лекции вышмат

г) извлечение корня из комплексного числа

Определение 11. Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется такое комплексное число w, что wn = z .

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы

При записи комплексных чисел в показательной форме сохраняются обычные свойства

тогда, используя полученные выше результаты, имеем:

10

элемент y Y при этом оказывается поставленным в соответствие хотя бы одному элементу х Х, то такое соответствие называется функцией и обозначается y = f (x). Множество Х называется областью определения функции, а множество Y – областью ее значений. Элемент y называется образом элемента х, а элемент х – прообразом элемента y

(прообраз может быть и не один).

Примеры:

1)X R, Y R – это действительные функции действительного переменного;

2)Х – множество точек плоскости 0ху, Y R; это функции двух переменных;

3)X, Y – множества комплексных чисел; это функции комплексного переменного;

4)X = N, Y R – такие функции называются последовательностями.

Определение 3. Пусть заданы функции y = (x) и z = f (y), и область определения функции f содержит область значений функции . Тогда х Х из области определения функции соответствует некоторый элемент y = (x), а этому y соответствует некоторый элемент z = f (y). Таким образом, х из области определения функции соответствует один элемент z. Такое соответствие, или функция, называется сложной функцией, или суперпозицией функций и f и обозначается z = f ( (x)).

Далее будем рассматривать такие функции, что X R, Y R, и под словом «функция» (если не оговаривается что-либо другое) подразумевать именно их.

y = arctg x, y = arcctg x.

Определение 5. Всякая функция, которая может быть явным способом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных функций, называется элементарной.

(рациональная дробь называется правильной, если степень числителя P(x) меньше степени знаменателя Q(x)).

11

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Определение предела последовательности и предела функции

близки к пределу а, т.е. отличаются от него меньше, чем на любое наперед заданное число, если номера этих членов достаточно велики, т.е. больше, чем некоторый номер N = N(ε).

проколотой -окрестностью (или проколотой окрестностью) точки а и обозначается

Определение 8 (равносильное определению 6).

По аналогии даются определения бесконечных пределов последовательностей. Последовательности с такими пределами называются бесконечно большими. Например,

Определение 9.

(смысл: члены последовательности сколь угодно велики, т.е. больше любого наперёд заданного числа М, если номера n этих членов достаточно велики, т.е. при номерах n, больших некоторого номера N).

Определение 10 (определение предела функции в точке по Коши). Пусть функция y = f (x)

(в этом определении x приближается к а, но не равен а).

12

Рисунок 1

Согласно определению, при а – х а + график функции (рис. 1) лежит в полосе b – y b + . При определении отрезки c,a и a,d , как правило, не равны друг другу. Чтобы не выйти за пределы полосы (b – , b + ) надо исходить из ближайшего к а края отрезков с или d. При уменьшении , соответственно, уменьшается и .

стороны (справа (x a) или слева (x a)), то b называется пределом функции f (x) в точке а справа или слева и обозначается:

Рисунок 2

в некоторой точке тогда и только тогда, когда её односторонние пределы в этой точке существуют и совпадают.

В силу однотипности построения теории пределов последовательностей и функций, эти теории излагаются параллельно.

Единственность предела последовательности и функции

Теорема 1. Последовательность (функция) не может иметь более одного предела.

13

изображённую на чертеже окрестность точки a1, а с некоторого другого номера N2, попадут в изображенную на чертеже окрестность точки a2 (рис. 3). Тогда, начиная с большего из этих номеров, все члены последовательности должны попасть в обе окрестности сразу, чего быть не может.

Рисунок 3

Ограниченность последовательностей и функций, имеющих конечный предел

множество ее значений является ограниченным сверху (снизу). Функция y = f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на некотором множестве, если множество ее значений на этом множестве является ограниченным сверху (снизу). Функция y = f (x) называется ограниченной при х→ а сверху (снизу), если она ограниченна сверху (снизу) в некоторой проколотой окрестности точки а. Ограниченные сверху и снизу последовательности и функции называются просто ограниченными.

Замечание. Для этого достаточно, чтобы последнее неравенство выполнялось n > m, где

| f (x) – b | < . Но | f (x) – b | |f (x)| – |b| x, 0 < |x – a| < |f (x)| – |b| < , f (x)b + ,

что (при M = b + ) и означает ограниченность функции y = f (x) при х → а. ■

14

Рисунок 4

3) Здесь очевидно, что N 0 и 0 можно взять любыми числами. ■

15

ЛЕКЦИЯ 3

Бесконечно малые последовательности и функции и их свойства

Определение 1. Последовательность {x n } называется бесконечно малой (б.м.), если

Теорема 2. Произведение бесконечно малой последовательности (функции при х→ а) на ограниченную последовательность (функцию при х→ а) есть последовательность (функция при х→ а) бесконечно малая.

Следствие 1. Произведение б.м. последовательностей (функций) есть последовательность (функция) б.м.

▲Так как бесконечно малая имеет конечным пределом 0, а любая последовательность или функция, имеющая конечный предел, ограничена, то можно применить теорему 2. ■ Следствие 2. Произведение б.м. последовательности (функции) на постоянное число есть последовательность (функция) б.м.

16

▲Так как постоянное число можно рассматривать как ограниченную последовательность или функцию.■ Следствие 3. Разность б.м. последовательностей (функций) есть последовательность (функция) б.м.

f (x) – g (x) = f (x) + (–1) g (x) и т.д.). ■

Теорема 3. Частное от деления бесконечно малой последовательности (функции при х→ а) на последовательность (функцию), имеющую (при х→ а) конечный и отличный от 0 предел, есть последовательность (функция при х→ а) бесконечно малая.

в силу теоремы 2, для доказательства теоремы достаточно показать ограниченность

ограничена.

Достаточность.

1. x n = b + n , { n }– б.м. >0 N = N( ): n >N | n | < . Но n = x n – b

17

Теорема 5. Предел суммы двух последовательностей (функций) равен сумме пределов этих последовательностей (функций), если эти пределы существуют.

g(x) = c + (x), где (x) и (х) – б.м., х→ а. Сложим оба этих равенства: f (x) + g (x) = =(b + c) + ( (x) + (x)). В этой формуле b + c – число, (x) + (x) – б.м. по теореме 1

по теореме 4 (достаточность) lim ( f (x) + g (x) ) = b + c. ■ x→a

Теорема 6. Предел произведения двух последовательностей (функций) равен произведению пределов этих последовательностей (функций), если эти пределы существуют.

+ (x), где (x) и (х) – б.м., х→ а f (x)g (x) = bc + (b (x) + c (x) + (x) (x)). В этой формуле bc – число, а выражение b (x) + c (x) + (x) (x) – б.м. по теоремам 1 и 2 и их

следствиям по теореме 1 (достаточность) lim f (x)g (x) = bc. ■ x→a

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Следствие 2. Предел разности двух последовательностей (функций) равен разности пределов этих последовательностей (функций), если эти пределы существуют.

▲ Применяя теорему 5 и следствие 1, имеем:

18

Теорема 7. Предел отношения двух последовательностей (функций) равен отношению пределов этих последовательностей (функций), если эти пределы существуют и предел знаменателя отличен от 0.

По теореме 3 последняя дробь есть б.м., так как ее числитель, согласно предыдущему, б.м.

1) Теоремы о пределах функций справедливы и при а = .

2) В теоремах о пределах последовательностей и функций допускаются и бесконечные пределы, если это имеет смысл: (+ ) + (+ ) = + ; (– ) + (– ) = − ; (+ ) – (− ) = + ;

где основные теоремы о пределах сразу не применимы).

Примеры раскрытия неопределенностей. Найти пределы:

19