Добавил:

VadoZ хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

лекции вышмат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2024

Размер:

5.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2519 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Теорема 2. Пусть ряд (1) сходится и S − его сумма. Сумму (сходящегося) ряда (2) обозначим Rk . Тогда сумму ряда можно представить в виде суммы k -ой частичной суммы

ряда и суммы остатка после k -ого члена.

▲ Переходя в обеих частях формулы (3) к пределу при n → , имеем:

							k
		S = Sk + Rk , или an				= an +			an . ■
				n=1			n=1		n=k +1

В силу этого равенства, определение сходимости ряда можно записать так: ряд											an
											n=1


сходится, если	ε 0	N = N (ε) : n N				a	ε	.
сходится, если						k		.
					k =n+1
										~
Теорема 3. Пусть сходятся ряды an			и bn							~
Теорема 3. Пусть сходятся ряды an			и bn			, и суммы их равны S				и S соответственно.
		n=1		n=1

Тогда сходится и ряд		(α an + β bn ) , где α			и β – постоянные, и сумма его равна α S + β S .
		n=1

▲ Пусть исходных

lim σ	n	= α
n→	n
n→

σ	n	−
	n

	lim S	n
	n→	n
	n→

n -ая частичная сумма этого ряда, а				Sn
рядов.	Тогда	σn	= α Sn + β Sn
+β lim Sn	= α S +β	S. ■
n→

~
S	n

–	n -ые частичные суммы

существует конечный

Теорема 4 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд

▲ an		= Sn − Sn−1. Если ряд (1) сходится и сумма его равна
lim a	n	= lim S	n	− lim S	n−1	= S − S = 0.	■
		n→		n→
n→

(1) сходится, то	lim a	n	= 0.
(1) сходится, то		n
	n→
S , то из этого равенства

Следствие. Если	lim a	n	0	, то ряд (1) расходится (так как, если бы он сходился, то
Следствие. Если		n		, то ряд (1) расходится (так как, если бы он сходился, то
	n→

lim a		n	= 0		).
		n			).
n→
							1
Ниже будет доказано, что так называемый гармонический ряд							1	расходится, хотя
Ниже будет доказано, что так называемый гармонический ряд							n	расходится, хотя
						n=1	n
						n=1
lim	1	= 0		, т.е. необходимый признак сходимости не является достаточным.
lim	n	= 0


n→

Ряды с неотрицательными членами


Рассматриваются ряды	an	, где an 0, n =1,2... Для таких рядов
	n=1

последовательность Sn частичных сумм не убывает.

Теорема 5 (сравнения). Пусть даны ряды an (1) и

n=1

Sn+1 = Sn + an Sn , т.е.

(4)

180

и 0 an bn , n =1,2... Тогда, если ряд (4) сходится, то сходится и ряд (1), а если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (4).

▲ Пусть сходится ряд (4) и S

– его сумма. Пусть Sn

−

n-ые частичные суммы рядов

(1) и

(4) соответственно.

Тогда по

условию

. Но

не убывает

= S Sn S Sn

lim Sn

ограничена

сверху:

Но

всякая

неубывающая,

n→

ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел, следовательно,

lim S

n ,

n→

т.е. ряд (1) сходится.

Если же теперь расходится ряд (1), то расходится и ряд (4), так как если бы этот ряд сходился, то, по уже доказанной первой части теоремы, сходился бы и ряд (1), что противоречит условию. ■

Замечание. Так как по теореме 1 сходимость ряда не зависит от поведения конечного числа его первых членов, то для справедливости теоремы сравнения достаточно, чтобы условие 0 an bn выполнялось для всех n , начиная с некоторого номера.

			ln n
Пример. Исследовать на сходимость ряд			.
		n =1	n
ln n	1
Решение. Так как	и, как было отмечено выше, гармонический ряд
n	n

расходится.

	1
	n
n =1	n

расходится, то исходный ряд

Выполнение условия

поэтому вместо теоремы 5

Теорема 6 (сравнения в


членами	an	(1) и	bn
	n=1		n=1

an bn часто зависит от не слишком существенных причин, часто удобнее следующая теорема:

предельной форме). Пусть даны ряды с неотрицательными

(4), и пусть существует	lim	a	n	= K ,	где	K 0,	K .	Тогда


	n→ b		n


ряды (1) и (4) сходятся или расходятся одновременно (что обозначается как an				~ bn ).
			n=1	n=1
При	K = 0 из сходимости (4) следует сходимость (1), а при	K =	из расходимости (4)

следует расходимость (1).

▲ Пусть ряд (4) сходится. Так как

lim	a	n	= K ,


n→ b		n

то для достаточно больших

a	− K ε	a	− K ε a	(K + ε)b	,
n	− K ε	n	− K ε a	(K + ε)b	,
n		n
b		b	n	n
b		b
n		n

и так как ряд

	n
	n
	(K + ε)b
n=1

тоже сходится (см.

теорему 3), то, по замечанию к теореме 5, сходится и ряд (1). Эта часть доказательства

справедлива и при K = 0 .
		b			1
Пусть теперь сходится ряд (1). Так как	lim	n		=		,	то, по уже доказанной первой части
Пусть теперь сходится ряд (1). Так как	lim			=	K	,	то, по уже доказанной первой части
	n→ a		n		K
			n
теоремы, ряд (4) тоже сходится.

Если же lim	an	= , то lim	bn		= 0, тогда из сходимости (1) следует сходимость (4), а значит,

n→ b		n→ a
	n			n
из расходимости (4) следует						расходимость (1) (если бы (1) сходился, то, по уже
доказанному, сходился бы и (4),						что не так). ■

181

													1
Пример.	Исследовать на сходимость ряд								2n tg						.
Пример.	Исследовать на сходимость ряд								2n tg				3	n	.
							n =1						3					(		)
																		(		)
							2												2	n
							2												2
Решение. Сравним этот ряд со сходящейся ( q =							3	1 )					геометрической прогрессией						3		. Так как при
							3										n =1		3
								2	n	tg		1
	1			1				2		tg			n
	1			1							3		n
бесконечно малые	tg		и		эквивалентны, то	lim					3			= 1		, и по теореме 6 исходный ряд сходится.
бесконечно малые	tg	n	и		эквивалентны, то	lim								= 1		, и по теореме 6 исходный ряд сходится.
	3	n		3	n	n →				n	1
	3			3				2		n

												n
											3	n
											3

n →


Теорема 7 (признак Коши). Пусть дан ряд с неотрицательными членами a
					n=1
существует (конечный или бесконечный)	lim n a	n	= l. Тогда при	l 1	ряд (1)
	n→	n
	n→
при l 1 ряд (1) расходится.
▲ Пусть l 1. Возьмем произвольное число q (l, 1) (рис. 1):
l	q		1
Рисунок 1

n	(1). Пусть

сходится, а

Так как lim

an = l , то N : n N все члены последовательности

попадут в

n→

изображенную на рис. 1 окрестность точки l

n N (n

an q) an

. Ряд q

n=1

сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем q

, 0 q 1), следовательно, по

замечанию к теореме 5, ряд (1) сходится.

an 1 an

1 lim an

т.е. ряд (1)

Пусть l 1,

начиная с некоторого номера

n→

расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости (см. следствие теоремы 4). ■

Пример. Исследовать на сходимость ряд


arcsin	n
arcsin
n =1

1 n

Решение.

lim		arcsin	n	1	= lim arcsin	1	= 0 1
lim	n	arcsin			= lim arcsin		= 0 1
n →				n	n →	n
n →					n →

ряд сходится.

Теорема 8 (признак Даламбера). Пусть дан ряд с неотрицательными членами

an

n=1

(1).

Пусть существует (конечный или бесконечный)

lim	a	n+1		= l.

	a
n→			n

Тогда при l 1 ряд (1)

сходится, а при l 1 ряд (1) расходится. ▲ Пусть l 1. Возьмем такое же q (l,

, как в доказательстве теоремы 7 (рис. 1).

Т.к.

lim	an+1		= l, то N : n N все
lim			= l, то N : n N все
n→ a		n
		n
				a		n+1
точки l n N						n+1

					an		q
					an

an+1

попадут в изображенную на рис. 1 окрестность

aN +2	q,	aN +3	q, … ,	aN +n+1	q. Перемножим левые и
aN +1		aN +2		aN +n

182

правые

части этих неравенств:

N +n+1

aN +n+1

aN +1q n .

Но

aN +1q

N +1

n=1

(геометрическая прогрессия со знаменателем

q (0,1))

по теореме 5 сходится

по теореме 1 ряд (1) сходится.

Пусть

l 1 начиная с некоторого

номера

n+1

1 an+1

lim an

n→

расходится (см. следствие теоремы 4). ■

сходится


aN +n+1
n=1
0	(1)

Пример. Исследовать на сходимость ряд

	n	n

	n !
n =1

(n + 1)

n +1

(n + 1)

n +1

n !

(n + 1)

n +1

(n + 1)

Решение. a

lim

= lim

n +1

n !

(n + 1) !

n →

(n + 1) !n

n →

(n + 1)n

n →

= lim (

n + 1

)

= lim (1 +

)

= e 1

ряд расходится.

n →

Теорема

членами

9 (интегральный


an	(1). Пусть
n=1

признак

a	n	= f (n)
	n

сходимости).

, где функция

Пусть

y = f

дан

(x)

ряд с неотрицательными

определена, непрерывна,

неотрицательна и не возрастает при	x 1	. Тогда ряд
одновременно с несобственным интегралом
+
	f (x)dx .
	f (x)dx .
1
▲

(1) сходится или расходится

(5)

0 1 2 3 … n n + 1

Рисунок 2

Как видно из рис. 2, площадь криволинейной трапеции, т.е. n+1 f (x)dx , заключена между

площадями «большой» и «маленькой» ступенчатых фигур, которые (как сумма площадей прямоугольников) соответственно равны:

1 f (1) +1 f (2) +...	+1 f (n) = f (1) + f (2) +... + f (n) = Sn и
1 f (2) +1 f (3) +...	+1 f (n +1) = f (2) + f (3) +... + f (n +1) = Sn+1 − a1 .

183

n+1

Таким образом,

Sn+1

− a1

f (x)dx Sn .

n+1

Пусть

(5)

сходится.

Т.к.

f (x) 0,

то

f (x)dx

f (x)dx ,

значит,

n+1

Sn+1

f (x)dx + a1

, т.е. Sn ограничена сверху, а так как для любого ряда с

неотрицательными членами эта последовательность не убывает, то существует конечный

lim Sn , следовательно, ряд (1) сходится.

n→

			n+1
			n+1
Пусть (5) расходится. Так как	f (x) 0, то			f (x)dx не убывает. Эта последовательность
Пусть (5) расходится. Так как	f (x) 0, то			f (x)dx не убывает. Эта последовательность
		1
					n+1		c
не может быть ограниченной сверху (если бы						f (x)dx M , то φ(c) = f (x)dx M			для
					1		1
				n+1				n+1
c 2, и, интеграл (5) сходится). Тогда		lim			f (x)dx = + . Но так как		Sn	f (x)dx , то
		n→		1				1
				1				1

отсюда и lim Sn = + , а значит, ряд (1) расходится. ■

n→

Пример.

Решение. При α

Исследовать на сходимость ряды

	lim	1		0	ряд расходится.
0			α
	n →	n



n =1

При

1
n	α

α

Такие ряды называются рядами Дирихле.

		f ( x) =	1
0	функция	f ( x) =		удовлетворяет всем условиям теоремы
			x	α
			x

9. Но

при

dx
x	α

1 .

сходится при α 1 и расходится при α 1 ,	следовательно, ряды Дирихле сходятся при
		1
В частности, расходится и гармонический ряд	.
	n =1	n

α 1

и расходятся

Ряды Дирихле часто берутся в качестве одного из рядов при исследовании рядов на сходимость с использованием теорем 5 и 6.

Замечание. Применение к рядам				Дирихле признака Даламбера	приводит к равенству
l = lim	nα	=1,	т.е. при l =1	ряд (1) может сходиться, а	может и расходиться.
	(n +1)α
n→

Аналогичный результат справедлив и для признака Коши.

Ряды с членами произвольного знака

Рассмотрим ряд с членами произвольного знака модулей членов ряда (1)

an

n=1

(1). Рассмотрим также ряд из

| an | . (6)

n=1

Определение 2. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (6).

184

Теорема 10. Если ряд (6) сходится, то ряд (1) тоже сходится, т.е. из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость в обычном смысле.

▲ Представим члены ряда (1) в виде	an	+	−	, где
		= an	− an

a , если a

если an

a− =

если a

−a

, если a

Так как

| an |

, 0

−

| an

| ,

то по

теореме 5

из сходимости ряда (6) следует

0 an

сходимость рядов

−

, а отсюда, согласно теореме 3, следует сходимость ряда

n=1

−

) = an

(1). ■

(an

− an

n=1

Замечание. К ряду (6), как к ряду с неотрицательными членами, можно применить теоремы 5 – 9 о сходимости таких рядов. Остановимся подробнее на применении признаков Коши и Даламбера:

Пусть

lim n \| a	n	\| = l
n→	n
n→

или

lim	\| a	n+1			\|
		n+1
	\| a			\|
n→	\| a		n	\|
			n

= l

. Тогда при

l 1

ряд (6) сходится, значит, ряд (1)

абсолютно сходится, а при l 1 расходится не только ряд (6), но и ряд

доказательств признаков Коши и Даламбера следует, что в этом случае	lim
	n→

(1),

a	n
	n

так как из

0 .

Определение 3. Ряд (1) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд из модулей (6) расходится.

Теперь рассмотрим так называемые знакочередующиеся ряды: c1 −c2 + c3 −c4 + c5 −c6 +... , где cn 0

Теорема 11 (признак Лейбница). Пусть члены знакочередующегося ряда по абсолютной

величине не возрастают:

cn+1

и lim cn = 0 .

Тогда этот ряд сходится,

и его сумма

n→

удовлетворяет условию: c1 − c2 S c1 .

▲ Надо доказать существование конечного предела частичных сумм ряда

lim Sn .

n→

Рассмотрим

сначала

сумму

четного

числа

членов

S2n :

2(n+1)

= S

2n+2

= S

+ (c

2n+1

− c

2n+2

) S

(так

как

cn+1 cn , то

2n+1

)

2n+2

последовательность S2n

не убывает (и

S2n S2 = c1 −c2 ). Эта последовательность к тому

же

S2n

lim

n→

ограничена сверху: в силу условий теоремы cn+1 cn

= c1 −(c2 −c3 ) −(c4 −c5 ) −... −(c2n−2 −c2n−1 ) −c2n c1 . Значит, существует

S2n = S и c1 − c2 S c1 .

имеем: конечный

Теперь	рассмотрим	сумму	нечетного числа членов S2n+1 .	Так как lim cn = 0 , то
				n→
lim S2n+1	= lim(S2n + c2n+1 ) = lim S2n + lim c2n+1 = S + 0 = S .
n→	n→	n→	n→
Т.к. lim S2n = lim S2n+1		= S , то существует конечный предел lim Sn		= S и c1 −c2 S c1 . ■
n→	n→		n→

185

Примеры. Исследовать на сходимость ряды.

Решение.

		(−1)	n		1
		(−1)			1
1)			. Ряд из абсолютных величин – гармонический ряд		расходится,
	n =1	n		n =1	n

признака Лейбница: он знакочередующийся, его члены по абсолютной величинепо теореме 11 ряд сходится исходный ряд сходится условно.

сам ряд удовлетворяет всем условиям убывают и при n → стремятся к 0

		n

2)	(−1)
	n =1

абсолютно

( n −1)	n	3
2	n	. Ряд из модулей
2		. Ряд из модулей
	2	n
	2

сходится.

	n
	2
n =1	2

сходится по признаку Даламбера:

	(n + 1)		3			2	n	1
lim							=		1
		n +1			3
n →	2			n				2

исходный ряд

			(		)
				4n + 1	n

3)	(−1)	n −1
3)	(−1)			3n −1
	n =1			3n −1
			n

. Применение признака Коши к ряду из модулей

			4n + 1		n
		(	4n + 1	)	2
(−1)	n −1
(−1)			3n −1
n =1			3n −1

приводит к:

lim

4n + 1

= lim

4n + 1

исходный ряд расходится (см. замечание к теореме 10).

n →

3n −1

n →

3n −1

(−1)

Ряд

из модулей

, согласно теореме сравнения в предельной форме, сходится или

+ n

+ 1

+ n + 1

n =1

)

расходится одновременно с рядом

, последний ряд расходится ( α =

1 – см. ряды

2 3

n =1

3 n2 + n + 1

n =1

(−1)

Дирихле); сам ряд

является знакочередующимся и сходится по признаку Лейбница, так как его члены

+ n + 1

n =1

по абсолютной величине убывают и при

n →

стремятся к 0

исходный ряд условно сходится.

186

ЛЕКЦИЯ 2

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Область сходимости функционального ряда

Определение 1. Функциональным рядом называется ряд

un (x) , n=1

где функции un (x) определены на некотором множестве X . При x X

(1)

функциональный

ряд (1) превращается в		обычный числовой ряд, который может сходится, а может и
расходится.	Множество	тех x , для	которых ряд (1) сходится, называется областью
сходимости	функционального ряда.		В области сходимости функционального ряда его

сумма является функцией

x , то есть

S = S(x) .

Пример. Найти область сходимости ряда

n =1

Решение. Применим к ряду из модулей

n =1 (3n −1)

n +1

(3n

−1) | x +1 |

3n −1

lim

n +1

n →

(3n + 2)

| x + 1 |

| x +1 |

n →

3n + 2

x +1

	2	n
	2			.
				.
(3n −1)( x +			1)	n
(3n −1)( x +			1)
	признак Даламбера:
+ 1 \|	n
+ 1 \|
Значит,				исходный	ряд	абсолютно	сходится	при

1 | x + 1 | 2

x + 1

и расходится при

1 −3 x 1

(при этом расходится не

x + 1

−2

x −3

| x + 1 |

только ряд из модулей, но и сам ряд). При

x = 1

ряд превращается в

– расходится; при

(3n −1)2

3n −1

n =1

(−1)

x = −3

ряд превращается в

– условно сходится (ряд из модулей, как только что было

(3n −1)(−2)

3n −1

n =1

отмечено, ведет себя как гармонический ряд, т.е. расходится, а сам ряд сходится по признаку Лейбница: он

знакочередующийся, его члены по абсолютной величине убывают и при			n → стремятся к 0). Таким образом, область
сходимости данного ряда есть	(−, −3] (1, + ) , причем в точке	x = −3	ряд сходится условно, а в остальных точках –
абсолютно.

Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда

Определение 2. Степенным рядом называется функциональный ряд вида


an x	n	= a0 + a1x + a2 x	2	+...,
an x		= a0 + a1x + a2 x		+...,
n=0

(2)

где an – некоторые действительные коэффициенты. Степенным рядом также называют


функциональный ряд вида an (x − x0 )n , который сводится к ряду (2) заменой	x − x0
n=0

Теорема 1 (Абеля). Если степенной ряд (2) сходится (не обязательно абсолютно) некотором x = x0 , то он абсолютно сходится при х : | x | | x0 | .

= t .

при

	lim an x0n = 0 . Но последовательность, имеющая конечный
▲ Ряд an x n сходится
n=0	n→

предел, ограничена: M 0 : an x0n		M , n = 0,1,2,...

187

Теперь рассмотрим ряд


an x	n
an x
n=0

, где x x0 , и докажем, что он абсолютно сходится, т.е.

что сходится ряд

Так как	an x	n	=	n	x		n
							n


				an x0	x
					x	0
						0

прогрессия со знаменателем

M	x
	x
		0

x		1
x
	0


an x	n	.			(3)
an x		.			(3)
n=0
n			x		n

и ряд		M			сходится (как геометрическая
и ряд		M	x		сходится (как геометрическая
		n=0	x	0
		n=0		0

), то, по теореме сравнения, ряд (3) сходится. ■

Следствие 1. Если степенной ряд (2) расходится при некотором x = x0 , то он расходится и при любом x , таком, что | x | | x0 | (так как если бы он сходился при одном таком x , то, по теореме Абеля 1, он сходился бы при x = x0 , что противоречит условию).

Следствие 2. Существует число R , 0 R , такое, что ряд (2) абсолютно сходится при | x | R и расходится при | x | R (рис. 1).

– R

Рисунок 1

▲ Рассмотрим множество



x : an x		n
x : an x
	n=0

(2) сходится

 

. Если это множество не является

ограниченным сверху, то существует сколь угодно большие x , при которых ряд (2) сходится, но тогда, по теореме Абеля, ряд (2) абсолютно сходится при всех x , т.е. R = . Если же это множество ограничено сверху, то оно имеет верхнюю грань. Обозначим ее R .

Ряд (2) расходится при

x : x R

, так как если бы он сходился при одном таком х, то, по

теореме Абеля, он сходился бы на отрезке		− x		, x	, что противоречит определению верхней

грани множества.
Ряд (2) абсолютно сходится при	x : x R		, так как согласно определению верхней грани

множества x0 (x , R): в точке	x0 ряд (2)			сходится , значит, по теореме Абеля, он

абсолютно сходится в точке x . ■

Определение 3. Такое число R называется радиусом сходимости степенного ряда.


Теорема 2 (нахождение радиуса сходимости). Пусть дан степенной ряд	an x	n
	an x
	n=0

(2) с

радиусом сходимости R . Тогда

R = lim	an		,	(4)

n→ a		n+1

188

и	R = lim	1	,

	n→	a
	n		n

если эти пределы (конечные или бесконечные) существуют.

(5)

▲ Применим к ряду из абсолютных величин

признак Даламбера или признак

n=0

n+1

Коши: lim

n+1

= lim

n+1

или lim

= lim

x .

n→

При пределах (4) или (5), отличных от

и , это означает, что ряд (2) абсолютно сходится

при

lim

x lim

или

lim n

x 1

расходится при

n→

lim

n→

lim

n+1

x 1

x lim

или

lim

, а это и дает формулы (4) и

n→

n→ a

n→

lim

n+1

n→

(5) для радиуса сходимости.

n+1

lim

Если

lim

или

то

lim

n+1

= 0 1

или

lim

= 0 1 ряд

n→

n+1

абсолютно сходится для всех

, т.е.

тоже равно

x n+1

lim

= 0

Если

lim

= 0

или

, то lim

= 1 или

lim

= 1 ряд

n→ an+1

n→

n→ a

n→

расходится для всех x 0 , т.е. R

тоже равно 0. ■

Примеры. Исследовать на сходимость степенные ряды.

n =1

+ 1

Решение.

R = lim

= lim

ряд абсолютно сходится при

n →

n 2

n +1

ряд превращается в

, а этот ряд расходится ( α =

). При

x =

n =1

x1 и расходится при

	1
−	ряд превращается в
	2

условно сходится (ряд из модулей расходится, сам ряд сходится по признаку Лейбница).

		2 n
		x
2)		x	.
2)		n +1	.
n =	0	9

x1 2

	(−1)
	n
n =1	n

. При x = 1 2

, а этот ряд

Решение. Считать радиус сходимости по формулам (4) или (5) нельзя, так как a2 n +1 = 0, n = 0,1, 2, ... , т.е. пределы

lim n

x2 n

ряд абсолютно сходится при

(4) и (5) не существуют. Применим к ряду признак Коши:

n +1

n →

lim 9

n →

1 , x2 9,

x 3 и расходится при

1 , x

R = 3 .

Тот же результат можно получить, сделав замену

= t ,

найдя по формулам (4)

или (5) радиус сходимости R

полученного ряда tn +1 : R = 9 и выписав область сходимости t 9 , или x2 9.

n =0 9

При x = 3 ряд, естественно, расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости.

189

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2519 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.06.20245.04 Mб2L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_1.pdf
#
01.06.20246.08 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_2.pdf
#
01.06.20242.46 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_3.pdf
#
01.06.20241.39 Mб10вышмат полезно.pdf
#
01.06.2024482.88 Кб3кр по алегебре.pdf
#
01.06.20245.41 Mб72лекции вышмат.pdf
#
01.06.20241.34 Mб2линейная алгебра и агалитич геом.pdf