Добавил:

VadoZ хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

лекции вышмат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2024

Размер:

5.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2518 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

характеристического уравнения и коэффициенты

в решениях вида

y = ekx

действительные числа, то все результаты пункта 1. справедливы и в случае таких комплексных чисел, однако в фундаментальной системе решений часть функций окажется тогда комплекснозначной. Чтобы от таких функций перейти к функциям с действительными значениями, поступим следующим образом.

Пусть k1 = α + iβ − корень характеристического уравнения (4) кратности 1. Так как это

уравнение с действительными коэффициентами, то

k	2

α − iβ −

тоже корень уравнения (4)

кратности 1. Этим корням соответствуют следующие решения уравнения (2):

y		= e
		(α+iβ) x
1		= e
y		= e
		(α−iβ) x
	2

=eαx

eiβx = eαx (cos βx + i

e−iβx = eαx (cos βx −

sin βx) i sin βx

) .

Так как любая линейная комбинация (даже с комплексными коэффициентами) решений линейного однородного уравнения тоже является решением этого уравнения, то решениями (2) будут и функции

y	+ y	2		αx			y	− y	2		αx
1		2	= e	αx	cos βx	и	1		2	= e	αx
	2		= e		cos βx	и		2i		= e
	2							2i

Покажем, что если в фундаментальной системе решений

sin βx

y	, y
1	2

,..., yn

заменить y1 и y2 на

такие их линейные комбинации, то система останется фундаментальной. Для этого, согласно определению фундаментальной системы решений, достаточно доказать, что функции новой системы будут линейно независимыми. Приравняем к 0 линейную комбинацию таких функций:

+ y

− y

+ c2

+ c3 y3 +... + cn yn 0 .

−

+ c3 y3 +... + cn yn 0 .

Так как

y1, y2 ,..., yn

линейно независимы, то все коэффициенты их линейной комбинации,

равной 0, будут равны 0, т.е.

= 0 ;

−

= 0 ; c3 = 0 ;…; cn = 0 . Складывая и вычитая

два первых равенства, имеем

c1 = 0

= 0 ,

= 0 , что и требовалось доказать.

Так же можно поступить с любой другой парой комплексно сопряженных корней кратности 1 уравнения (4).

Пример. Решить дифференциальное уравнение

y ''− 2 y '+ 2 y

Решение. Запишем

k	= 1	1 − 2 = 1 i
	1, 2

характеристическое

имеют кратность 1,

уравнение:	k	2	− 2k + 2	= 0	. Комплексные корни этого уравнения

и общее решение дифференциального уравнение пишется в виде

= c ex 1

cos x + c e	x
cos x + c e
2

sin

3. Среди корней характеристического уравнения есть действительные кратные

Пусть	k1 − действительный корень характеристического уравнения	(4) кратности	r1 .
Согласно предыдущему, ему соответствует решение уравнения (2)		y = ek1x . Но чтобы
		1

сохранить количество решений (n) в фундаментальной системе, этому корню должно соответствовать r1 решений. Оказывается, что такими решениями будут функции

y = ek1x , y		2	= xek1 x	,	y = x	2ek1 x , …, y	= xr1−1ek1x .
1		2			3		r1
1. Эти функции являются решениями уравнения (2).
Проверим это в случае k	= 0 , т.е. при y				=1, y	= x , y3 = x2 ,…,		yr = xr1−1 .
1			1		2			1

В этом случае характеристическое уравнение (4) имеет вид

170

Ф(k) = k

F(k) = 0

, где F(0) 0

, или

+ a k

n−1

+... + a

= 0

, где

n−r

тогда соответствующее дифференциальное уравнение (2) имеет вид

a	n−r
	1

a0 y(n) + a1 y(n−1) +... + an−r1 y(r1 ) = 0 , an−r1 0 ,

и, очевидно, что все наши функции удовлетворяют этому уравнению, встречающиеся в нем производные этих функций равны 0.

Случай	k1 0	сводится к случаю	k1	= 0	путем замены	y = ue	k x	, где	u
							1

так как все

= u(x) − новая

неизвестная функция. Рассмотрение такой замены, однако, требует достаточно громоздких выкладок, которые мы здесь приводить не будем.

2. Теперь проверим, что полученные решения линейно независимы. Приравняем к 0 (тождественно на любом конечном или бесконечном промежутке) произвольную линейную комбинацию этих решений и докажем, что все коэффициенты этой линейной комбинации обязательно равны 0. Имеем (последний переход уже был разобран выше):

	с e	k x	+ c xe			k x		2		e	k x		+... + c x		r −1		k x	0
	с e	1	+ c xe			1	+ c x			e	1		+... + c x		1	e	1	0
		1				1					1				1		1
	1		2				3							r
с + c x + c x				2	+... + c			x	r −1			0		c		= c		= ... = c		= 0
с + c x + c x					+... + c			x	1			0		c		= c		= ... = c		= 0
									1
1	2		3				r							1			2		r
							1												1

Так же можно поступить с любым другим действительным кратным корнем характеристического уравнения. Можно проверить, что вся полученная таким образом система решений будет линейно независимой.

Пример. Решить дифференциальное уравнение y '''− y ''− y '+ y = 0 .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:

− k

− k +1 = 0

. Решаем это уравнение:

(k −1)(k

−1) = 0 ;

(k −1)

(k +1) = 0 ;

= 1

= −1 .

соответствии с изложенным выше,

1, 2

дифференциального уравнения имеет вид

y = c e

+ c xe

+ c e

− x

−1) − (k −1) = 0

;

общее решение

4. Среди корней характеристического уравнения есть комплексные кратные

Так как в рассуждениях пункта 3. не использовалась действительность корней

характеристического уравнения и коэффициентов

в решениях вида

y =

x	r	e	kx

, то

результаты 3. справедливы и в случае комплексных чисел, однако при этом часть функций в фундаментальной системе решений окажется комплекснозначными. Чтобы от них перейти к функциям с действительными значениями, поступим аналогично пункту 2. и получим новую фундаментальную систему решений:

yk + yk '

= x

k −1

αx

cos βx и

− yk '

= x

k −1

αx

sin βx ,

k = 1, 2,

Пример. Решить дифференциальное уравнение yiv + 2 y" + y = 0 .

Решение. Характеристическое

уравнение имеет

вид:

, или

+1)

= 0 .

..., r .

Корни этого уравнения:


k	2	= −1	, k1, 2	= i, k3 , 4

будет функция					y =

= −i

c cos 1

В соответствии с результатами пункта 4, общим решением дифференциального уравнения

+ c	sin x + c x cos x + c x sin x .
2	3	4

Подведем итог: Общее решение уравнения

y (n) + a y(n−1) +... + a

n−1

y'+a

= 0

имеет вид

y = c1 y1 + c2 y2 +... + cn yn ,

где c1 ,c2 ,...,cn −произвольные

постоянные,

y1 , y2 ,..., yn − фундаментальная система

решений уравнения, которая ищется так: составляем характеристическое уравнение

a k n + a k n−1 +... + a

n−1

k + a

= 0

Это уравнение имеет ровно n корней (с учетом кратности). Этим корням соответствуют следующие n функций в фундаментальной системе решений:

171

Каждому действительному корню

кратности 1 соответствует решение y = e

Каждой

паре

комплексно

сопряженных

корней

k1 = α +iβ

= α −iβ

кратности 1 каждый, соответствуют два решения y1

= e

αx

cos βx

= e

αx

sin βx .

Каждому действительному корню

кратности

соответствуют r

решений

= e

= xe

, y3 = x

, …, yr = x

r−1

Каждой паре комплексно сопряженных корней k1

= α +iβ и k2

= α −iβ

кратности

каждый, соответствует 2r

решений

= e

αx

cos βx ,

= e

αx

sin βx

, y2 = xe

αx

cos βx

y2 ' = xe

αx

sin βx ,…, yr = x

r −1 αx

cos βx ,

yr '

= x

r −1

αx

sin βx .

172

ЛЕКЦИЯ 13

НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

В этой лекции, как и выше, под

L( y)

понимается линейный дифференциальный оператор

L( y) = y	(n)	+ p y	(n−1)	+ p		y	(n−2)	+... +
L( y) = y		+ p y		+ p	2	y		+... +
		1			2

p	n	y
	n

(1)

где все коэффициенты

= pi (x) ,

i =1,

2, ..., n

определены и непрерывны на некотором

интервале (a,b)

, и рассматривается так называемое неоднородное уравнение

L( y) = f (x) ,

где f (x) также определена и непрерывна на (a,b) , или

(n)

+ p (x) y

(n−1)

+ p

(x) y

(n−2)

+... + p

(x) y =

f (x)

(2)

Уравнение вида

L( y) = 0

или

(n)

+ p (x) y

(n−1)

+ p

(x) y

(n−2)

+... + p

(x) y

= 0

(3)

называется однородным линейным уравнением, соответствующим уравнению (2). решение (3) находится в соответствии с изложенным выше.

Теорема 1 (структура общего решения линейного неоднородного уравнения).

y = c1 y1 + c2 y2

+...

+ cn yn

−общее решение однородного уравнения (3) (здесь

y1 , y2

Общее

Пусть

,...y	n	−
	n

фундаментальная система решений этого уравнения, а

c	, c	2	,...c	n
1		2		n

−

произвольные

постоянные), а	y

этого уравнения).

− частное решение неоднородного уравнения (2)
Тогда функция
y = y + y

(т.е. одно из решений

(4)

является общим решением уравнения (2). Т.е. общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения.

▲ Нужно проверить, что функция дифференциального уравнения.

Как и y , эта функция зависит от

(4) удовлетворяет определению

произвольных постоянных

c1 , c2

общего решения

,...cn . При любых

значениях	этих					постоянных функция													(4)	является			решением уравнения			(2):
L( y) = L( y + y			) =			L( y) + L( y								) = 0 + f (x) = f (x) .
L( y) = L( y + y			) =			L( y) + L( y								) = 0 + f (x) = f (x) .
Теперь в	точке						x0 (a,b)							зададим произвольные								начальные		условия	y(x0 ) = y0 ,
y'(x0 ) = y'0	, … ,			y	(n−1)			(x		) = y		(n−1)			и покажем, что постоянные ci								можно подобрать так, чтобы
				y				(x	0	) = y		0
									0			0
функция (4) удовлетворяла этим начальным условиям. Имеем:
y(x ) = c y (x ) + c y											2		(x ) +...			+ c y	n	(x ) + y (x ) = y				0
	0			1 1				0		2	2			0		n	n		0	0		0
																+ c y (x ) + y* (x ) = y
y '(x )		= c y (x )								+ c y (x ) +...						+ c y (x ) + y* (x ) = y
	0			1 1				0		2 2				0		n n			0	0		0

y ''(x ) = c y (x )										+ c y (x ) +...						+ c y (x ) + y* (x ) = y								.		(5)
	0			1 1				0		2 2				0		n n			0		0	0
..........................................................................................

y(n−1) (x ) = c y(n−1) (x ) + c y(n−1) (x ) +... + c y(n−1)																					(x ) + y*( n−1) (x ) = y( n−1)
			0				1 1			0					2 2	0				n n	0		0	0

Система (5) является системой n линейных уравнений с n неизвестными

c	, c	2	,...c	n
1		2		n

правыми частями y0 − y (x0 ) , y0 − y (x0 ) , … , y0(n−1) − y (n−1) (x0 ) . Определитель этой системы – это определитель Вронского W (x0 ) , который отличен от 0 в силу линейной

независимости функций y1 , y2 ,...yn . Значит, система (5) имеет единственное решение. ■

173

Приведем здесь еще одну теорему, которая в некоторых случаях облегчает нахождение частного решения неоднородного уравнения.

Теорема 2. Пусть уравнения L( y) = f

▲ L( y1 + y2 ) = L( y1

y1 − частное решение уравнения

L( y) = f1(x) , а

2 (x) . Тогда y1 + y2 − частное решение уравнения

) + L( y2 ) = f1(x) + f2 (x) . ■

y2 − частное решение

L( y) = f1(x) + f2 (x) .

В соответствии с теоремой 1, для нахождения общего решения уравнения (2) нужно знать фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения (3) (ее мы умеем находить для уравнений с постоянными коэффициентами) и частное решение данного неоднородного уравнения.

Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Ниже коэффициенты линейного оператора

L( y)

–постоянные действительные числа:

L( y) = a0 y

(n)

+ a1 y

(n−1)

+... + an−1 y'+an y , a0 0 .

Тогда неоднородное L( y) = f (x)

и соответствующее однородное L( y) = 0

уравнения будут

иметь вид:

a y

(n)

+ a y

(n−1)

+... + a

y'+a

= f (x)

(6)

n−1

a y

(n)

+ a y

(n−1)

+... + a

y'+a

y = 0

(7)

n−1

Эти уравнения можно разделить на

, поэтому сюда применима теорема 1, и общее

решение (6) будет иметь вид (4):

y = y + y

Частное решение неоднородного уравнения (6) будет искаться при следующих двух правых частях f (x) (которые называются правыми частями специального вида):

1.	f

(x) =

P (x)e	αx
P (x)e
k

, где

Pk (x) −

многочлен степени

Пусть

число

является

корнем

характеристического

уравнения для

однородного

уравнения (7)

кратности

(если

не является корнем этого уравнения,

то мы будем

считать, что r = 0 ).

а) Сначала рассмотрим случай α = 0 , т.е.

f (x) = Pk (x) .

В этом случае естественно искать частное решение неоднородного уравнения (6)

в виде

y = R(x) ,

где

R(x) − многочлен некоторой степени

m .

Подставим такую функцию в

уравнение

(6),

которое

данном

случае

(см.

выше)

имеет

вид

(n)

+ a y

(n−1)

+ ... + a

(r )

f (x)

an−r 0 . Имеем:

n−r

(n)

(x)

+ a R

(n−1)

(x) + ... + a

(r )

(x)

= P

(x)

(8)

n−r

этой формуле

(n)

(x) −

многочлен степени

m − n ,

(n−1)

(x) −

многочлен степени

m −(n −1) = m − n +1, … ,

R(r ) (x) − многочлен степени m − r . Тогда ( an−r 0 ) левая часть

формулы (8) есть многочлен степени m − r . Но правая часть этой формулы есть многочлен степени k , значит, m − r = k , m = k + r .

	R(x)			0	1	2		r−1
В левую часть формулы (8) не войдут коэффициенты многочлена		при	x		, x , x		,..., x

(так как эти коэффициенты «пропадут» при нахождении производных R(x)					порядка r			и
выше), значит, эти коэффициенты можно взять любыми. Взяв их равными 0, имеем:
y = b0 xk +r + b1 xk +r −1 + ... + bk xr = xr (b0k + b1xk −1 +... + bk ) = xrQk (x) ,

174


где	Qk (x) −многочлен степени	k	с неопределенными
коэффициентами, которые нам еще надо найти).
	б) Теперь рассмотрим случай произвольного α .
Такой случай сводится к случаю а) путем замены y = ue				αx	, где,	u	=
						u	=

коэффициентами (т.е.

u(x) −	новая неизвестная

функция. Опуская довольно громоздкие выкладки, получим частное решение уравнения

u(x)

(x)

для

= x

где

– многочлен степени

неопределенными

коэффициентами. Отсюда частное решение (6) можно искать в виде

(x)e

αx

= x

(9)

Подставляя функцию (9)

в уравнение (6)

αx

, получим

и сокращая это уравнение на e

тождественное

равенство

(на

) двух

многочленов степени

k .

Необходимым и

достаточным условием такого равенства является совпадение коэффициентов этих многочленов при одинаковых степенях x . Приравнивая эти коэффициенты, получим систему k +1 уравнений с k +1 неизвестными, которая, как можно доказать, всегда имеет единственное решение.

Таким образом, если

f (x) =

P (x)e	αx
P (x)e
k

, то частное решение неоднородного уравнения (6)

ищется по формуле (9), в которой

Q	(x)
k

−

многочлен степени

с неопределенными

коэффициентами,

r − кратность

как корня

характеристического

уравнения для

соответствующего однородного уравнения (7), или сколько раз

α , взятое из правой части

уравнения (6), встречается среди корней характеристического уравнения.

Пример.

Решить дифференциальное уравнение

y ''+ y '- 2 y =

(6x - 1)e

Решение. Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид

+ k − 2 = 0 . Корни

этого уравнения

k = −2

= +1

, и общее решение однородного уравнения

= c e

−2 x

+ c e

. Теперь ищем частное

решение исходного уравнения:

α = 1

r = 1 ,

k = 1 ,

= x( Ax + B)e

= ( Ax

+ Bx)e

. Находим производные этой

функции

подставляем

исходное

уравнение

(для

удобства

записи

опуская

символ *):

y '

= (2 Ax + B)e

+ ( Ax

+ Bx)e

( Ax

+ (2 A

+ B)x + B)e

;

y '' = (2 Ax + 2 A + B)e

+ ( Ax

+ (2 A + B)x + B)e

= ( Ax

;

теперь

+ (4A + B)x + 2A + 2B)e

( Ax

+ (4 A

+ B)x

+ 2 A + 2B)e

( Ax

+ (2 A + B)x + B)e

− 2( Ax

+ Bx)e

= (6x

;

−1)e

+ 4Ax + Bx +

2A + 2B +

+ 2 Ax + Bx + B − 2 Ax

− 2Bx

= 6x −1

; 6Ax + 2A + 3B = 6x −1 .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях этого равенства:

6 A = 6

Из этой системы A = 1; 3B = −1 − 2 = −3 ;

= c1e

−2 x

+ c2 e

+ x( x − 1)e

B = −1. В итоге,

y = y + y

2 A + 3B = −1

f (x) = eαx Pk (x) cos βx + Qm (x) sin βx ,

где Pk (x)

и Qm (x) − многочлены степени k

соответственно

действительными коэффициентами (это обобщение случая 1,

который получается отсюда при

β =

Можно показать, что в этом случае частное решение неоднородного уравнения (6) следует искать в виде

y = xr eαx Rl (x) cos βx +Tl	(x) sin βx ,	(10)
где Rl (x) и Tl (x) −многочлены степени l с	неопределенными	(действительными)

коэффициентами l = max k, m , а r – кратность α +iβ как корня характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения (7), или сколько раз α +iβ ,

взятое из правой части уравнения (6), встречается среди корней характеристического уравнения.

175

Подставляя

решение

вида

(10) в

уравнение (6),

после сокращения

αx

получаем

на e

тождественное равенство (на

) двух функций. Приравнивая коэффициенты при x cosβx

и x

sin βx

в обеих частях этого равенства (такие функции линейно независимы), получаем

систему

уравнений,

из которой

единственным

образом находим

коэффициенты

многочленов

Rl (x) и

(x)

Пример. Решить дифференциальное уравнение Решение. Соответствующее однородное уравнение

y '''+ y y '''+ y '

'= sin

=0 .

2x .

Его характеристическое уравнение имеет вид

+ k

,или

k(k	2

+1)

. Отсюда

k	= 0
1

и	k

2 , 3

Общее решение однородного уравнения:

y β

= =

c
	1
2	,

c	cos x + c	sin x .	Находим частное решение исходного уравнения:	P (x) = 1	,	Q	(x) = 0
2	3			k		m
α + βi = 2i		; это	число не является корнем характеристического уравнения,
		; это	число не является корнем характеристического уравнения,

k = m =

поэтому

0	;
	r

y

y ''
8A

= A cos 2x + B sin 2x . Отсюда		(символ * для удобства		записи опускаем)		y ' = −2A sin 2x + 2B cos 2x		,

= −4A cos 2x − 4B sin 2x	,	y ''' = 8A sin 2x − 8B cos 2x	.	Подставляем	в	исходное	уравнение:

sin 2x − 8B cos 2x − 2A sin 2x + 2B cos 2x = sin 2x ; 6A sin 2x − 6B cos 2x = sin 2x .					Приравниваем коэффициенты при

cos 2x
y = y + y
y = y + y

= c 1

sin 2x
+ c	cos x
	2

+ c 3

левой и

	1
sin x +	cos 2x
	6

правой

частях:

 

−6B = 0 6 A = 1

. Отсюда

A =

1 6

B = 0

Этот пример показывает, что независимо от

дифференциального уравнения обеих функций	cos

решении вида (10) должны быть обе эти функции.

наличия

βx

sin

βx

правой части линейного или только одной из них, в

Замечание. Если правая часть уравнения (6) является суммой двух или большего числа функций специального вида, то для нахождения частного решения этого уравнения удобно использовать упомянутую выше теорему 2.

Метод вариации произвольных постоянных

Теперь вернемся к общему виду линейного неоднородного дифференциального уравнения. Пусть в соответствии с формулами (1)-(4),

L( y) = y	(n)	+ p	(x) y	(n−1)	+ p		(x) y	(n−2)	+ ... + p		(x) y
						2				n
		1

и неоднородное и соответствующее однородное уравнения имеют вид

(n)

+ p

(x) y

(n−1)

+ p

(x) y

(n−2)

+... +

(n)

+ p

(x) y

(n−1)

+ p

(x) y

(n−2)

+ ... +

Общее решение уравнения (2) имеет вид

		y = y + y					.
		y = y + y

где
y = c y		+ c	2	y	2	+ ... + c		n
1	1		2		2			n


p	n		(x) y =
	n
p		n		(x) y =
		n

y	n .

f (x)
0	.

(11)


				y	, y	,..., y	−	фундаментальная система решений этого
– общее решение уравнения (3) ( 1					2	n		фундаментальная система решений этого
уравнения), а	y		−	частное решение уравнения (2).
	y		−

Метод вариации произвольных постоянных заключается в нахождении									y		по той же
									y

формуле (11),		считая, что в ней коэффициенты ci являются функциями								x : ci = ci (x) ,

i =1, 2, ..., n .

176

При подстановке такой функции в

уравнение (2) получим одно уравнение с

неизвестными: c1,c2 ,...,cn . Остальные n −1

уравнения мы допишем наиболее удобным для

нас способом. Имеем:

(x)

y = c y

+... + c

1 1

n−1

(x)

y'= c y

'+... + c

'+c ' y +... + c

' y

1 1

Потребуем, чтобы

c1 ' y1

+... + cn ' yn = 0

(это 1-е уравнение)

n−2

(x)

y''= c y ''+...+ c

''+c

' y

'+...+ c ' y

Потребуем, чтобы

c1 ' y1

'+...+ cn ' yn '= 0

(это 2-е уравнение)

………………………………………………………………………………….. (12)

(x)

(n−1)

= c y

(n−1)

+ ... + c

(n−1)

+ c

' y

(n−2)

+ ... + c

' y

(n−2)

Потребуем,


1	y	(n)	= c y		(n)	+... + c
1	y		= c y			+... + c
			1	1		n

чтобы			c
				1
y	(n)	+ c		'
	n
			1

' y		(n−2)		+... + c				'	y	(n−2)
							n			n
	1
y	(n−1)		+... + c			'		y	(n−1)
					n				n
1

(это

−

-ое уравнение)

Последнее n -ое уравнение получается после подстановки всех этих функций в формулу (2). Для этого надо умножить последнее из равенств (12) на 1, предпоследнее – на p1(x) , …,

второе – на

p	(x)
n−1

, первое – на

p	n	(x)
	n

(все эти множители приведены в столбце слева), и

все полученные новые равенства сложить. Собирая вместе члены с

c ,c		,...,c
1	2	n

, получим:

L( y) = c L( y ) + c

L( y

) +... + c

L( y

) + c

' y

(n−1)

+ c

' y

(n−1)

+... + c

' y

(n−1)

f (x)

Т.к.

y1, y2 ,..., yn − решения (3), то L( y1) = 0 , …,

L( y

) = 0

, и (13) приобретает вид

' y

(n−1)

+ c

' y

(n−1)

+... + c

' y

(n−1)

f (x)

Теперь выпишем систему уравнений для

ci '= ci '(x) :

(13)

(14)

' y

+ c

' y

...

+ c

' y

= 0

' y

'+ c

' y

+ c

' y

' = 0

..........................................................

' y

(n−2)

+ c

' y

(n−2)

+ c

' y

(n−2)

= 0

...

' y

(n−1)

+ c

' y

(n−1)

+ c

' y

(n−1)

= f (x)

(15)

(15) это система n линейных уравнений с n неизвестными	c ', c	2	',...,c	n	'	. Ее легко запомнить:
	1

, y

,..., y

y ', y

',..., y

,3-его:

y '', y '',..., y ''

и т. д.;

коэффициенты уравнений: 1-ого: 1

n , 2-ого: 1

правые части, кроме последней ( n − ой), равны 0, а последняя правая часть равна

f (x)

Определитель системы (15)

есть

определитель Вронского

функций

, y2 ,..., yn

W (x) ,

который отличен от 0 во всех точках интервала

(a,b)

, так как функции

y1, y2 ,..., yn

линейно

независимы

на этом

интервале.

Значит,

система

(15) имеет

единственное

решение

'= c '(x) ,

'= c '(x) , …, c '= c '(x) .

Первообразные для этих функций являются нужными нам коэффициентами в формуле (11).

Пример. Решить дифференциальное уравнение y '''+ 3 y ''+ 2 y ' =	1	.


	ex + 1

Решение. Соответствующее однородное			уравнение имеет вид	y '''+ 3y ''+ 2 y ' = 0	.	Характеристическое уравнение
Решение. Соответствующее однородное			уравнение имеет вид		.	Характеристическое уравнение
k 3 + 3k 2 + 2k = 0							+ c e− x + c e−2 x
k 3 + 3k 2 + 2k = 0	имеет корни k	= 0 , k	= −1 , k = −2 , и общее решение имеет вид		y = c		+ c e− x + c e−2 x		. Теперь ищем
	1	2	3			1	2	3
частное решение	y исходного уравнения по той же формуле, считая, что в ней c				i	= c ( x) ,		i = 1, 2, 3	. Система (15)
					i	i

выглядит так:

177

					−
c		'+ c	' e		−
c		'+ c	' e
	1		2
		− c	' e		−
		− c	' e
		2

		c	' e	− x
		c	' e
		2

Подставим

x	+	c		' e		−2 x		=
			3
x	− 2c			' e			−2 x	=
			3
	+ 4c			' e	−2 x			=
	+ 4c		3	' e				=
			3
	c	'	во				2-е
	3		во				2-е

0		. Складывая
		1
e	x	+ 1
	уравнение: −c		' e
			2

2-е и 3-е уравнения,

− x		1	= 0	;	c	'
−			= 0	;	c	'
e	x	+ 1				2

имеем:


	e		x
= −	e
= −	x	+
e	x	+

2c	' e	−2 x	=		1
		−2 x

	3		e	x	+ 1
			e		+ 1

. Подставим 1

;	c	'
		3

c	'
	2

e		2 x

2(e	x	+

c	'
	3

в 1-е уравнение:

c	' =		1	−	1		=	1	. Теперь находим сами коэффициенты

1		x			x			x
	e		+ 1	2(e		+ 1)	2(e		+ 1)

как находим лишь одно частное решение неоднородного уравнения):

c (x) i

(произвольные постоянные не пишем, так

c2	= −
c3	=	1
c3	=	2
		2
	=	1
1
c
		2

Значит,

		e		x
		e				dx
e	x					dx
e	x			+ 1
			e		2 x
			e				dx
e			x				dx
e			x		+ 1
			dx				=
e		x			+	1	=
e		x			+	1
y = c							+
						1

=	−			d


=		1


		2
1			(e
2
2
c e		− x		+
c e				+
2

+ 1)

= − ln(e

+ 1)

;

+ 1

+ 1) −1

+ 1

1) − e

−

+ 1

c e

−2 x

x −

ln(e

+ 1) −

=
d
e	−

	1			de			x	−

	2
(e			x	+ 1)
								=
e		x		+ 1

x		ln(e			x	+ 1)

1d (ex + 1)

2ex + 1

x− ln(ex +

2			2
+	1	e	− x	−	1	e	−2 x
+		e		−		e
	2				2

1	x
e	x
e
2
1) .
ln(e		x
ln(e

−

1	ln(e	x
		x

2

1) .

+ 1)

;

178

3 СЕМЕСТР

ЛЕКЦИЯ 1

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Определение 1. Пусть дана последовательность чисел

a	n

. Составленный из этих чисел

символ


a	+ a	2	+... + a	n	+... =		a	n
1		2		n				n
						n=1

называется числовым рядом, а числа

a	n

называются

членами этого ряда. Сумма n первых членов ряда называется

и обозначается	Sn	. Если существует конечный	lim Sn	= S , то
			n→

n -ой частичной суммой ряда ряд называется сходящимся

(или

an

n=1

ряд сходится), а число

называется суммой

= S . В противном случае (	lim S	n	=	или

	n→

ряда. В таком случае часто пишут

не существует) ряд называется

расходящимся (или ряд расходится).

Итак, ряд

an

n=1

сходятся, если

S : ε 0 N = N (ε) : n N	( S	n	− S ε).
		n

Пример. Найти сумму геометрической прогрессии

b q

n =0

b (1 − q

)

b (1 − q

)

Решение. Как известно,

Sn =

, и конечный

lim Sn

= lim

существует при q 1 ; при q

1 − q

− q

1 − q

n →

этот предел бесконечен; при

q = 1 ряд имеет вид b + b + b + ...

, следовательно,

= nb и

lim S

, а при q = −1

ряд

n →

имеет вид b − b + b − b + ...

, следовательно, S

= b

при

нечетном и

= 0

при n четном,

lim S

не существует

1 1

n →

( b 0 )

геометрическая прогрессия сходится при q

1 и

S =

(это формула суммы бесконечно убывающей

1 − q

геометрической прогрессии).

Рассмотрим ряд свойств числовых рядов.



n=1

Пусть дан ряд an .

(1)

Рассмотрим ряд, полученный из ряда (1) путем отбрасывания k его первых членов


an
n=k +1
Ряд (2) называется остатком ряда (1) после	k -ого члена.

(2)

Теорема 1. Ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно (т.е. сходимость ряда не зависит от поведения конечного числа его первых членов).

▲ Пусть	Sn	− n -ая частичная сумма ряда (1), а			σn −		n -ая частичная сумма ряда (2). Тогда
при n k
			Sn = Sk + σn−k .					(3)
В этой формуле k − число фиксированное, т.е.						Sk	− постоянная величина.	Если теперь
n → ,	то	существование	конечного	lim Sn		(сходимость ряда (1))		равносильно
				n→
существованию конечного lim σn−k = lim σn				(сходимости ряда (2)). ■
		n→	n→

179

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2518 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.06.20245.04 Mб2L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_1.pdf
#
01.06.20246.08 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_2.pdf
#
01.06.20242.46 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_3.pdf
#
01.06.20241.39 Mб10вышмат полезно.pdf
#
01.06.2024482.88 Кб3кр по алегебре.pdf
#
01.06.20245.41 Mб73лекции вышмат.pdf
#
01.06.20241.34 Mб2линейная алгебра и агалитич геом.pdf