Добавил:

VadoZ хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

лекции вышмат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2024

Размер:

5.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Решение.

ydx − x dy =

(−1 −1)dxdy = −2

dy = −2

(x − x

)dx = −2

( L )

( D )

Рисунок 5

−

 

1 =

−2 (	1	−	1	)= −2	1
	2		3		6

= −	1
= −
	3

Обобщением формулы Грина на случай трех переменных является формула Стокса. Чтобы написать ее, дадим сначала следующее определение.

Определение 2. Ротором векторного поля

F =

P, Q, R

называется вектор

rotF =

−

i +

−

j +

−

k =

−

;

−

;

−

			x, y, z ).
(вектор rotF и его координаты зависят от точки М, т.е. от eе координат

Запомнить это определение можно при помощи следующей символической формулы:

rotF =

= i

−

− j

−

+ k

−

(раскладываем определитель по первой строке; получаемые при этом произведения рассматриваем как частные производные, например y R = Ry ).

Пример.

Найти ротор поля:

F = x	2	yz i	+ xy	2	z	j	+ xyz	2	k

Решение.

	i		j			k
rotF =							= i( xz	2	− xy	2	) −
rotF =							= i( xz		− xy		) −
x			y			z
x	2	yz	xy	2	z	xyz	2
x		yz	xy		z	xyz

j( yz	2

− x	2	y) + k ( y	2	z − x	2	z) =

x( z	2

− y	2	); y( x	2	− z	2	); z( y	2

−

x	2

)

Теорема 3 (формула Стокса). Пусть в области (T ) задано векторное поле F = P, Q, R ,

где P,Q, R замкнутый Тогда

– непрерывны и имеют непрерывные частные производные. Пусть контур, ограничивающий двустороннюю поверхность (S) , (S) (L)

(L)

–

) .

Fd r

( L)

= rotFndS ( S )

(10)

В этой формуле сторона поверхности

(S)

и направление обхода контура

(L)

связаны

следующим образом: если смотреть со стороны нормали к нашей стороне поверхности в точках, близких к (L) , то обход контура (L) виден совершающимся против часовой

стрелки (для правой системы координат, для левой системы координат – наоборот, по часовой стрелке). Или: наблюдатель, идущий по контуру так, что нормаль n пронизывает

150

его от ног до головы, должен видеть непосредственно прилегающую к нему часть поверхности слева от себя (для правой системы координат).

«Прочесть» формулу (10) можно следующим образом:	циркуляция векторного поля F
вдоль замкнутого контура (L) равна потоку ротора	этого поля через поверхность,
ограниченную данным контуром. При этом направление обхода (L) и сторона поверхности
(S) связаны по указанному выше правилу.

В соответствии с определениями циркуляции векторного поля, ротора этого поля и потока векторного поля через поверхность, формулу (10) можно переписать следующим образом:

Pdx + Qdy + Rdz =

−

dydz +

−

dzdx +

−

dxdy

( L)

( S )

Доказательство этой формулы мы оставим за пределами данной лекции.

(11)

Ссылаясь на эту формулу, мы можем показать, что на самом деле вектор rotF не зависит от выбора системы координат (аналогично скаляру divF ).

Теперь мы можем провести доказательство достаточности условий теорем 4 и 5 лекции

5: если

P	=	Q
y		x

	и	P
	и	y
		y

=	Q	,	Q	=	R	,	R
	x		z		y		x

=Pz

соответственно, то из формул (6) и (9)

следует, что для любого замкнутого контура

Pdx + Qdy = 0

( L)

и
и
	( L)

Pdx + Qdy + Rdz

, а, в

соответствии с теоремой 2 лекции 5, последнее равенство является необходимым и достаточным условием независимости интеграла от формы пути интегрирования.

151

ЛЕКЦИЯ 8

Оператор Гамильтона. Операции второго порядка

Введем символический вектор – оператор Гамильтона:	=		i	+		j
		x			y

« » читается как «набла». Пользуясь этим символом, можно написать,

+		k
	z

что:

, где символ

________

1. Вектор gradU = u

– это произведение вектора

на число

Действительно,

	________
число:	gradU =

при


	x
	x

произведении вектора на число его координаты умножаются на это

u;		u;			; понимая эти произведения как частные производные,
	y		z	u

имеем:

________ gradU

	u
	x
	x

;uy

;

2. Скаляр (число) divF = F – это скалярное произведение векторов

F .

Действительно, считая скалярное произведение как сумму произведений координат

векторов

понимая

эти

произведения как частные

производные,

имеем:

divF =

P +

Q +

R =

3. Вектор

rotF = F - это векторное произведение

векторов и

F .

Действительно, находя векторное

rotF =

= i

R −

−

= i

−

+ j

произведение и


j			R −			P		+ k
	x			z

P		−	R		+ k		Q
z
			x					x

 

−

рассуждая,				как выше, имеем:
	Q −		P	=
x	Q −	y	P	=


P
	.
y

Операции второго порядка

Попробуем применить рассмотренные выше три операции первого порядка

________ gradU , divF, rotF , переводящие, соответственно, скаляр в вектор, вектор в скаляр и вектор

в вектор, друг к другу (там, где это возможно). Тогда мы получим пять операций второго порядка: div gradU , rot gradU,grad divF,div rotF, rot rotF .

Рассмотрим некоторые из этих операций:

152

________

1) rot gradU =

= i

y z

−

− j

−

+ k

−

= 0

z y

x z

z x

x y

y x

при

выполнении условий теоремы о смешанных производных. Используя оператор Гамильтона,

_________
этот результат можно получить короче: rot gradU	= U = 0	как векторное произведение
коллинеарных векторов и U .

		U			U			U
_________		2			2			2
_________
2) div gradU	=	x	2	+	y	2	+	z	2	= U
		x	2		y	2		z	2

(

– это так называемый оператор Лапласа).

−

;

−

;

−

3) div rot F = div

x y

−

x z

y z

−

y x

z x

−

z y

= 0

при

выполнении условий оператора Гамильтона:

теоремы

div rotA

о смешанных производных. Или короче при помощи = F = 0 как скалярное произведение ортогональных


векторов	и F .
	Специальные векторные поля
Потенциальное поле

Определение 1. Векторное

поле

F =

P, Q, R

называется потенциальным, если

_________

существует скалярное поле U , называемое потенциалом, такое, что F

= gradU .

Теорема 1. Пусть в области (Т) функции

P,Q, R имеют непрерывные частные производные.

Для того чтобы в этой области поле

было потенциальным,

необходимо и достаточно,

чтобы rotF = 0.

Необходимость этого условия уже доказана (см. выше).

Достаточность. Пусть

rotF = 0,

т.е.

, тогда по теоремам,

приведенным выше, выражение

Pdx +Qdy + Rdz

является

дифференциалом

некоторой

функции U =U (x, y, z) :

Pdx +Qdy + Rdz = dU ,

откуда

P =

,Q =

, R

, т.е.

=P,Q, R = U

;U ; U =y z

_________ gradU

. ■

Замечание. Ранее была получена и формула для нахождения потенциала U:

( x, y,z )
U(x,y,z) = Pdx + Qdy + Rdz .	(1)
( x0 , y0 ,z0 )

153

В этой формуле векторное поле задано в области (Т), фиксированная точка (x0 , y0 , z0 ) и точка (x, y, z) , в которой ищется потенциал, принадлежат этой области, а интеграл берется

по любому пути, принадлежащему (Т) и соединяющему эти две точки. В частности, удобен путь по ломаной, звенья которой параллельны координатным осям. К правой части формулы (1), естественно, можно прибавить произвольную постоянную.

Пример.

F = ( y + z) i

+ (x + z) j

+ (x +

y)k

. Проверить, что это поле потенциально и найти его потенциал.

		i		j	k
Решение. Найдем ротор этого поля:	rotF =					= i (1	−1) − j(1 −1)	+ k (1	−1) = 0
Решение. Найдем ротор этого поля:	rotF =					= i (1	−1) − j(1 −1)	+ k (1	−1) = 0
		x		y	z
		y + z	x + z		x + y
			( x , y , z )
потенциально и по формуле (1) его потенциал U ( x,		y, z) =		( y + z )dx + (x + z )dy + (x + y )dz .
потенциально и по формуле (1) его потенциал U ( x,		y, z) =		( y + z )dx + (x + z )dy + (x + y )dz .
			( 0 , 0 , 0 )

Вычислим этот интеграл по изображенной на рис. 1 ломаной, как сумму интегралов по ее звеньям:

								Рисунок 1
	x			y			z
U ( x, y, z) =		0dx	+		xdy	+		( x + y)dz = xy + xz + yz , что и заканчивает решение примера.
U ( x, y, z) =		0dx	+		xdy	+
	0			0			0
	y =0 , z =0			x =c , z =0				x =c , y =c
	dy =0 , dz =0			dx =0 , dz =0				dx =0 , dy =0
								dx =0 , dy =0

поле

Отметим, что в потенциальном поле линейный интеграл

( B) Pdx + Qdy + Rdz

( A)

не зависит от

формы пути интегрирования и

( B) Pdx + Qdy +

( A)

Соленоидальное поле

Rdz

	U	( B)
	U	( A)
		( A)

= U (B) −U ( A)

(2)

Определение 2. Векторное поле F называется соленоидальным,	если существует другое
векторное поле A , называемое векторным потенциалом, такое, что	F = rotA .

Теорема 2. Пусть в области (Т) функции

P,Q, R

имеют непрерывные частные

производные. Для того чтобы в этой области F было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы divF = 0 .

Необходимость этого условия была доказана ранее (см. выше).

154

Достаточность. Пусть

	что
		i
	F = P, Q, R = rotA =
	F = P, Q, R = rotA =	x
		x
		A
		x

divF =
j	k

y	z
A	A
y	z

0 .

Надо доказать,

	A	−	A	,	A
	z		y		x

y			z		z

что существует

−Az , Ay − Ax

x x y

A = A		, A	, A
	x	y	z
	, т.е.
	, т.е.

такое,

P =

−

, Q =

−

, R =

−

(3)

Не пытаясь найти все решения этой системы, найдем одно частное ее решение. Положим

= 0

. Тогда

P = −

,Q =

. Проверим, что уравнениям (3) удовлетворяют функции

= 0, Ax

Q(x, y, z)dz, Ay = −

P(x, y, z)dz +

R(x, y, z0 )dx ,

(4)

где x0 И z0 фиксированы.

Действительно, дифференцируя интегралы по параметру и по верхнему пределу, имеем:

P(x, y, z)

= Q(x, y, z);

= −P(x, y, z),

−

= −

dz + R(x, y, z0 ) −

Q(x, y, z)

divF =0

R(x, y, z)

−

R(x, y, z0 ) +

dz = R(x, y, z0 ) + R(x, y, z) z

= R(x, y, z),

что и заканчивает доказательство теоремы. ■

Пример. Рассмотрим то же поле, что и выше: Решение. Проверим, что оно не только потенциально,

F = ( y + z) i

+ (x + z) j

+ (x + y)k .

но и соленоидально и найдем его векторный потенциал.

Очевидно, что

divF =	( y + z)	+	( x + z)	+	( x + y)	= 0
divF =		+		+		= 0
	x		y		z

поле соленоидально. Найдем векторный потенциал по

формулам

		z
y
A	= −		( y + z
		0
Т.е.	A = ( xz +
Т.е.

	(4),			взяв			в
	x					x	2
)dz + ( x + y)dx =						x		+ xy
)dz + ( x + y)dx =						2		+ xy
	0					2
z	2	x	2					z	2
z	)i + (	x		+ xy	− yz −			z	) j
	)i + (			+ xy	− yz −				) j
2		2						2

них

	z	2
− yz −

	2

= xz +

(x 0

z	2
		;

2

, y 0

x	2

2

, z

) = (0, 0, 0)

	z	2
xy − yz −			;

	2

A	= 0,
z

		z		z	2
	=		( x + z)dz = xz +	z	,
x
A
		0		2

155

ЛЕКЦИЯ 9

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Дифференциальные уравнения произвольного и первого порядка

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную x , искомую функцию y = y(x) и производные этой функции

y',

y'',...,

y	(n)

. В общем случае это соотношение можно записать в виде:

где

– некоторая функция

F(x, (n + 2)x

y, y', y'',..., y	(n)	)

переменных.

(1)

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение (т.е. (1) задает дифференциальное уравнение n − го порядка). Решением (или частным решением) дифференциального уравнения (на некотором множестве) называется всякая функция y = φ(x) , которая при подстановке в уравнение

обращает его в тождество. Если решение уравнения задано в неявной форме Ф(x, y) = 0 , то

такое равенство называют интегралом дифференциального уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Решить дифференциальное уравнение – это означает найти все его решения.

Определение 2. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

F(x, y, y') = 0 ,	(2)
где F – функция трех переменных. Если из (2) можно выразить	y' , то оно примет вид
y'= f (x, y) ,	(3)

где

(x,

– некоторая функция двух переменных. Уравнение (3) называется уравнением,

разрешенным относительно производной.

Мы будем в основном рассматривать именно такие уравнения.

Определение 3. Задачей Коши для уравнения (3) называется задача

y'=			f (x, y)		,
	y(x		) = y
		0		0

(4)

где x0 и y0 – некоторые числа. Т.е. требуется найти решение дифференциального уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию y(x0 ) = y0 .

Теорема 1 (существования и единственности решения задачи Коши).

Пусть функция f (x, y) и ее частная производная	f (x, y)	непрерывны в некоторой области
	y

D на плоскости 0xy , и точка (x0 , y0 ) D . Тогда задачи Коши (4) имеет решение и притом единственное. Это решение определено в некоторой окрестности точки x0 .

Доказательство этой теоремы достаточно сложно и требует введения ряда дополнительных понятий, поэтому мы оставим его за пределами данных лекций.

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что через точку (x0 , y0 ) проходит единственная интегральная кривая.

156

Определение 4. Пусть в области D выполняются условия теоремы 1. Функция
	f = φ(x, c) ,	(5)
где c –	постоянная, называется общим решением уравнения первого порядка (3) в
некоторой окрестности точки x0 U (x0 ) , если:
1.	При x U (x0 ) и c C , где C − некоторое множество (в простых случаях c
вообще любое) функция (5) является решением уравнения (3).
2.	Для любого начального условия y(x0 ) = y0 , где (x0	, y0 ) D , существует значение

постоянной c0 C , при котором функция (5) удовлетворяет этому начальному условию:

φ(x0 , c0 ) = y0 .

Определение 5. Равенство вида Ф(x, y, c) = 0 , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка (3).

Некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решений

Ниже будут рассмотрены некоторые уравнения вида y'= f (x, y) и указаны методы решения таких уравнений ( f (x, y) будет предполагаться удовлетворяющей условиям теоремы 1).

Уравнения с разделяющимися переменными это уравнения вида y'= f (x)g( y) или

			dy	= f (x)g( y) .			(6)
			dx	= f (x)g( y) .			(6)
			dx
Решение. Предполагая, что	g( y) 0	, запишем последнее равенство в виде			dy	=	f (x)dx
					g( y)	=	f (x)dx


(таким образом, мы сумели «разделить переменные» в уравнении (6)). Считая, что						y = y(x)

есть решение исходного уравнения, мы видим, что последнее равенство есть равенство дифференциалов двух функций от x , которое может выполняться тогда и только тогда, когда сами эти функции, или интегралы от их дифференциалов, отличаются на

произвольную постоянную:

dy(x) g( y(x))

= f (

dy(x) g( y)

x)dx = f

+ (

c , или x)dx + c

(7)

Равенство (7), имеющее вид

Ф(

дифференциального уравнения (6).

x, y, c)

является общим интегралом исходного

Пример. Решить дифференциальное уравнение y ' = − y .

Решение. dy = − y ;

= −

;

= −

+ c ;

ln |

y |= − ln |

x | +c . Из полученного равенства вида (7) в этом

примере можно выразить

y . Заменяя c

на ln |

c | (то и другое – произвольные постоянные), имеем:

ln | y |= ln | c | − ln | x | ;

ln | y |= ln

| c |

;

| y |=

; y =

, или ( c

можно заменить на c )

y = .

| x |

Уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными:

y'= f (ax +by + c) ,

(8)

где a 0 ,

b 0 ,

c – некоторые постоянные.

157

Решение. Сделаем в уравнении (8) замену u = ax +by + c , где u = u(x

функция. Тогда		y =	1	(u − ax − c) ,		y'=	1	(u'−a) , и (8) принимает вид
			b				b

u'= bf (u) + a ;		du			= dx , т.е. переменные разделились.

	bf (u) + a

)

1 b

– новая неизвестная

(u'−a) = f (u) ;

Пример. Решить дифференциальное уравнение

y ' = 3x − 2

Решение. u = 3x − 2 y + 5 ;

y =

(3x − u + 5)

;

y ' =

− u ') ;

= dx + c ;

d (3 − 2u)

= x + c ;

−

ln | 3 − 2u

− 2u

3 − 2u

−u x +

5 ')

;

3 − 2u =

ln | 3 − 2u

u |=

;

−2

du dx x −

3 −

;

du	= dx
	= dx
3 − 2u
− 2u \|= e		−2 x −2 c
− 2u \|= e

;

3 − 2u = e	−2 x	e	−2 c

y= 1 (3x − ce−2 x 2

;

−

u =
3	+

2

	1	e

	2
5)		=

−2 c	e	−2 x	+

−	c	e	−2 x
−		e
	2

3 2 +

; заменяя здесь		1	e	−2
; заменяя здесь			e
		2
3	7
x +	, или, заменяя
2	4

c		на
		на
	−	c
	−
		2

c , имеем:

на c , y =

u = ce	−2 x	+

	−2 x		3
ce		+	x
			2

3 2 +

, откуда

7 .

Однородные уравнения первого порядка это уравнения вида

y'=	y	(9)
	f
	x

(т.е. в этих уравнениях правая часть зависит только от отношения

Решение. Сделаем в уравнении замену

= u , где

u = u(x)

– новая неизвестная функция:

y = ux ; y'= u' x +u . Тогда уравнение примет вид

u' x +u = f (u) ,

или

u' x = f (u) −u .

Но

последнее

уравнение

является

уравнением

разделяющимися

переменными:

x = f (u) − u ;

и решается как все такие уравнения:

+ c .

f (u) − u

+ y

Пример.

Решить дифференциальное уравнение y

' =

Решение. Переписав это уравнение в виде y '

мы видим, что оно является однородным. После замены

= u

y x

y = ux ;

y ' = u ' x + u , уравнение примет вид u ' x + u =

+ u ; u ' x =

. Разделяем переменные в последнем уравнении:

= ln | x

+ ln | c |

; udu =

. Далее имеем:

+ c ;

;

= 2 ln | cx | ;

;

x =

udu =

= ln c x

= ln cx

u =

ln cx2

; y = ux = x ln cx2 .

Уравнения, сводящиеся к однородным:

												a x + b y						+ c
										y'= f
										y'= f				1		1		1		,		a1		b1	.
														1		1		1				a1		b1
													a		x + b y			+ c				a2		b2
													a	2	x + b y			+ c	2
														2		2			2
Заметим,		что		если			a		=	b		= k	,		то		a1 = ka2				,		b1 = kb2			,
Заметим,		что		если				1	=	1		= k	,		то		a1 = ka2				,		b1 = kb2			,
								1		1
							a	2		b
								2		2
ka x + kb y + c									k(a			x + b y) + c
y'= f	2		2		1	=	f				2		2			1		= g(a x + b y) , где
y'= f						=	f			a x + b y					+ c			= g(a x + b y) , где
a x + b y + c										a x + b y					+ c					2			2
	2	2			2					2			2			2

т.е. вид (8), и будет решаться как такое уравнение.

(10)

и (10) примет вид

g – некоторая функция,

158

y'=

a x + b y

Если бы в уравнении (10)

= c2 = 0

, то это уравнение имело бы вид

x + b y

+ b

= f

, т.е. вид (9), и являлось бы однородным. Поэтому мы будем пытаться путем

+ b2

некоторой замены (аргумента

x и искомой функции

y ) обратить эти коэффициенты в 0.

Положим

x = x + α

где

β –

некоторые

числа.

Тогда

dx = dx ,

= dy

y = y +β

y'=

= y ' , где

= y'(x)

. Уравнение (10) теперь принимает вид

a (x + α) + b ( y +β) + c

a x + b y + a α + b β + c

y ' =

= f

Теперь

подберем α и

a (x + α) + b

( y +β) + c

a x + b y + a α + b β + c

a α + b β + c

= 0

так,

чтобы

Эта

система

имеет

единственное

решение,

так

как

ее

a α + b β + c

= 0

определитель

ибо,

по

условию,

строки

этого

определителя

не

пропорциональны. При таких

и β

наше уравнение, как было показано выше, становится

однородным.

Пример. Решить дифференциальное уравнение	y

	x = x + α	y ' =	x + y + α + β − 3	α
Решение.		y ' =	;	α	и	β
	y = y + β		x − y + α − β −1
	y = y + β		x − y + α − β −1

' =	x + y
' =
	x − y

должны

− 3 . −1

удовлетворять системе

α + β − 3	= 0

α − β −1	= 0

; складывая и

вычитая уравнения,

имеем:

2α − 4

;

2β − 2

; т.е.

x =

y =

; при такой замене

y ' =

x + y x − y

;

1 +

y '

; в последнем однородном уравнении сделаем замену

1 −

1 + u

1 + u − u + u

1 + u

' x =

− u =

;

разделяем

переменные:

1 − u

− u

1 − u

+ c ;

−

d (1 + u

2 )

= ln | x |

+ ln | c | ;

+ u

1 + u

u ,

du dx

ux ,	y '	=
1 + u
2
	;
1 − u

u ' x +

1 − u 1 + u 2

u ; тогда
du =	dx

	x

	1	+ u
u ' x + u =		;
	1 − u

;интегрируем:

arctg u −

1	2
ln(1 + u	2	)
ln(1 + u		)
2

; arctg u = ln 1 + u 2 + ln | cx |= ln | cx | 1 + u 2 ;

теперь вернемся к переменным

и y ; подставляя в эту формулу x = x − 2 , y = y −1 , u =	y	=	y −1	, имеем:
	x		x − 2

y −1				y −1	2
y −1	= ln \| c( x − 2)		1 +	y −1
arctg	= ln \| c( x − 2)	\|	1 +
x − 2				x − 2

, или

arctg	y −1	= ln c	( x − 2)	2	+ ( y −1)	2
arctg		= ln c	( x − 2)		+ ( y −1)
	x − 2

;

последнее равенство есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

159

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.06.20245.04 Mб2L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_1.pdf
#
01.06.20246.08 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_2.pdf
#
01.06.20242.46 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_3.pdf
#
01.06.20241.39 Mб10вышмат полезно.pdf
#
01.06.2024482.88 Кб3кр по алегебре.pdf
#
01.06.20245.41 Mб73лекции вышмат.pdf
#
01.06.20241.34 Mб2линейная алгебра и агалитич геом.pdf