Добавил:

VadoZ хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

лекции вышмат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2024

Размер:

5.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2521 22 23 24 25 > Следующая >>>

2. Разложить функцию

функции в точке разрыва

π 2

		0 x		π
1,
				2
f ( x) =
		π
	0,		x	π


		2

произвольно).

(рис. 3) в ряд Фурье на отрезке

0, π

только по косинусам (значение

/ 2

Рисунок 3

Рассмотрим новую четную периодическую ( T отражаем исходный график относительно оси

= 2π ) функцию f1 ( x) , совпадающую на отрезке 0, 0 х , а потом продолжаем периодически полученный

π с данной (сначала график) (рис. 4).




	−	−		0
	−	−	2	0
			2	Рисунок 4
				Рисунок 4
Так как эта функция четная, то b			= 0,	n = 1, 2, ...
		n

3 2

f ( x) cos nx dx =

f ( x) cos nxdx =

f ( x)cosnxdx +

f (x) cos nxdx

− π

чётная

πn

1 cos nxdx =

cos nxd (nx) =

sin nx

sin

, n

= 1, 2, ...

πn

f (x)dx =

f (x)dx +

f (x)dx

dx =

= 1 , следовательно,

f1 ( x)~

sin π(2k + 1) cos(2k + 1) x .

1 + 2 sin πn cos nx = 1

n =1 πn

k =0

π(2k + 1)

=0 при n = 2 k

(

)

π(2k + 1)

= sin

+ πk

= cos πk = (−1)k , k = 0,1, 2...

Здесь по формуле приведения sin

f (x)

будет равна сумме ряда Фурье при x 0, π , x

По теореме 1 функция

. В точке

сумма ряда Фурье будет

равна

, если положить f

(

, то равенство будет верно для всех x 0, π и

(−1)k

f (x) =

cos(2k + 1)x .

(2k + 1)

k =0

200

Пусть

	t = x	π
		l

	−π, π

Тригонометрический ряд Фурье для функции с произвольным периодом 2l

y = f (x) –		периодическая функция с периодом 2l . Сделаем замену переменной:
x = t	l	(если −l x l, то − π t π ,			т.е. при нашей замене		−l, l	переходит в
	π


		l		–	некоторая функция	от		t ; так как
). Тогда y = f (x) = f			t = g(t)
		π

Т=2l

g(t + 2π) = f

(t + 2π)

= f

t + 2l

t = g(t) , то g(t)

– периодическая функция с

периодом уже 2π .

Пусть g(t) такова, что ее можно разложить в ряд Фурье, тогда будем иметь:

πnx

f (x) = g(t) =

+ (an

cos nt + bn sin nt) =

+ (an cos

+ bn sin

) , где

n=1

t =

πnx

g(t) cos ntdt

f (x) cos

dx =

f (x) cos

dx, n = 0,1, 2... ,

−π

−l

t =

πnx

g(t) sin ntdt

f (x) sin

dx =

f (x) sin

dx, n =1, 2...

−π

−l

Следовательно,

πnx

+ (an cos

f (x) =

+ bn sin

) ,

n=1

πnx

где

f (x) cos

dx,

= 0,1, 2,... ,

f (x)sin

dx, n =1, 2,...

−l

(6)

(7)

Легко видеть, что все факты, которые имели место для рядов Фурье периодических функций с периодом 2π , переносятся и на ряды Фурье периодических функций с произвольным периодом 2l (теорема 1 о достаточных условиях разложимости функции в ряд Фурье, замечание о коэффициентах Фурье четной или нечетной функции и др.).

Ряд Фурье в комплексной форме

Пусть y = f (x) – периодическая с периодом

	−π, π	функция. Сопоставим ей ряд Фурье:
		функция. Сопоставим ей ряд Фурье:
			a
			a		+ (an
		f (x)~	0				cos nx
		f (x)~	2				cos nx
			2		n=1
					n=1
Используя формулы cos φ =				eiφ + e−iφ
						, sin φ =
					2	, sin φ =
					2

2π , абсолютно интегрируемая на отрезке

+ bn sin nx) .

eiφ − e−iφ и собирая коэффициенты при

inx	и
e

e	−inx

, имеем:

einx + e−inx

einx − e−inx

f (x)~

+ an

+ bn

einx +

−

e−inx

n=1

201

b i

Обозначим

= c0

−

= cn

c	= c
−n	n ). Тогда

an 2

−bn = an

2i 2

+bni

= c−n

(заметим, кстати, что

f (x)dx ,

2π

−π

−b i) =

f (x) cos nxdx −i

f (x) sin nxdx

π −π

π −

f (x) cos nx −i sin nx dx =

f (x)e

−inx

dx, n =1, 2, 3,...,

2π

−π

+ b i) =

f (x) cos nxdx +i

f (x) sin nxdx

−n

−π

−

f (x) cos nx + i sin nx dx =

f (x)e

inx

dx, n =1, 2, 3,...

2π

−π

Объединяя эти три формулы, получаем:

f (x)~ cne

inx

n=−

−inx

(x)e

dx, n = 0, 1, 2,...

2π

−π

(8)

(9)

Это и есть ряд Фурье в комплексной форме. Так как этот ряд получился преобразованием обычного ряда Фурье, то на него переносится теорема 1.

Аналогично, если период функции равен 2l , то

								i	πnx
					n			i	l
				f (x)~			c e		l	,
					n=−
		1	l		−i	πnx
n	=	1		f (x)e	−i	l	dx, n = 0, 1, 2,...
c	=	2l		f (x)e		l	dx, n = 0, 1, 2,...
		2l	−l
			−l

(10)

(11)

202

ЛЕКЦИЯ 4

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Определение и некоторые элементарные функции комплексного переменного

Определение 1. Пусть

E − некоторое

соответствует одно комплексное число функцией комплексного переменного z

множество комплексных чисел	z	и	z E
w . Тогда говорят, что w является (однозначной)

с областью определения E , и пишут w = f (z) .

Функция комплексного переменного сопоставляет каждой точке комплексной плоскости				z
некоторую точку комплексной плоскости w .
Пусть z = x +iy , w = u +iv и w является функцией от	z (т.е. от	x и от	y ). Тогда u и	v

тоже являются функциями от x и от u y . Таким образом, задание функции комплексного

переменного

w = f (z)

равносильно заданию двух действительных функций двух

действительных переменных

= u(x,

= v(x,

Определение 2.

частью функции

Эти функции называются w = f (z) и обозначаются u

соответственно действительной и мнимой

= Re w , v = Im w.

Пример.

Решение.	w = z	2

Найти действительную и мнимую части функции

= (x + iy)	2	= x	2	− y	2	+ 2ixy , т.е. u = x	2	− y	2	,	v = 2

w xy

z	2

Определение 3.

одного значения

Если некоторым z из области определения функции соответствует более w , то такая функция комплексного переменного называется многозначной.

Пример.

w =

z −

n −

значная функция (

z 0

соответствует n различных значений

Некоторые элементарные функции комплексного переменного

1. Степенная функция w = z	α	, где α − рациональное число, т.е. α =	m	, m	и n − натуральные.

			n

Эта функция фактически уже была определена ранее как ( nz )m .

2. Показательная функция w = e	z	.

Проведем формальное преобразование, используя формулу Эйлера:

w = ez = ex+iy = ex eiy = ex cos y +iex sin y . Последнее выражение и берется за определение

комплексного числа w = ez . При этом u = ex cos y , v = e

Введенная таким образом показательная функция показательной функции действительного переменного:

sin y .

обладает обычными свойствами

ez1 ez2 = ez1 +z2 ;	e z1	= e z1 −z2 ;	(ez )n = ezez ...ez = ez+z+...+z = enz ;
	e z2

отметим также, что показательная функция является периодической с периодом

e	z+2πi	z	e	2πi	z	(cos 2π +i sin 2π) = e	z	.
e		= e	e		= e	(cos 2π +i sin 2π) = e		.

3. Тригонометрические функции.

Для действительных x eix = cos x +i sin x . Заменяя в этой формуле x на − x , имеем:

2πi

203

e−ix = cos x −i sin x . Складывая и вычитая эти две формулы, получаем: cos x =

eix + e−ix

− e

−ix

sin x =

. Теперь по аналогии определим косинус и синус комплексного числа:

− e

+ e

−iz

cos z =

sin z =

(определение

показательной функции уже было дано

выше). Далее по определению

tg z = sin z , ctg z =

cos z

sin z

Оказывается, что для введенных таким образом функций справедливы все формулы тригонометрии, которые выражаются равенствами. Например:

2iz

− 2 + e

−2iz

2iz

+ 2 + e

−2iz

sin

z + cos

z =

;

− 4

4. Гиперболические функции и их связь с тригонометрическими.

По

аналогии

гиперболическими

функциями действительного переменного по

− e

−z

+ e

−z

sh z

ch z

определению

sh z =

ch z =

th z =

, cth z =

. Из этих определений

ch z

sh z

следуют те же свойства, что и для гиперболических функций действительного переменного. В частности:

2 z

+ 2 + e

−2 z

− e

2 z

+ 2 − e

−2 z

z −sh

z =

Связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями дается следующими формулами:

sh iz = i sin z ,

sin iz = i sh z ,

ch iz = cos z ,

cosiz = ch z

(1)

(т.е. i выносится как –1 для таких же функций действительного переменного с заменой гиперболических функций на тригонометрические и наоборот).

Докажем одну из этих формул (остальные доказываются аналогично):

i (iz )

− e

−i (iz )

−z

− e

sin iz =

= −i

= i sh z .

5. Логарифмическая функция

w = Ln z .

Эта функция определяется как функция,

обратная показательной, т.е. по

w = Ln z − это такое комплексное число,

что e

= z . Таким образом, если

(cosv + i sin v) = z .

определению w = u +iv , то

Два комплексных числа равны только при совпадении их модулей и отличии аргументов на

число, кратное	2π , поэтому отсюда	u	логарифм
		e =\| z \| u = ln \| z \| (это обычный
действительного числа) и v = Arg z = arg z + 2πk (−π arg z π) , значит,
	w = Ln z = ln \| z \| +i arg z + 2πki , k = 0, 1, 2,...		(2)

Это бесконечнозначная функция, так

как

z 0 соответствует

по этой

бесконечное

число

значений

w . При

каждом

получаем однозначную

комплексного переменного. Функция,

получаемая

при

k = 0 , называется

значением логарифмической функции и обозначается ln z :

ln z = ln | z | +i arg z .

Отметим следующие свойства логарифмической функции:

Ln(z z ) = Ln z + Ln z ;

= Ln z − Ln z

(это

совпадение

двух

комплексных

чисел).

формуле

функцию

главным

множеств

204

Пример. Решить уравнение cos z = 5, 05

(так как

5, 05 1

, то в области действительных чисел такое уравнение, естественно, решения не имеет).

+ e

− iz

Решение. cos z = 5, 05

5, 05 e

= 10,1; обозначим

= t , тогда это уравнение примет вид

t +

= 10,1 t

−10,1 t

+ 1

= 0

= 10, t = 0,1

= 10, e

= 0,1.

Используя определение логарифмической функции, отсюда имеем:

iz = Ln10 = ln 10 + i arg10 + 2πki = ln10 + 2πki;

2πk

− i ln10

Аналогично iz = Ln0,1 = ln 0,1 + i arg 0,1 + 2πki = − ln10 + 2πki;

В итоге, наше уравнение имеет бесконечное число решений z =

z = 2πk + i ln10 2πk i ln10, k

Z .

6. Комплексное число в комплексной степени.

Проводя формальное преобразование, имеем:	z	z		= e	Ln z	z	2	= e	z	Lnz	. Так как логарифмическая
			2
	1				1				2	1

и показательная функции уже определены, то последнее выражение берется за определение

числа (точнее,

чисел)

. При фиксированном

из этой формулы получаем общую

показательную функцию, а при фиксированном

−

общую степенную функцию. Обе эти

функции бесконечнозначные.

Пример. Найти i

−

− 2 πk

Решение.

= e

Lni

= e

iLni

= e

k = 0,

2, ... , так

как

Lni = ln | i | +i arg i

+ 2πki = ln 1 + i

+ 2πki =

(

)

= i

+ 2πk

(т.е. ответом примера является бесконечное множество действительных чисел).

Предел и непрерывность функции комплексного переменного

Определение 4. ε – окрестностью (или просто окрестностью) точки

z0 на комплексной

плоскости называется множество

U (z, ε) таких точек z ,

что | z − z0

| ε . Если из этого

множества исключить саму точку

0 , то получим так называемую проколотую окрестность

точки

, обозначаемую как U (z0

, ε) .

Если

z = x +iy, z0 = x0

+iy0

, то

z − z

= (x − x

) + i( y − y

)

(x − x )

+ ( y − y

)

значит,

| z − z0

| −

это расстояние от точки z

до точки z

, и

- окрестность точки z0 − это круг (без

границы) радиуса ε

с центром в точке

z0 .

По аналогии с определением предела функции действительного переменного дадим определение предела функции комплексного переменного:

Определение 5. Пусть функция w = f (z) определена в некоторой проколотой окрестности

точки	z0	. lim f (z) = A , где A − некоторое комплексное число, если ε 0	δ = δ(ε) 0 :
		z→z0
		0
z , 0	\| z − z0 \| δ или z U (z0 , ) \| f (z) − A \| ε .

На функции комплексного переменного переносятся основные теоремы о пределах (суммы, разности, произведения, частного).

205

По аналогии с определением непрерывности функции действительного переменного дается определение непрерывности функции комплексного переменного:

Определение 6. Пусть функция w = f (z)	определена в некоторой окрестности точки	z0 .
Эта функция называется непрерывной в точке z0 , если существует lim f (z) = f (z0 ) .
	z→z
	0
Можно показать, что функция w = f (z)	непрерывна в точке z0 = x0 + iy0 тогда и только

тогда, когда ее действительная и мнимая части

(x	, y	).
0	0

u(x, y)

(

x, y)

непрерывны в точке

Сославшись на основные теоремы о пределах функций комплексного переменного, легко проверить, что сумма, разность, произведение и частное (при знаменателе отличном от 0) непрерывных в некоторой точке функций есть функция, непрерывная в этой точке.

Определение 7. Функция w = f (z)

называется непрерывной на некотором множестве (D),

если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Если множество

(D)

является замкнутым, т.е. содержит все точки своей границы (где

граница это совокупность точек таких, что в каждой их окрестности есть и точки, принадлежащие (D) , и точки, (D) не принадлежащие – см. рис. 1),

Рисунок 1

то непрерывная на (D) функция обладает обычными свойствами действительных функций,

непрерывных на отрезке, в частности, она будет ограниченной на

z (D)	f (z) M	.

Производная функции комплексного переменного

Продолжаем аналогию с функциями действительного переменного:

(D)

, т.е.

Определение

Производной

8. Пусть функция этой функции

f (z) определена в некоторой окрестности точки z0 .
точке	z0	называется комплексное число

f (z	) = lim	f (z)	= lim
f (z	) = lim		= lim
0	0	z	0
	z→z		z→z

f (z) − f (z		)
	0
z − z	0
	0

, если этот предел существует.

Из определения производной и свойств пределов функций комплексного переменного следует, что на функции комплексного переменного распространяются основные правила дифференциального исчисления (производная суммы, разности, произведения, частного, сложной и обратной функций). Так же, как для функций действительного переменного, доказывается, что функция, имеющая производную в некоторой точке, будет непрерывной в этой точке. Спецификой же функций комплексного переменного является то, что для существования производной функции w = f (z) ее действительная и мнимая части должны

быть не просто «хорошими» функциями, а определенным образом связанными друг с другом.

206

Теорема	1.	Пусть функция	w = f (z)	определена в некоторой
z0 = x0 + iy	0	и ее действительная и мнимая части дифференцируемы
функции двух переменных. Тогда для существования производной					f
достаточно, чтобы в точке (x0 , y0 ) выполнялись условия

окрестности точки в точке (x0 , y0 ) как(z0 ) необходимо и

	u	=	v	;	u	= −	v	.	(3)
		=		;		= −		.	(3)
	x		y		y		x
Условия (3) называются условиями Коши-Римана или условиями									Даламбера -Эйлера.

Необходимость. Пусть	f '(z0 ) = lim	f (z)	.
		z
	z→0
Так как z = z − z0 = (x − x0 ) +i( y − y0 ) = x +i y				и
f (z) = f (z) − f (z0 ) = u(x, y) −u(x0 , y0 ) +i v(x, y) −v(x0 , y0 ) , то,
квадратных скобки как u	и v соответственно, получаем:				f
						(

обозначая две последних

z0 ) = lim	u + i v	. Так как
z0 ) = lim	x + i y	. Так как
x→0	x + i y
y→0

в этой формуле x и y стремятся к 0 произвольным образом, случая (которые обязаны дать один и тот же результат): x = 0

то рассмотрим два частных и y = 0 :

u + i v

x = 0 f

) = lim

= lim

− i

Предел

существует существуют

y→0

i y

y→0

v(x

, y

)

u(x , y

)

v(x , y

)

u(x

, y

)

, lim

и f

lim

(z0 ) =

−i

y →0

y→0

u + i v

u(x

, y

)

v(x , y

)

y = 0 f

(z0 ) = lim

+ i

(аналогично).

x→0

Отсюда следует, что u(x0 , y0 ) = v(x0 , y0 )

u(x0

, y0 )

= − v(x0 , y0 ) .

Достаточность. Ранее было показано, что если u(x, y)

и v(x, y) дифференцируемы в точке

(x	0	,
	0

y	0	)
	0

, то

u = u x +

u y + α x + β y

v = v x +

v y + α

x + β

y ,

где

все

частные

производные берутся в точке (x0 , y0 )

и αi , βi

, i =1,2

стремятся к 0 при x

, y → 0. Тогда,

с учетом условий (3), имеем:

f (z) = u + i v =

x +

y + i

x +

+ α1 x + β1 y + iα2 x + iβ2 y =

x +

y + i

−

x +

+ α x + β y + iα

x + iβ

y =

= u ( x + i y) − i u ( x + i y) + (α + iα

) x + (β + iβ

) y =

z − i

z + (α + iα

) x + (β + iβ

) y

f (z) =

u − i

u + (α + iα

) x

+ (β + iβ

) y .

При z → 0 ,

т.е. при x → 0 и y → 0

, x =

| x |

1 ,

( x)2 + ( y)2

207

(α1

+ iα2 )

| α1 + iα2

|→ 0

(β1 + iβ2 )

| β1

+ iβ2

|→ 0 lim

f (z)

z→0

Одновременно мы получили формулы для нахождения производной:

		u	u	u	v	v	v	v	u
			− i y =	x + i x =			+ i x =	y − i y .
f	(z0 ) = x		− i y =	x + i x =		y	+ i x =	y − i y .

Пользуясь теоремой 1, на функции комплексного переменного можно формулы из таблицы производных функций действительного переменного.

− i	u	. ■
	y

(4)

перенести все

Пусть,

например,

f (z) = e	z

= e		= e e
	x+iy	x	iy

x	(cos y +i sin
= e

следовательно

= ex

cos y

v = e	x	sin

; эти функции дифференцируемы во всех точках

(x,

;

= e	x	cos y =

;

= −e

sin y = −

производная существует во всех точках и

− i

)

cos y

+ ie

sin y = e

Определение 9. Функция w = f (z)

называется аналитической в области (D) (область – это

открытое, связное множество), если она определена в области

(D) и в каждой точке этой

области имеет производную.

Замечание. Функция двух действительных переменных

f (x, y)

называется гармонической,

f (x, y)

если

= 0 .

Покажем, что для любой аналитической функции

w = f (z) ее действительная и мнимая

части

u = u(x, y)

v = v(x, y)

являются гармоническими функциями. Действительно, так

как

, то

	2	u
	2
x
		2

		2	v
		2
=	x y
	x y

, и так как uy = − vx , то

	2	u
	2
y
		2

		2	v
		2
= −	y x
	y x

, тогда по теореме о

смешанных производных для функций двух переменных (в случае непрерывности этих

производных)

−

0 . Аналогично, так как

= −

, то

= −

y 2

x y

y x

x y

а так как

, то

, и

= −

= 0

по той же теореме.

y x

y 2

x y

y x

208

ЛЕКЦИЯ 5

Интеграл от функции комплексного переменного

Определение 1. Пусть (AB) – непрерывная кривая на комплексной плоскости (замкнутая или нет), и пусть вдоль этой кривой задана некоторая функция комплексного переменного w = f (z) . Разобьем (AB) произвольным образом на части точками zk , и на каждой дуге разбиения выберем произвольную точку ζ k (можно и на краю этой дуги) (рис. 1):

Рисунок 1

	n−1
Составим интегральную сумму	f (ζk ) zk	, где	zk = zk +1 − zk . Обозначим через	λ
	k =0


максимальную по	k	длину вектора zk zk +1 . Если существует предел наших интегральных

сумм при λ → 0	, который не зависит от выбора точек	zk и ζ k , то этот предел называется
интегралом от	функции комплексного переменного	w = f (z)	вдоль кривой (AB)	и
обозначается	f (z)dz . Таким образом,

( AB)

n−1

f (z)dz = lim f (ζk ) zk .

( AB)

λ→0

k =0

Пусть zk

= xk

+ iyk

xk = xk +1

− xk , yk = yk +1 − yk , тогда

= zk +1 − zk

(xk +1 +iyk +1 ) − (xk + iyk ) = (xk +1 − xk +1 ) + i( yk −1 − yk ) = xk

+ i yk .

Пусть ζk = ξk

+ iηk . Обозначая Re w = u, Im w = v

, имеем:

f (z) = u(x, y) +iv(x, y) f (ζ

) = u(ξ

, η ) +iv(ξ

, η

)

n−1

f (z)dz = lim

u(ξ

, η

) + iv(ξ

, η

) ( x

+ i y

) =

λ→0

( AB)

k =0

n−1

= lim

u(ξk , ηk ) xk − v(ξk , ηk ) yk + i v(ξk , ηk ) xk

+ u(ξk , ηk ) yk

λ→0

k =0

n−1

= lim

u(ξ

, η

) x

− v(ξ

, η

) y

+ i lim

v(ξ

, η

) x

+ u(ξ

, η

) y

λ→0

k =0

(1)

= u(x, y)dx − v(x,u)dy + i v(x, y)dx + u(x, y)dy

( AB) ( AB)

при условии существования этих криволинейных интегралов (второго рода).

Таким образом, нами доказана следующая теорема:

Теорема 1 (существование и вычисление интеграла от функции комплексного переменного).

f (z)dz =	udx − vdy + i	vdx + udy	(2)
( AB)	( AB)	( AB)

при условии существования криволинейных интегралов в правой части этой формулы.

209

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2521 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.06.20245.04 Mб3L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_1.pdf
#
01.06.20246.08 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_2.pdf
#
01.06.20242.46 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_3.pdf
#
01.06.20241.39 Mб20вышмат полезно.pdf
#
01.06.2024482.88 Кб11кр по алегебре.pdf
#
01.06.20245.41 Mб93лекции вышмат.pdf
#
01.06.20241.34 Mб4линейная алгебра и агалитич геом.pdf