |
1 |
|
|||||||||||||||||||
3 = 3B , |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + 2 |
|
z −1 |
|
|
а) В этом случае z0 = 0 |
и |
f (z) аналитична в области |
| z | 1 , т.е. ряд Лорана превращается в |
||||||||||||||||||||||||||
формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеем: |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
z |
|
n |
|
|
|
|
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
f ( z) = |
|
|
|
|
− |
|
= |
|
(−1)n ( |
|
) |
|
− z n = |
|
|
|
|
|
|
−1 z n |
|
|
|
|
|||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
1 − z |
|
2 |
n =0 |
2 |
|
|
n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
n =0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(обе прогрессии бесконечно убывающие, так как | q |
|= |
|
−z |
|
= |
| z | |
|
1 |
и |
| q |
|=| z |
| 1 ). |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) Здесь, по-прежнему, |
z0 |
= 0 и f (z) |
аналитична в кольце 1 | z |
| 2 |
(особые точки z = −2 и |
ряд Тейлора. Используя
z = 1 ) (рис. 4).
222

В этом кольце дробь
1 z + 2
Рисунок 4 |
|
|
|
|
|
раскладывается точно так же, как в случае а), так как | q1 |
|= |
−z |
= |
| z | |
1 . Для разложения |
|
|
||||
|
2 |
2 |
|
второй дроби (а в ней |
|
| |
z |
| 1 ) |
|
поступим следующим образом: |
|
1 |
|
= |
|
1 |
|
1 |
|
|
. Последнее выражение уже можно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
z |
1 − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рассматривать как сумму бесконечно убывающей прогрессии с первым членом |
b |
|
= 1 |
и знаменателем |
q |
= |
1 |
, | q | 1 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
. В итоге, |
f ( z) = |
|
|
|
|
z |
n |
+ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
n +1 |
|
|
k |
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
1 |
z |
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
z |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
− |
|
n =0 |
|
|
|
n =0 |
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n =0 |
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) В этом случае |
z |
= 1 |
|
и |
|
f (z) |
аналитична в кольце 0 | z −1 | 3 |
(рис. 5) (внутренней границей кольца является сама |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точка |
z = 1 ). Тогда дробь |
|
1 |
|
уже является частью искомого ряда Лорана как всякая степень |
|
z − z |
= z −1 |
, с дробью |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
1 |
|
= |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
же |
|
поступим так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
. Последнее выражение является суммой бесконечно убывающей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
z + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
z + 2 |
|
|
z −1 + 3 |
|
|
|
3 |
1 + |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
геометрической прогрессии с первым членом |
b1 = 1 |
и знаменателем |
q = − |
z − 1 |
, |
| |
|
q |
|= |
| |
z −1 | |
1 |
. Тогда |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
( |
z −1 |
) |
n |
|
|
|
|
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
= |
|
(−1) |
n |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
( z −1) |
n |
. В итоге, |
|
f ( z) = |
|
|
+ |
|
|
|
|
( z −1) |
n |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
1 |
+ |
|
3 |
n |
=0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
n =0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
n =0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 5
Во всех трех случаях мы использовали единственность разложения функции в ряд Лорана (или Тейлора), т.е. некоторыми преобразованиями получали разложение, а затем использовали то обстоятельство, что других разложений у функции в данной области быть не может.
223

ЛЕКЦИЯ 7
Классификация изолированных особых точек
Определение 1. Точка существует.
z |
0 |
|
называется особой точкой функции
w =
f
(z)
, если
f '(z |
0 |
) |
|
|
не
Определение 2. Особая точка |
z0 |
функции |
w = f (z) |
называется изолированной, если |
w = f (z) |
аналитична в некоторой проколотой окрестности точки z0 . |
Пусть z0 |
− изолированная особая точка функции w = f (z) . Тогда в проколотой окрестности |
точки z0 |
, т.е. в области 0 | z − z0 | R , где R −некоторое число, эту функцию можно |
разложить в ряд Лорана:
|
|
f (z) = an (z − z0 ) |
n |
|
|
n=− |
|
|
|
+ |
= an (z − z0 ) |
n |
|
|
|
|
n=0 |
|
|
a−n (z − n=1
z |
|
) |
−n |
0 |
|
||
|
|
|
.
(1)
Определение 3. Первая сумма в правой части формулы (1) называется правильной частью ряда Лорана, а вторая сумма в правой части этой формулы называется главной частью ряда Лорана.
Определение 4. Изолированная особая точка разложении (1) главная часть отсутствует, т.е. a−n
=
z |
0 |
|
|
||
0 |
, |
называется устранимой, если в
n =1,2,...
Теорема 1. Для того чтобы изолированная особая точка
и достаточно, чтобы существовал конечный предел |
lim |
f |
|
z→z |
|
|
0 |
|
z |
0 |
|
|
(z) |
была устранимой необходимо
.
Необходимость. Пусть z0 |
− устранимая особая точка функции |
||
|
|
|
|
при |
0 | z − z0 | R |
f (z) = an (z − z0 )n . Правая часть этой |
n=0
f (z) . Это означает, что
формулы, как сумма
сходящегося степенного ряда, непрерывна в точке z0 , значит, ее предел при |
z |
||
сумме ряда в точке z0 . |
Так как последняя сумма равна a0 , то существует |
||
предел левой части |
lim |
f (z) = a |
|
z→z |
0 . |
|
|
|
0 |
|
|
→ z0 равен и конечный
Достаточность. Пусть, наоборот, существует конечный
lim z→z0
f
(z)
. Тогда функция
w = f (z) |
ограничена в окрестности точки |
z0 |
; пусть в этой окрестности |
формул для коэффициентов ряда Лорана и оценки для интегралов комплексного переменного тогда следует , что при достаточно малом
| an |
|= |
1 |
|
|
f (z)n+1 dz |
1 |
|
M |
2πρ = |
M |
. |
|
2πi |
|
|
n+1 |
n |
||||||||
|
|
|z−z |
|=ρ |
(z − z |
) |
2π ρ |
ρ |
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (
от
z
) | M. Из
функций
(2)
В правой части этой формулы ρ можно взять сколь угодно малым, тогда при отрицательных n правая (а значит, и левая) часть сколь угодно мала, а это может быть только тогда, когда эти части равны 0. Итак, an = 0 при n = −1, − 2, ...■
Определение 5. Изолированная особая точка z0 называется полюсом функции w = f (z) , если в разложении (1) главная часть содержит лишь конечное число членов. Пусть a−n = 0
224

для n k (где k − некоторое натуральное число) и a−k 0 . Тогда число |
k |
называется |
||
порядком полюса (т.е. порядок полюса это наибольшее число |
k N , для которого a−k 0 ). |
|||
Полюса первого порядка также называются простыми полюсами. |
|
|
|
|
Можно показать, что это определение эквивалентно тому, что |
lim |
f (z) = . |
|
|
|
z→z |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Определение 6. Изолированная особая точка z0 называется существенно особой точкой
функции w = f (z) , |
если в разложении (1) главная часть содержит бесконечное число |
|||||||||
членов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно показать, что это определение эквивалентно тому, что |
lim f (z) |
не существует. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z→z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Теоремы о полюсах |
|
|
|
|
|
Теорема 2. Пусть в (проколотой) |
окрестности точки z0 |
функция |
w = f (z) может быть |
|||||||
представлена в виде |
f (z) = |
φ(z) |
|
|
, где φ(z) аналитическая в этой (уже не проколотой) |
|||||
(z − z |
|
) |
k |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
окрестности и φ( w = f (z) порядка
z0 k
)
.
0
, а
k
−
некоторое натуральное число. Тогда
z |
0 |
|
−
полюс функции
Разложим |
|
аналитическую функцию |
φ(z) |
|
|
в |
ряд Тейлора в |
окрестности точки |
z0 : |
|||||||||||||||||||||||||
φ(z) = a0 + a1 (z − z0 ) + a2 |
(z − z0 ) |
2 |
+... |
, при этом |
φ(z0 ) = a0 0 . Тогда |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
φ(z) |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (z) = |
|
|
|
|
= |
0 |
|
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+... |
Это есть разложение функции |
f (z) |
в |
||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k −1 |
(z − z |
|
) |
k −2 |
|||||||||||||||||
|
(z − z |
|
) |
|
|
(z − z |
|
) |
(z − z |
|
) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ряд Лорана в проколотой окрестности точки |
z |
0 |
(в силу единственности такого разложения), |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
в котором a0 |
0 |
, значит, |
z0 − полюс функции |
w = f (z) порядка |
k . ■ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Определение 7. Точка |
|
z |
0 |
называется нулем аналитической в ее окрестности функции |
φ(z) |
|||||||||||||||||||||||||||||
кратности m |
(где m =1, |
|
2, ...), если в окрестности этой точки φ(z) = (z − z0 ) |
m |
g(z) , где |
g(z) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
аналитична в этой окрестности и |
g(z |
0 |
) 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема
|
(m) |
(z |
) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3. Это определение эквивалентно тому, что
0 .
φ(z |
0 |
) = |
|
|
φ '(z |
) = |
0 |
|
…=
φ |
(m−1) |
(z |
) |
|
|||
|
|
0 |
|
=0,
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы
многочлена. |
А |
именно, |
пусть |
φ(z) = (z − z0 ) |
m |
g(z) , |
|
φ '(z) = m(z − z0 )m−1 g(z) + (z − z0 )m g '(z) = (z − z0 )m−1 mg(z) + (z − z0 )g '(z)
где g1 (z) −аналитическая в исходной окрестности и g1(z0 ) = mg(z0 ) 0
о кратных корнях
g(z |
0 |
) 0 |
, |
тогда |
||
|
|
|
|
|||
= (z − z |
0 |
)m−1 g (z) , |
||||
|
|
|
|
|
1 |
; отсюда φ '(z0 ) = 0 .
Аналогично φ ''(z) = (z − z0 )m−2 (m −1)g1 (z) + (z − z0 )g1 '(z) = (z − z0 )m−2 g2 (z) , где
g |
2 |
(z) |
|
|
аналитична в исходной окрестности и |
g2 (z0 ) = (m −1)g1(z0 ) 0 ; отсюда φ''(z0 ) = 0 . И так |
далее. φ(m−1) (z) = (z − z0 )gm−1 (z) , где |
gm−1 (z) аналитична в исходной окрестности и |
gm−1 (z0 ) 0 ; отсюда φ(m−1) (z ) = 0 . φ(m) (z) = g − (z) + (z − z )g / − (z) ; φ(m) (z ) = g − (z ) 0 .
0 m 1 0 m 1 0 m 1 0
225

Пусть теперь, |
наоборот, |
|
φ(z0 ) = |
φ '(z0 ) = … |
= |
φ |
( m−1) |
(z0 ) = 0 , |
φ |
m |
(z0 ) 0 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
аналитическую в окрестности точки |
z |
0 |
функцию φ(z) |
в ряд Тейлора, имеем: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
φ |
(n) |
(z |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ |
(n) |
(z |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
φ(z) = |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
n−m |
|
|
m |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
(z − z0 ) |
= |
(z − z0 ) |
|
|
0 |
|
(z − z0 ) |
= (z − z0 ) |
g(z) , |
||||||||||||||||||||
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
φ |
(n) |
(z |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
n−m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
g(z) = |
|
|
|
|
0 |
|
(z − z |
) |
|
аналитична |
в нашей |
окрестности, |
как сумма |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n! |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ |
(m) |
(z |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
степенного ряда, и g(z0 ) = |
|
|
0 |
|
|
0 |
. ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема 4. |
Пусть в проколотой окрестности точки |
z |
0 функция |
w = f (z) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Раскладывая
где
сходящегося
может быть
представлена в виде |
f (z) |
окрестности, |
φ(z) |
имеет |
|
|
|||
кратности n m . Тогда |
z |
= |
φ(z) |
, где φ(z) и |
ψ(z) аналитичны в этой (уже не проколотой) |
|||||||||
ψ(z) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
в точке |
z0 нуль кратности |
m , а ψ(z) |
имеет в точке |
z0 нуль |
|||||||
0 |
− |
полюс функции |
w = f (z) |
порядка |
n −m |
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
По условию теоремы в окрестности точки
z |
0 |
|
f (z) = |
φ(z) |
= |
|
ψ(z) |
|||
|
|
(z − z |
|
) |
m |
g |
(z) |
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
(z − z |
|
) |
n |
g |
|
(z) |
0 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
, где
g |
(z) |
1 |
|
и
g
f
2 |
(z) |
|
|
(z) = |
аналитичны в этой окрестности и |
g1( |
||||||
g (z) |
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
g |
2 |
(z) |
. Числитель этой дроби |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(z − z |
|
) |
n−m |
|
|
||
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
z0 ) 0 |
, |
g |
2 |
|
является
(z |
0 |
) 0 |
. Тогда в этой окрестности |
|
|
функцией аналитической в (не
проколотой) окрестности как отношение двух аналитических функций при знаменателе, отличном от нуля, откуда по теореме 2 и следует нужный нам результат. ■
Замечание. Из доказательства теоремы видно, что ее можно применять и при |
m = 0 , т.е. |
||||||
если |
z0 , вообще, не является нулем функции φ(z) . |
Кроме того, |
из |
приведенного |
|||
рассуждения видно, что теорему можно применять и |
при |
n m |
. |
В |
этом |
случае в |
|
|
проколотой окрестности точки
z |
0 |
|
f (z) =
g |
(z) |
(z − |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
g |
2 |
(z) |
|
|
|
|
z |
|
) |
m−n |
0 |
|
||
|
|
|
, где
g |
(z) |
i |
|
аналитические и
g |
(z |
) 0 |
i |
0 |
|
функции
,
w
i=1,2,
=f (z)
значит, существует конечный lim f (z) , и
z→z0
.
Вычеты и их нахождение
z |
0 |
|
устранимая особая точка
Определение 8. Пусть
z |
0 |
|
−
изолированная
особая точка функции
w = f (z)
и
f (z) =
|
|
an (z − z0 ) |
n |
|
|
n=− |
|
– разложение этой функции в ряд Лорана в проколотой окрестности
точки |
z |
0 |
. Вычетом функции |
w = f (z) |
в точке |
z |
0 |
называется коэффициент |
||
|
|
|
||||||||
коэффициент при (z − z0 ) |
−1 |
в этом разложении. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Обозначение: a−1 |
= Res f (z0 ) = Re s f (z) . |
|
z =z0 |
Из формулы для нахождения коэффициентов ряда Лорана при n = −1 следует, что
a−1
, т.е.
226

где
f (z
( ) |
– окружность |
| z − z |
0 |
|= |
|
|
|
||
) |
|
|
|
|
нет других особых точек.
Res f (z0 ) = |
1 |
|
f (z)dz , |
(3) |
|
2 i |
|||||
|
( ) |
|
|
||
|
|
|
|
||
ρ , а ρ столь мало, что внутри этой окружности и на ней у |
Нахождение вычетов в особых точках в зависимости от их вида проводится следующим образом:
а) |
z0 |
− устранимая особая точка функции |
w = f (z) a−1 = 0 Res |
f (z0 ) = 0 ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
z |
0 |
− |
существенно особая точка функции |
|
w = f (z) |
; в этом случае функцию следует |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
разложить в ряд Лорана и найти коэффициент |
a−1 |
в этом разложении; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) |
z0 |
− полюс функции w = f (z) |
порядка |
k ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
тогда в проколотой окрестности точки |
|
z |
0 |
ее разложение в ряд Лорана принимает вид: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
a |
−k |
|
|
|
+ |
a |
−k |
+1 |
|
+... |
a |
−1 |
|
+ a |
+ a (z − z |
|
) +... |
, |
|
(4) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k −1 |
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z − z |
|
) |
|
(z − z |
|
) |
|
|
|
z − z |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
откуда, умножая обе части этого равенства на |
(z − z0 ) |
k |
, имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (z)(z − z |
|
) |
k |
= a |
|
+ a |
|
(z − z |
|
) +... + a |
|
|
(z − z |
) |
k −1 |
+ a |
(z − z |
|
) |
k |
+ a (z − z |
|
) |
k +1 |
+... |
|
|||||||||||||||||
0 |
|
−k |
−k +1 |
0 |
−1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Продифференцируем обе части последнего равенства |
k −1 |
раз. При этом степенной ряд в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
правой |
его |
части |
можно дифференцировать почленно, |
и |
производные всех |
степеней |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(z − z |
0 |
) |
, меньших, чем k |
−1, будут равны 0. Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z)(z − z |
) |
k |
|
(k −1) |
= a |
(k −1)!+ a k !(z − z |
) + a (k +1)k ... 3(z − z |
) |
2 |
+... |
|||
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
−1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
(5)
Теперь |
перейдем |
в |
равенстве |
(5) |
к пределу |
при |
|
z → z0 . |
|
Правая часть, как |
сумма |
||||||||||||||||||
сходящегося степенного ряда, непрерывна в точке |
z |
0 |
, значит, |
предел при |
z → z0 |
правой |
|||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
части существует и равен сумме ряда в точке |
z |
0 |
, |
т.е. a−1(k −1)!. |
Раз существует предел |
||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
правой |
части, |
|
|
то |
существует |
такой же |
|
предел |
левой |
|
части |
равенства |
и |
||||||||||||||||
lim f (z)(z − z |
|
) |
k |
|
(k −1) |
= a |
(k −1)! |
, откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z→z |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Res |
f (z0 ) = |
lim f (z)(z |
− z |
|
) |
k |
|
(k −1) |
. |
|
|
(6) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k |
z→z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. При выводе формулы (6) не использовалось отличие от 0 коэффициента |
a−k |
(равно как и других коэффициентов в формуле (4)). Так как при a−k = 0 порядок полюса уже
будет меньше чем k , то формула (6), на самом деле, справедлива не только для полюса порядка k , но и для полюса любого меньшего порядка, т.е. порядок полюса в формуле (6) можно (если это целесообразно) «перебрать».
В частности, для простого полюса (т.е. при
Res f (z0 ) =
k =1 ) |
|
lim f (z)(z − z0 ) |
(7) |
z→z0 |
|
227

Рассмотрим здесь также случай, при котором в проколотой окрестности точки
z |
0 |
|
функция
w = f (z) |
может быть представлена в виде |
f (z) = |
φ(z) |
, где φ(z) |
и |
ψ(z) аналитичны в этой |
||||||||||||||||
ψ(z) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(уже не проколотой) окрестности, φ(z0 ) 0, а |
ψ(z) |
|
имеет в точке z0 |
нуль кратности 1, т.е. |
||||||||||||||||||
ψ(z0 ) = 0 |
, а ψ'(z0 ) 0 . Тогда, по замечанию к теореме 4, |
z0 |
− простой полюс |
f (z) и, |
||||||||||||||||||
согласно формуле (7), Res f (z0 ) = lim |
φ(z) |
(z − z0 ) = |
|
lim |
φ(z) |
|
|
= |
φ(z |
0 |
) |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ψ(z) |
|
ψ(z) |
− ψ(z |
) |
ψ '(z |
|
|
) |
|
|||||||||||||
|
z→z |
|
|
|
|
z→z |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z − z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В итоге, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Re s f (z0 ) = |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|||
|
(z |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры. Найти вычеты функций в их особых точках. Решения.
1. |
f |
|
|
lim |
|
z →0 |
|
2. |
f |
|
( z)
sin z ( z)
=
z
=
sin z |
. Единственной особой точкой этой функции является точка |
z |
= 0 |
. Это устранимая особая точка, так как |
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
z |
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 1 |
. Значит, Res f (0) = 0 |
(это же следует из разложения |
f (z) в ряд Лорана в проколотой окрестности z0 = 0 ). |
||||||||
z |
4 |
sin |
1 |
|
|
|
|
|
z |
= 0 |
|
|
. Единственной особой точкой этой функции снова является точка |
. Так как на всей комплексной |
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости
|
z |
3 |
|
sin z = z − |
|
+ |
|
|
|
||
|
3! |
|
z |
5 |
|
|
− |
|
|
|
|
5! |
|
z |
7 |
|
|
+ |
|
|
|
|
7 ! |
|
...
,
то при
z
0
,
заменяя в этом разложении
z
на 1/z, имеем:
f ( z) = z |
4 |
( |
1 |
|
1 |
3 |
1 |
5 |
1 |
7 |
) |
|
z |
3 |
|
z |
|
1 |
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
− |
|
+ ... |
|
= |
− |
|
+ |
|
− |
|
||||
|
|
|
z |
|
3! z |
|
5! z |
|
7 ! z |
|
|
|
|
|
|
3! |
|
5! z |
|
7 |
Лорана в проколотой окрестности точки |
|
z |
0 |
= 0 |
(в силу |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
разложения содержит бесконечное число членов, |
значит, |
z |
||||||||||||||||||
0 |
1 |
+ ... |
|
|
|
Это и есть разложение исходной функции в ряд |
! z |
3 |
|
единственности такого разложения). Главная часть этого
= 0 − |
существенно особая точка, и вычет |
f (z) |
в этой точке |
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
1 |
= |
1 |
– коэффициент при |
|
равен |
|
. |
|||||
z |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
5! |
|
120 |
|
|
f ( z) = |
1 + cos z |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
. Единственной особой точкой этой функции является точка |
|||||||
|
|
( z − π) |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0
=
π
. Знаменатель в этой точке имеет
нуль кратности 6, а числитель – нуль кратности 2:
| |
|
(1 + cos z) |
= 0; |
|
z = π |
(1 + cos z) ' |
| |
| |
|
|
= − sin z |
= 0; |
|
|
z = π |
|
z = π |
(1 + cos z) ''| |
z = π |
= − cos z| |
z = π |
= 1 0 . Тогда по теореме 4 |
z0 = π − |
полюс |
|
f (z) 4-го порядка. Однако нахождение вычета в |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 + cos z |
/// |
|
|||
этой точке по формуле (6) при |
k = 4 |
затруднительно: Res |
f (π) = |
lim |
|
|
. Поэтому, согласно замечанию к |
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
z →π |
|
( z − π) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
формуле (6), применим для нахождения вычета эту формулу при |
k = 6 |
: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 + cos z |
|
6 |
( 5 ) |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f (π) = |
|
|
|
|
|
|
|
( 5 ) |
|
|
|
lim − sin z |
|
|
|
|
|
||||||||||
Res |
|
lim |
|
|
|
( z − π) |
|
|
= |
|
lim 1 + cos z |
|
= |
|
|
|
= 0 |
. |
||||||||||
|
|
5! |
z →π |
( z − |
π) |
6 |
|
|
|
|
120 |
z →π |
|
|
|
120 |
z → π |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Теорема 5 (основная теорема о вычетах). |
Пусть функция w = f (z) аналитическая в |
|||||||||||||||||||||||||||
некоторой области (D) за исключением конечного числа изолированных особых точек и |
||||||||||||||||||||||||||||
(L) (D) − кусочно-гладкая замкнутая кривая, не проходящая через эти точки. Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z)dz = 2πi Re s |
|
f (zk ) , |
|
|
|
|
(9) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( L) |
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
228

где |
zk , |
k |
Пусть них и на
=1, 2, ..., n − особые точки |
f (z) , лежащие внутри кривой (L) |
(рис. 1). |
Рисунок 1 |
|
|
|
( k ) , k =1, 2, ..., n − окружности с центрами в особых точках |
zk |
такие, что внутри |
|
них нет других особых точек функции f (z) , кроме |
zk . По интегральной теореме |
|
n |
Коши для неодносвязных областей |
f (z)dz = f (z)dz . Но тогда, согласно формуле (3), |
( L) |
k =1 ( ) |
|
k |
|
f (z)dz = |
( ) |
|
k |
|
2πi
Res
f
(z |
k |
|
)
.
|
|
z |
|
|
|
tg |
|
Пример 1. Вычислить интеграл |
|
2 |
2 |
|
|
dz . |
|
|
| z +1| =3 |
( z −1) |
|
Решение. Исходный интеграл равен 2 i Re s f (1) + Re s (− ) , так как особыми точками этой
z = 1 |
(лежит внутри контура интегрирования) и точки, где |
cos |
z |
= 0 |
, т.е. |
z |
= |
π |
+ 2πk , |
z |
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
только точка |
−π |
лежит внутри контура интегрирования (рис. 2). |
функции являются точка
= π + 4πk , из которых
Точка |
z |
|
Res |
f (1) |
|
=
=
1 |
– полюс 2-го порядка ( |
|
|
|
tg |
z |
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
||||
limz →1 |
|
2 |
|
( z − 1) |
2 |
|
= |
|
|
( z −1)2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
1 |
0 |
|
||
|
2 |
|
lim |
( |
tg |
|
||
z →1 |
|
|
Рисунок 2 ), значит, по формуле (6)
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
z |
/ |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
= lim |
|
z |
= |
|
1 |
. Что касается точки |
|
z →1 |
2 cos2 |
|
2 cos2 |
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
z
=
−π
, то в окрестности
этой точки подынтегральную функцию можно представить в виде отношения двух аналитических функций:
229