лекции вышмат

Добавил:

VadoZ хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

f (z) − f (z

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2024

Размер:

5.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2522 23 24 25 > Следующая >>>

Запомнить формулу (2) проще всего при помощи следующей формальной выкладки:

f (z)dz =		(u + iv)(dx + idy ) =	udx − vdy + i		vdx + udy .
( AB)	( AB)		( AB)		( AB)
Если (AB) задана параметрическими уравнениями x = x(t) ,				y = y(t) ,		t	α,β	, функции
Если (AB) задана параметрическими уравнениями x = x(t) ,				y = y(t) ,				, функции

x(t)

(t)

непрерывно дифференцируемы на

α,β

, при изменении

от

до

кривая

описывается

непрерывны

в направлении от A к B (не обязательно α β ) , функции u(x, y) на (AB) , то интегралы в правой части формулы (2) существуют и

(

x, y)

β u(x(t),

f (z)dz ( AB)

y(t))x (t) − v(x(t),

=		udx − vdy

	( AB)

y(t)) y (t) dt + i

+ i	vdx + udy =
	( AB)
β

v(x(t), y(t))x (t) + u(x(t), y(t)) y (t) dt

(3)

α		α
Пример. Вычислить		dz , где 0 – начало координат, В: z = 1 + i , а путь интегрирования:
	z

y = x2

(рис. 2).

Решение.

zdz =

	( OB )
	( x − iy)(dx + idy)	=		xdx + ydy + i	− ydx + xdy

y = x	2
y = x
=

	( OB )		( OB )
1			1
= ( x + x	2	2x)dx + i (−x		2	+ x2x)dx =
= ( x + x		2x)dx + i (−x			+ x2x)dx =
0			0

 

		( OB )							( OB )
x	2		x	4				x	3			1
x			x			1		x		1		1
		+	2		\|		+ i			\|	= 1 +	i
2			4			0		3		0		3
						0				0

Рисунок 2

Уравнения кривой	(AB)	x = x(t) ,	y = y(t) ,	t	α,β

z = x +iy = x(t) +iy(t) , т.е. z = z(t) , t α,β , при этом z (t) =

Формулу (3) можно переписать следующим образом:

можно

x (t) +iy (t)

записать в виде

f (z)dz = ( AB)

β u(x(t), y(t))x (t) − v(x(t), y(t)) y (t) +

i v(x(t), y(t))x (t) + u(x(t), y(t)) y (t) dt

Легко видеть,

u(x(t), y(t)) +

что функция в фигурных скобках в правой части последней формулы равна

iv(x(t), y(t))			x (t) +iy (t)		=	f (z(t))z (t)	, и, таким образом,

	β
f (z)dz =			(4)
f (z)dz =		f (z(t))z (t)dt	(4)
( AB)	α

(мы получили формулу (4) при помощи формальных преобразований; на самом деле, если

рассмотреть	комплекснозначные				функции				действительного	переменного
z = z(t) = x(t) +iy(t) и их производные
z = z(t) = x(t) +iy(t) и их производные					z (t) = x		(t) +iy (t) , то эти преобразования будут
иметь вполне строгий характер).
Задача. Показать что
			dz	=		dz		= 2πi ,		(5)
				=				= 2πi ,		(5)
	(	)	z − z0	\|z−z \|=ρ		z − z0
	ρ				0

210

где

(	)
ρ

- окружность радиуса

с центром в точке

z	0

(как и обычно, при отсутствии

указания на направление обхода контура это направление берется положительным, т.е. для правой системы координат − против часовой стрелки).

Решение. Зададим контур

( ρ ) параметрически:

x − x0

= ρ cos φ

y − y0

задании,

как

раз,

(x − x0 )

+ ( y − y0 )

= ρ

z − z0 = (x − x0 ) + i( y − y0 ) = ρ(cos φ + i sin φ) = ρe

iφ

т.е.

z − z0

ρe

iφ

= ρsin φ (при таком При этом

φ = 0, 2π . Тогда

			dz		2π	iρe		iφ	2π
z (φ) = (z0 + ρeiφ ) ' = iρeiφ и по формуле (5)			dz		=	iρe			dφ = i dφ =
z (φ) = (z0 + ρeiφ ) ' = iρeiφ и по формуле (5)			z − z	0	=	ρe	iφ		dφ = i dφ =
	(	)	z − z	0	0	ρe			0
	ρ

Основные свойства интегралов от функций комплексного переменного

2πi

Сначала при условии существования интегралов укажем три свойства, которые следуют из аналогичных свойств криволинейного интеграла и определения 1:

1.Для любых комплексных чисел

α1 f1 (z) + α2 f2 (z) dz = α1 f1 (z dz1)

( AB)

и 2

+ α	2		f	2	(z)dz.
+ α			f		(z)dz.
		( AB)

2.		f (z)dz =

	( AB)

f (z)dz + ( AC)

f (z)dz (CB)

(рис. 3).

Рисунок 3

f (z)dz = ( AB)

−	f
	( BA)

(z)dz

4. Теорема 2. Пусть | f (z) | M для z (AB) и l − длина кривой (AB) . Тогда при условии существования интеграла:


f (z)dz Ml .	(6)
( AB)

Можно проверить, что для комплексных чисел, как и для действительных чисел,

\| z	+ z	2
1		2

\| \| z	\| + \| z	2
1		2

z1 − z2 z1 − z2 ,

z z	2
1

=	z	z	2
	1		2

z1	=	\| z1	\|	.
z2		\| z2	\|

Из определения 1,

n−1					n−1
	f (ζ	k	) z	k	\|
	f (ζ		) z
k =0					k =0

f (z)dz = ( AB)

f (ζk ) zk |=

lim λ→0

n−1

k =0

n−1
f (ζk ) zk	. Отсюда имеем:
k =0

n−1

f (ζk ) || zk | M | zk | .

k =0

Здесь

zk +1 , а

\| z	k	\|=\|
	k

n−1

| zk

k =0

k +1 − zk

| −

это расстояние на комплексной плоскости между точками

− сумма таких расстояний, т.е. длина ломаной, вписанной в дугу (AB)

z	k	и

(рис.

211

4). Но длина всякой вписанной ломаной не превосходит					длины самой дуги, значит,
n−1	n−1
\| zk \| l	f (ζk ) zk	Ml , откуда при λ → 0		f (z)dz	Ml . ■
\| zk \| l	f (ζk ) zk	Ml , откуда при λ → 0		f (z)dz	Ml . ■
k =0	k =0		( AB)
			( AB)

					Рисунок 4
Теорема 3		(интегральная теорема Коши). Пусть функция				w = f (z)	аналитическая в
односвязной		области	(D)	и	(L) (D) −кусочно-гладкая замкнутая		кривая. Тогда
	f (z)dz = 0 .
	f (z)dz = 0 .
( L)

Вспомним формулу (2): при Re w

	f (z)dz =	udx − vdy + i vdx + udy .
( L)		( L)	( L)

= u

и Im

Два

w = v
последних	криволинейных	интеграла

удовлетворяют условию независимости криволинейного интеграла второго рода от формы

пути интегрирования	P	=	Q	, при выполнении которого		Pdx + Qdy = 0	:
	y		x
					( L)

для первого из них P = u

для второго же P = v , Q

а uy = − vx и yv = ux ,

Римана. ■

, Q = −v

= −

= u

так как аналитическая функция удовлетворяет условиям Коши-

Следствие

(AB) (D)

1. Если функция w = f (z) −кусочно-гладкая кривая, то

аналитична в односвязной области


f (z)dz	не зависит от формы пути
( AB)

(D)

(AB)

, а

зависит лишь от положения ее начальной и конечной точек.

Следствие 2. Пусть функция			w = f (z)	аналитична в односвязной области		(D)	и (z) −
					z (D) . Тогда для любых
какая-либо ее первообразная в этой области, т.е. (z) = f (z) ,					z (D) . Тогда для любых
z z	2	(D)
1	2

f (z)dz = (z)|z1

= (z2 ) − (z1 ) .

(7)

Пусть (z) = φ(x, y) +iψ(x, y)

. Тогда по формулам нахождения производной

(z) =

x + i

x . Так как (z) = f (z) = u +iv ,

то отсюда u =

v =

x , тогда при

( x2 , y2 )

= xk

+ iyk ,

k =1,2

из формулы (2)

f (z)dz =

udx − vdy + i

vdx + udy =

( x1 , y1 )

212

( x

, y

)

( x

, y

)

dx −

dy + i

dx +

dy , что, согласно условиям Коши-Римана для

( x

, y

)

( x

, y

)

( x

, y

)

( x

, y

)

аналитической функции

(z)

, равно

dx +

dy + i

dx +

dy =

( x

, y

)

( x

, y

)

( x

, y

)

( x

, y

)

dφ(x, y) + i

dψ(x, y)

, а это, как было показано в теме «Криволинейные

( x

, y

)

( x

, y

)

( x

, y

)

( x

, y

)

( x

, y

)

интегралы», равно

φ(x, y)|

+ iψ(x, y)|

= (φ + iψ)|

(z)|

. ■

( x

, y

)

( x

, y )

( x

, y

)

Пример. Найти

1+ πi
e	z	dz
e		dz

		0
1+ πi
	1+ πi
Решение. ez dz =	ez \|0	= e1+ πi − 1 = e(cos π + i sin π) − 1 = −e − 1 .
0

Теорема 4 (интегральная теорема Коши для неодносвязных областей). Пусть область

(D)	ограничена конечным числом кусочно-гладких кривых и	функция	w = f (z)
аналитическая в некоторой области (D1 ) , включающей (D) и всю ее границу (на рис. 5
сплошной линией изображена граница (D) , а пунктиром –
граница (D1 ) ). Тогда, если (L) − внешняя граница (D) , а (Lk ) , k =1,		2, ..., n − ее

внутренние границы, то

	f (z)dz =
( L)

k =1

Рисунок 5

	f (z)dz , где все
	f (z)dz , где все
( L	)
k

интегралы берутся в одном

направлении.

Взяв произвольные точки самонепересекающиеся кривые

E (EA)

F (BC) ,

на

(DF

контуре ) (на рис.

(L)

, проведем

A, B,C, D, K,

гладкие

L, M , N –

произвольные точки внутренних границ). К двум получившимся односвязным областям применим теорему 3:

Рисунок 6

213

f (z)dz = 0 ( EGFDNCBLAE)

f (z)dz ( EAKBCMDFHE)

. Сложим эти два равенства. При этом интегралы по

введенным перегородкам сокращаются, так как эти перегородки проходятся дважды, один раз в одном, другой раз в противоположном направлении. Получим:

f (z)dz + ( EGF )

f (z)dz + ( DNC )

f (z)dz +	f (z)dz +
( BLA)	( AKB)

f (z)dz + (CMD)

(FHE )

f (z)dz

, т.е.

	f (z)dz +
( L)
	f (z)dz =
( L)

	f (z)dz +
−( L )
1
	f (z)dz +
( L )
1

		f (z)dz
−( L		)
	2
		f (z)dz
( L	)
2

, или,

(здесь

учитывая, что			f (z)dz =		−		f (z)dz ,	k =1,2 ,
		−( L	)		( L		)
		k				k
− (Lk ) −	это	контур		(Lk ) ,			проходимый в

противоположном направлении).

Аналогично для большего количества «дырок» и для противоположного направления обхода границ области (D) . ■

Теорема 5 (интегральная формула Коши). Пусть функция w = f (z) аналитическая в

односвязной области (D) , (L) (D) − кусочно-гладкая замкнутая кривая и

z0 − точка

внутри этой кривой. Тогда

f (z

) =

f (z)

(8)

2πi

z − z

( L)

(направление обхода контура берется положительным).

Мы будем доказывать, что

f (z)

dz = 2πif (z0 ) .

z − z

( L)

На рис. 7 «внешним» пунктиром изображена

граница области

(D) . Пусть

( ρ ) −

окружность радиуса ρ с центром в точке

z0 , целиком содержащаяся внутри (L) (для этого

ρ должно быть достаточно малым). В области,

ограниченной «внешним»

любым

«внутренним» (по отношению к ( ρ ) ),

содержащим

z0 ,

Рисунок 7

пунктирами, функция

f (z)

является аналитической (как отношение двух аналитических

z − z0

f (z)

dz =

f (z)

функций при знаменателе, отличном от 0), и по теореме 4,

z − z

dz . Надо

( L)

)

(

доказать, что последнее выражение равно 2πif (z0 ) . Учитывая формулу (5),

нам надо

проверить, что

f (z)

dz =

f (z0 ) , или

)

z − z

)

z − z

(

214

(9)

Для проверки (9) докажем, что интеграл в левой части этой формулы можно (за счет выбора ρ ) сделать сколь угодно малым. Пусть ε − сколь угодно малое число. Так как w = f (z)

непрерывна в точке

z	0

, то в некоторой окрестности этой точки

\| f (z) − f (z	) \| ε
0

и, значит,

для достаточно

\| f (z) − f (z	) \| ε
0

малых для z

ρ(

(таких, что окружность ρ ) . Тогда

(	)
ρ

попадает в эту окрестность)

z (	)
ρ

длине ( ρ

)

(z) − f (
z − z	0

имеем:

z	0	)
	0


(	ρ	)
	ρ

=	\| f (z) − f (z				0	) \|	=
=							=

	\| z − z		0	\|
			0
f (z) − f (z			)	dz			ε
f (z) − f (z			)				ε
		0
		0
	z − z	0					ρ
		0

(z) − f (z		) \|
	0
	ρ
ε	2πρ = 2πε
ρ	2πρ = 2πε
ρ

ε	. Согласно формуле (6), при	l –
ρ

, а это число, действительно, сколь

угодно мало. ■

Пример. Вычислить
Пример. Вычислить
	\| z \| =

Решение.					sin z
Решение.				2	dz =
	\| z \| =	2	z		+ 4z + 3	\| z \| = 2

			sin z
	z	2	dz
	z	2	+ 4z + 3
2

sin z dz

( z + 3)( z + 1)

(направление обхода контура положительно;

	Рисунок 8
			sin z
			z + 3		sin z		2πi	sin(−1)	=
=			z + 3	dz =	2πi	=


	\| z \| =	2	( z + 1)		z + 3	z = −1		2

см. рис. 8).

= −π sin 1 i

Интегральная формула Коши является основой для всей излагаемой ниже теории.

215

ЛЕКЦИЯ 6

Теорема 1 (о производных высших порядков аналитической функции). Пусть функция w = f (z) аналитическая в односвязной области (D) . Тогда эта функция имеет в области

(D) производные всех порядков (которые, тем самым, тоже будут аналитическими функциями в (D) ) и

(L) (D) −

f	(n)	(z) =	n!		f (ζ)		dζ ,	n = 0,1,2,... ,

			2πi		(ζ − z)	n+1

				( L)

кусочно-гладкая замкнутая кривая, содержащая внутри себя точку

(1)

Эта теорема показывает существенные отличия между аналитическими функциями комплексного переменного и дифференцируемыми функциями действительного переменного, для которых из существования производной вовсе не следует существование следующих производных.

Приведем нестрогое обоснование формулы (1). Используя интегральную формулу Коши, имеем:

(n)

f (ζ)

(n)

(z) =

dζ

f (ζ)

dz =

f (ζ)

dz,

2πi

ζ − z

2πi

(ζ − z)

n+1

( L)

ζ − z

( L)

что и приводит к формуле (1). Проведенные преобразования, конечно, не являются доказательством формулы (1) в силу недоказанной возможности дифференцирования интеграла по параметру z .

Строгое доказательство формулы (1), которое мы оставим за рамками данного курса, можно провести методом математической индукции.

Из формулы (1) следует, что
	f (ζ)		dζ =	2πi	f	(n)	(z)	(2)
						(n)

	(ζ − z)	n+1		n!			.
		n+1
( L)
( L)

Пример. Вычислить

Решение.				dz			=
		( z	2	−	1)	2
	\| z −1\| =1							\| z −1\| =1

				dz
		( z	2	−	1)	2
\| z −1\| =1		( z		−	1)
	1

(z + 1)2					n =1
				dz =
( z −1)2				dz =
( z −1)2

(рис. 1).

2πi		1			−2		4πi		πi
				= 2πi		= −		= −
									.
1!			2		( z +1)	3	8		2
	( z + 1)			z =1		z =1

Рисунок 1

Краткие сведения о рядах с комплексными членами

На такие ряды переносятся многие определения и теоремы, известные для числовых и функциональных рядов с действительными членами. А именно:

216

рассмотрим ряд


zn	= xn	+ iyn
n=1	n=1

(3)

Этот ряд называется

частичная сумма	Sn	=
ряда (3).

сходящимся,

z	+ z	2	+... + z	n
1		2		n

если

; при

существует конечный этом комплексное число

lim Sn = S , где		n - ая
n→
S	называется суммой

Ряд

S =

Ряд


(3) сходится тогда и только тогда,	когда сходятся ряды	xn	и	yn
		n=1		n=1

R +iT , где R − сумма ряда xn , а T − сумма ряда yn .
n=1	n=1

(3) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей zn .
				n=1

, при этом

Последний

ряд является рядом из действительных чисел, к которому применимы все признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

Если ряд из модулей сходится, то сам ряд (3) тоже сходится, т.е. из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость в обычном смысле.

Областью сходимости функционального ряда

un (z) n=1

(4)

называется множество комплексных чисел

, для которых этот ряд сходится.

Пусть дан степенной ряд с комплексными коэффициентами


an z	n
an z
n=0

(5)

Тогда справедлива следующая теорема (Абеля): если ряд (5) сходится при некотором

z	0

то он абсолютно сходится при всех Отсюда следует, что существует

z :

| z | | z0

| .

действительное число

ряд (5) абсолютно

сходится при | z | R

и расходится при | z | R . Т.е. областью сходимости ряда (5) является

круг радиуса R с центром в начале координат. Число	R	называется радиусом сходимости
степенного ряда.

Справедливы формулы для нахождения радиуса сходимости, аналогичные формулам для

степенных рядов с действительными членами:	R = lim	1			или	R = lim	\| a	n	\|	, если эти
								n
							\| a
	n→ n \| a		n	\|		n→	\| a	+1		\|
			n				n	+1

пределы (конечные или бесконечные) существуют.

Ряд (5) можно почленно дифференцировать или интегрировать от 0 до z сколь угодно раз с сохранением радиуса сходимости.

Ряд


an (z − z0 )n	(6)

n=0

который также называется степенным рядом, сводится к ряду (5) путем замены z − z0 = ζ . Ряд (6) абсолютно сходится при | z − z0 | R , где радиус сходимости R находится так же, как для ряда (5), его можно почленно дифференцировать или интегрировать от z0 до z сколько угодно раз с сохранением радиуса сходимости.

217

Ряд Тейлора В этом параграфе будет изучаться возможность представления аналитической функции в

виде суммы степенного ряда. Пусть в некоторой окрестности точки

аналитическая в этой

окрестности функция представлена в виде

f (z)

an (z −

n=0

z		)	n
	0

. Так как степенной ряд

можно почленно дифференцировать сколько угодно раз с сходимости, то продифференцируем обе части этого равенства

учитывая при этом, что производная постоянной равна 0:

сохранением

раз,

k =

радиуса

0, 1, 2, ...,

(k ) (z)

an n(n −1) ... (n − k n=k

+1)(z − z	)	n−k
+1)(z − z	)
0

При z = z0 все члены этого ряда, для которых первый член ряда, для которого n = k :

n k

, будут равны нулю и останется только

f	( k )	(z0 ) = ak k (k −1)	... 1	= ak k! , т.е. ak =

Итак, если функцию	можно представить			в виде суммы

(k )		)
(z	0	)	.
			.

k !

степенного ряда, то такое

(n)

)

представление единственно и обязательно имеет вид

f (z) =

− z

n=0

Теорема 2. Пусть функция

w = f (z)

аналитична в области (D) , z0 (D)

расстояние от точки

0 до границы

(D)

(т.е. наименьшее расстояние от

границы). Тогда для

: | z − z0

| ρ

f (z) = an (z − z0 )

n=0

f (ζ)

(n)

(z0 )

где

dζ

n = 0,1,2,...

2πi

(ζ − z0 )

n+1

( L)

0 )	n	.
0 )		.		–
и		(		–
		ρ	0, +

до точек этой

(7)

(8)

В последнем равенстве была использована формула для производных высших порядков

аналитической функции (1);	(L) (D) −произвольная кусочно-гладкая замкнутая кривая,
содержащая внутри точку z0 .

Определение 1. Ряд (7) с коэффициентами (8) называется рядом Тейлора для функции

f (z).

В отличие от разложения в ряд Тейлора функций действительного переменного, для функций комплексного переменного можно сразу указать область, в которой справедливо

разложение: оно верно в круге \| z − z0	\| ρ , где ρ − расстояние от z0	до границы области
аналитичности, т.е. до ближайшей к	z0 точки, в которой функция	w = f (z) не имеет

производной (ниже такие точки будут названы особыми точками функции) (рис. 2).

Рисунок 2

218

Пусть

z −произвольная точка круга

\| z − z	0

. Докажем, что в этой точке справедлива

формула (7) с коэффициентами (8). Для этого проведем окружность ( ) с центром в точке z0 радиуса r : | ζ − z0 |= r , где r ρ и точка z находится внутри этой окружности: | z − z0 | r

(на рис. 2 эта окружность проведена пунктирной линией). Согласно интегральной формуле Коши,

В этой формуле

1 =

ζ− z

ζ −

		f (z)
		1
z	0	− (z
	0

−

	1
2πi
2πi				(
				(
z		)	=
z	0	)
	0

) ζ

f(ζ)dζ

ζ− z

− z0 1

−z − z0

ζ − z0

(9)

. В последней дроби

поэтому по формуле суммы бесконечно убывающей

геометрической прогрессии с первым членом

b1 =1

и знаменателем q =

z − z0

, | q | 1

ζ − z0

z − z

f (ζ)

получаем:

, значит,

n+1 (z − z0 )

z − z

ζ − z

(ζ − z

)

1−

n=0

ζ − z

Подставим этот ряд в формулу (9) и проинтегрируем (почленно) вдоль окружности

( ) (это,

на самом деле, возможно). Получим:

f ( )

f (z) =

− z0 )

d =

(z − z0 )

d =

2 i

( − z

)

n+1

2 i

( − z

)

n+1

( Г )

n=0

n=0 ( Г )

f (ζ)

dζ (z − z0 )n .

2πi ( )

(ζ − z0 )

n+1

n=0

В последней

формуле интеграл

по окружности ( )

можно заменить на интеграл по

произвольному кусочно-гладкому замкнутому контуру

(L) (D) , содержащему внутри

точку

, так как оба этих интеграла равны

f (ζ)

f (z) =

dζ (z − z0 )n =

2πi

n+1

2 i

n=0

(ζ − z

)

( )

n=0

( L)

(7) с коэффициентами (8). ■

2πi	f (n) (z			) :
	f (n) (z		0	) :
n!			0
n!
f ( )
				d (z − z0 )n , что и приводит к ряду
		n+1		d (z − z0 )n , что и приводит к ряду
( − z0 )
( − z0 )

Точно так же, как для функций действительного переменного, из формул (7) и (8) получаем разложения в ряд Тейлора при z0 = 0 основных элементарных функций:

ez = 1+ z +

+... =

;

n=0

2n+1

sin z = z −

−... = (−1)

(2n +1)!

n=0

cos z = 1−

−... = (−1)n

;

n=0

(2n)!

ln(1+ z) = z −

−... = (−1)n+1

;

n=1

;

219

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2522 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.06.20245.04 Mб2L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_1.pdf
#
01.06.20246.08 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_2.pdf
#
01.06.20242.46 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_3.pdf
#
01.06.20241.39 Mб10вышмат полезно.pdf
#
01.06.2024482.88 Кб3кр по алегебре.pdf
#
01.06.20245.41 Mб72лекции вышмат.pdf
#
01.06.20241.34 Mб2линейная алгебра и агалитич геом.pdf