Добавил:

VadoZ хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

лекции вышмат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2024

Размер:

5.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2515 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

grad u(M 0 ) = 6, 3, 2

направлению в точке	M
	0

( 2 )

равна

(M ) = 6

+ 3

+ 2

4.81;

наибольшая же производная по

= 6, 3, 2, =

62 + 32

+ 22 =

grad u(M )

49 = 7 .

Векторное поле. Линейный интеграл и циркуляция векторного поля вдоль кривой

Определение 4. Пусть каждой точке М некоторой области (Т) трехмерного пространства соответствует вектор F = F(M ) . Тогда говорят, что в области (Т) задано векторное поле.

Если в пространстве ввести	прямоугольную			декартову	систему		координат,	то
M = M (x, y, z) . Тогда вектор F ,	а значит и его координаты				P,Q, R	,	будут являться
функциями трех переменных	x, y, z :	F =	P, Q, R		F = Pi +Qj + Rk ,			где
				, или

F = F(x, y, z); P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z),				R = R(x, y, z) . Мы всюду будем
что функции P,Q, R	имеют непрерывные частные производные.
Определение 5. Разобьем кривую (AB)				на части произвольными точками
произвольные точки	M	i	A A
			( i i+1 ) (рис. 2).

Рисунок 2

Рассмотрим интегральную сумму F (Mi ) Ai Ai+1	, где	F (M	) A A
Рассмотрим интегральную сумму F (Mi ) Ai Ai+1	, где	i	i i+1
i

предполагать,

и выберем

– скалярное

произведение двух векторов. Пусть О – фиксированная точка и радиус-вектор	r	= ОА
	i	i .

						Рисунок 3
										r
Тогда	A A	= r		− r . Переписав последнее					выражение как	r	, имеем:
	i i+1		i+1		i					i
F (Mi ) Ai Ai+1 = F (Mi ) ri (см. рис. 3).
i			i
Обозначим через λ				максимальную длину дуги			(	A A
Обозначим через λ				максимальную длину дуги			(	i	i+1 ). Если существует предел наших

интегральных сумм при λ → 0 , который не зависит от выбора точек Ai и Mi , то этот предел

140

называется линейным интегралом от векторного поля

вдоль кривой

обозначается		Fdr . Таким образом,
обозначается		Fdr . Таким образом,
	( AB )
			Fdr = lim F (Mi		) ri	= F (Mi ) Ai Ai+1 .
		( AB)	λ→0	i		i
				i		i

(AB)

(3)

В случае замкнутой кривой

(L)

этот линейный интеграл называют циркуляцией векторного

поля

вдоль кривой

(L) .

Если

пространстве

введена

прямоугольная

система

координат

− x , y

− y , z

− z

A (x , y , z ), A

, y

, z

), M

(x , y , z ) , то

A A

i+1

i i+1

Учитывая координатную форму записи скалярного произведения, имеем:

xyz

F (M	) A A
i	i i+1

			=
Следовательно, Fdr
( AB )

= P(M

) (x

− x ) + Q(M

) ( y

− y

i+1

lim

P(M

) x

+ lim

Q(M

) y

λ→0

) + R(M		) (z	i+1	− z	i
	i		i+1		i
			z
				i
+ lim R(Mi ) zi
λ→0	i
	i

)

Согласно определению криволинейного интеграла 2ого рода, отсюда

	Fdr =		P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz
( AB)		( AB)

(4)

Это показывает существование линейного интеграла и циркуляции, и дает метод их вычисления.

Замечание. Формулу (4) легко запомнить следующим образом: если	F =		P, Q, R
			,

dr =

dx, dy, dz

, а

Fd r

понимать как скалярное произведение, то

Fdr = Pdx +Qdy + Rdz .

F (M

) A A

Если F

рассматривать как силу, то скалярное произведение

с точностью до

i i+1

бесконечно малых высшего порядка будет работой силы при перемещении точки вдоль

A A			дает работу силы при перемещении точки вдоль пути (AB) .
A A	Fdr
пути ( i i+1 ), и	Fdr
	( AB )
	Поверхностный интеграл первого и второго рода
Определение 6.	Пусть в области (T ) задано скалярное поле						f . Пусть (S) – кусочно-
гладкая поверхность, (S) (T) . Разобьем поверхность (S)						кусочно-гладкими кривыми на
части (S ) с площадями Si					и выберем произвольные	точки	M	i	(S ) . Рассмотрим
i								i	i
интегральную сумму			f (M	)S	i . Обозначим через λ – наибольший из диаметров множеств
интегральную сумму			i		i . Обозначим через λ – наибольший из диаметров множеств
		i

(Si ) . Если разбиения

называется

f (M )dS

предел таких интегральных сумм при		λ → 0 существует и не зависит от
поверхности на части	(Si ) и от выбора точек		Mi (Si ) ,	то этот предел
поверхностным	интегралом	первого	рода и	обозначается

= f (x, y, z)dS . Таким образом,

( S )

(S )

f (M )dS = ( S )

f (x, y, z)dS

= lim
λ→0	i

f (M	)S	i
i		i

(5)

Из этого определения следует, что поверхностный интеграл первого рода обладает обычными свойствами интегралов.

Перед тем, как дать определение поверхностного интеграла второго рода, введем понятие стороны поверхности. Стороной поверхности (S) называется множество всех точек (S) с

141

нормалями	n	( n =1)	к поверхности	(S)	в этих точках. Из двух возможных направлений

нормали выбирается одно так, чтобы вектор нормали n являлся непрерывной функцией точек поверхности. Ниже мы будем рассматривать только двусторонние поверхности (рис. 4), т.е. такие поверхности, что при движении вдоль любого замкнутого контура на поверхности мы не можем перейти с одной стороны поверхности на другую. Односторонние поверхности (типа так называемого листа Мебиуса, который получается переворачиванием и последующим склеиванием ленты) из рассмотрения исключаются. n

Рисунок 4

Определение 7. Пусть в области (Т) задано векторное поле

. Пусть (S) – кусочно-

гладкая поверхность,

(S) (T) . Фиксируем

Поверхностным интегралом второго рода по потоком векторного поля F через поверхность

нормали	n , называет интеграл		F ndS . Т.е.

		( S )

одну из сторон этой поверхности. выбранной стороне поверхности, или (S) в сторону, определяемую вектором

Fnds = lim F (Mi )n(Mi )Si
( S )	λ→0	i

(6)

Таким образом, поверхностный интеграл второго рода (или поток векторного поля через поверхность) определяется как поверхностный интеграл первого рода от скалярного


	n . В формуле (6) Si – площадь (Si ) , λ
произведения F		– наибольший из диаметров
предел должен существовать и не зависеть от разбиения поверхности на части (			S	i )

выбора точек

(Si ) .

(Si ) ;

и от

Из определения 7 следует, что поверхностный интеграл второго рода, или поток векторного поля через поверхность, обладает обычными свойствами интегралов. В отличие от поверхностного интеграла первого рода, поток зависит от выбора стороны поверхности и меняет знак при смене стороны.

Отметим здесь также, что определение потока 7 инвариантное, т.е. поток не зависит от выбора системы координат.

Вычисление поверхностного интеграла второго рода

Пусть теперь в пространстве введена прямоугольная система координат xyz .						Пусть в этой

системе координат F	= P,Q, R , Mi (xi , yi , zi ) .			Пусть единичная нормаль			n = n(M ) к
выбранной нами стороне поверхности образует с осями координат 0x, 0y, 0z							углы α, β, γ
	n =	cos α, cosβ, cos γ
соответственно. Тогда					Fn = P cos α + Q cos β + R cos γ		. Учитывая
			и

определение 6, получаем:

142

	FndS = P cos α + Q cos β + R cos γ dS =
	( S )	( S )
= lim P(Mi ) cos α(Mi ) + Q(Mi ) cos β(Mi ) + R(Mi ) cos γ(Mi ) Si
λ→0	i
	i

Рассмотрим одно из слагаемых в этой формуле:

	R cos γdS = lim R(Mi		) cos γ(Mi )Si .
( S )	λ→0	i
		i

(7)

(8)

Обозначим

= Si

cos γ(Mi ) ; с точностью до бесконечно малых высшего порядка Di – это

площадь проекции элемента поверхности (Si ) на плоскость

0xy со знаком: « + » , если

cos γ 0 , т.е. нормаль n

образует с осью 0z

острый угол,

« −», если cos γ 0 , т.е. нормаль

образует

осью

тупой

угол

(см.

рис.

5).

При

таком

обозначении

R cos γds

= lim R(Mi

)Di .

Эта

формула

оправдывает

другое

обозначение

( S )

λ→0

поверхностного интеграла второго рода:

R cos γdS ( S )

= R(x, y, z)dxdy ( S )

. Продолжаем:

1. Пусть поверхность задана уравнением стороне поверхности либо всюду cos γ поверхность нужно разбить на части, на

наш	интеграл	как	сумму
Mi = M (xi , yi , zi ) = M (xi , yi , z(xi , yi )) ,

z = z(x, y) . Мы будем предполагать, что на нашей0 , либо всюду cos γ 0 . В противном случае каждой из которых cos γ сохраняет знак, и считать

интегралов	по	таким	частям.	Если
то		R cos γdS = R(x, y, z)dxdy =

= lim		R(x	, y	, z(x	, y ))D
λ→0		i	i	i	i	i
λ→0	i
	i

lim		R(x	, y	, z(x	,
λ→0		i	i	i
λ→0	i
	i

	( S )
yi )) Di	. Здесь сумма

( S )

	R(x , y		, z(x , y )) D
	i	i	i	i	i
i

является интегральной суммой для двойного интеграла

R(x, y, z(x, y))dxdy

по области


(D	)	– проекции
xy		– проекции
функции			R(x, y, z)

			( D	)
			xy
(S)	на плоскость	0xy	и, в нашем предположении непрерывности

, предел такой суммы равен этому интегралу:

R cos γds = R(x, y, z)dxdy
( S )	( S )

=	R(x, y, z(x,
( D	)
xy

y))dxdy

(9)

где знак « + », если на нашей стороне поверхности

cos γ

, т.е. нормаль

образует с

осью 0z	острый угол, или сторона поверхности – верхняя, а знак « – » в противоположном
случае,	т.е. для нижней стороны поверхности (ось 0z , «пронзая» поверхность, сначала

встречает нижнюю сторону поверхности, потом верхнюю).

Рисунок 5

143

Формула (9) сводит поверхностный интеграл по стороне проекции. Эту формулу не так сложно запомнить: при

(S)	к двойному интегралу по ее

вычислении		R(x, y, z)dxdy мы
вычислении		R(x, y, z)dxdy мы
	( S )

проектируем

(S)

на плоскость

0xy

и выражаем z через x и y из уравнения поверхности

(S). При этом знак зависит от угла нормали к стороне поверхности с осью 0z .
2. Пусть (S) – часть цилиндрической поверхности с образующими параллельными оси	0z .
Для таких поверхностей угол γ прямой. Эти поверхности проектируются на плоскость	0xy

не в область, а в линию.
Для любой точки такой поверхности	cos γ = 0	, и, согласно формуле (8),

	R cos γds =		R(x, y, z)dxdy = 0 .
	R cos γds =		R(x, y, z)dxdy = 0 .
( S )		( S )

(10)

Таким образом, нами доказана следующая теорема:

Теорема 2. Пусть функции

– проекции поверхности

P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x,

(S) на плоскости

y, z) 0xy,

непрерывны и (Dxy ), (Dyz ), (Dzx )

0yz, 0zx

соответственно. Тогда

			R(x, y, z(x, y))dxdy для поверхности z = z(x, y);
			R(x, y, z(x, y))dxdy для поверхности z = z(x, y);
		( D	)
		xy
		xy
R cos γds = R(x, y, z)dxdy = 0 для цилиндрической поверхности с
( S )	( S )	образующими, параллельными оси 0z.
		образующими, параллельными оси 0z.

Знак «+», если угол между нормалью к выбранной стороне поверхности и осью и « −», если этот угол тупой. Аналогично для других слагаемых формулы (7).

Пример 1. Вычислить

dzdx , где

(S) −

внешняя сторона той половины сферы

+ y

+ z

( S )

(рис. 6).

0z острый,

= 1 , где y 0

Рисунок 6

Решение. Соглсно условию, мы должны проектировать нашу поверхность на плоскость 0zx . Уравнение проекции на эту

плоскость получается из уравнения сферы при y = 0 : x2 + z2 = 1. Это уравнение окружности на плоскости 0xz радиуса 1 с центром в начале координат. Так как на нашей стороне поверхности cos 0 , то, выражая y через z и x, и переходя после этого к полярным координатам, имеем:

dzdx = − (1 − x

− z

2 π

)rdr = −2π

)dr =

−2π

)dzdx = − dφ (1 − r

(r − r

( S )

( Dzx )

r 2		r 4	1	1
	−		= −2π		= −		.

2		4	0	4		2

144

Пример 2. Вычислить

xdydz + ( S )

ydzdx +

zdxdy

,где

(S) −

внешняя сторона пирамиды, образованной

плоскостями

x = 0, y = 0, z = 0, x + y

Решение. Из симметрии поверхности

+ z =

(рис.

1 .

7) и подынтегрального выражения относительно всех переменных, имеем:

(S	2	)
	2

(S3 )

(S1 )

(S	4	)
	4

x	y
Рисунок 7	Рисунок 8

xdydz + ydzdx + zdxdy = 3 zdxdy
( S )	( S )

	zdxdy + zdxdy
=3	zdxdy + zdxdy
	1		2
	( S	)	( S	)

+ zdxdy
( S	)
3


( S	4	)

zdxdy

. Так как

(S	)
	1

(S	)
	2

проектируются

на плоскость

0xy

в линию, то

			zdxdy =			zdxdy
(S	1	)		( S	2	)
	1				2

0	, а zdxdy = 0 так как уравнение

( S )

(S	)
	3

это z = 0 . Уравнение

(S	)
	4

это

x + y + z = 1

= 1 − x −

, нормаль к

(S	)
	4

образует с осью 0z острый угол, и наш интеграл будет равен

( (D ) имеет
xy
1	(1 − х −
= 3	(1 − х −
0

вид,

х + х2

изображенный на

−1 (1 − 2х + х2 ))dx 2

рис.		8)									1		1− x
рис.		8)	3			(1	− x − y)dxdy = 3					dx			(1 − x − y)dy =
			3			(1	− x − y)dxdy = 3					dx			(1 − x − y)dy =
				( D	)						0			0
	(			xy					)
	(								)			2				3	1
	1	1				1				1	x	2		x		3			1		1
= 3		1	− x	+		1		2	dx = 3	1	x	+		x				= 3	1	−	1
= 3			− x	+		x		2	dx = 3	x −		+						= 3		−
	0	2				2				2	2				6		0		2		2

	1				y2	1− x
3 dx y				− xy −		=
3 dx y				− xy −		=
	0				2	0
+	1	=	1	.
+		=

	6		2

145

ЛЕКЦИЯ 7

Формула Гаусса–Остроградского

Теорема 1. Пусть в области (T ) задано векторное поле				F =	P, Q, R
						, P,Q,R и их частные
производные непрерывны. Пусть	(S) (T) –внешняя сторона					кусочно – гладкой
поверхности, ограничивающей тело	(V ) (T) ;	n =	cos α, cosβ, cos γ
						– единичная нормаль

к этой стороне поверхности, тогда

FndS (S )

	P
=	x
(V )	x

+Qy

R dxdydzz

(1)

Согласно изложенному выше, формула (1) может быть записана в виде

		P		Q		R
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =		x	+	y	+	dxdydz .
(S )	(V )	x		y		z

Докажем одну часть формулы (2), т.е. докажем, что

	Rdxdy =		R	dxdydz

			z	.
(S )		(V )

(2)

(3)

1. Пусть (V ) ограничено снизу	и	сверху частями двух поверхностей
z = z2 (x, y) , проектирующимися	на	0xy	в некоторую область	(D	xy	)	,

цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси					0z
«банкой с двумя крышками» (рис. 1).

z = z1 (x, y)

а«сбоку» –

,т.е. является

Рисунок 1

Расставляя пределы в тройном интеграле в правой части (3), имеем:

	R		z2	( x, y )	R(x, y, z)		z2 ( x, y )
		dxdydz = dxdy				dz =		=
							dxdyR(x, y, z) z1 ( x, y )
	z				z
(V )		( D )	z ( x, y )			( D )
		xy	1			xy

= R(x, y, z2 (x, y)) − R(x, y, z1 (x, y)) dxdy .

( Dxy )

146

Если (S2 ) - верхняя сторона поверхности z = z2	(x, y) (для нее угол γ с осью 0z острый и
cos γ 0 ) и (S1 ) – нижняя сторона поверхности	z = z1 (x, y) (для нее угол γ с осью 0z тупой

и cos γ 0 ), то последнее выражение можно переписать в виде суммы двух поверхностных интегралов. Добавив сюда равный нулю интеграл по цилиндрической боковой поверхности

(S3 )

=
(S	)
2

(образующая этой поверхности параллельна оси 0z

R(x, y, z)dxdy +		R(x, y, z)dxdy +		R(x, y, z)dxdy =
( S	)	( S	)	( S )
1		3

), имеем:

	(V )
R(x, y, z)dxdy

	R	dxdydz =
	z	dxdydz =
	z
	,

что и доказывает формулу (3) в нашем случае.

2. В общем случае

(V )

нужно разбить на конечное число областей указанного выше вида

(Vi )

с границами

(Si )

(мы будем рассматривать только тела, для которых это возможно);

для каждой из таких областей

dxdydz =

Rdxdy . Складывая эти равенства, получим:

(V )

( S )

dxdydz =

Rdxdy

(4)

(V )

( S

)

Левая часть последнего равенства, очевидно, равна

(V )

	R	dxdydz
	z	dxdydz
	z

При сложении интегралов в правых частях интегралы по цилиндрическим перегородкам равны нулю, интегралы же по другим перегородкам взаимно уничтожаются, так как интегралы по таким перегородкам в сумму будут входить дважды, причем с разными знаками: нормали к этим перегородкам направлены в противоположные стороны (рис. 2).

Рисунок 2

Тогда

Rdxdy = Rdxdy
i	( S	)	( S )
	i

и R dxdydz = Rdxdy .
(V )	z	(S )

Аналогично для других слагаемых в формуле (2). ■

Определение 1. Дивергенцией векторного поля F = P, Q, R называется скалярная

(числовая) величина divF = Px + Qy + Rz (естественно, число divF зависит от точки М,

т.е. от eе координат x, y, Обозначив dV = dxdydz ,

z ).
формулу Гаусса-Остроградского можно записать в виде:
		(5)
FndS = divFdV		(5)
( S )	(V )

147

и «прочесть» эту формулу следующим образом: поток векторного поля поверхность (S) в сторону, определяемую вектором внешней нормали

от дивергенции этого поля по телу

(V ) , ограниченному поверхностью

F n (S

через замкнутую равен интегралу

) .

Пример. Решим разобранный в предыдущей применив формулу Гаусса-Остроградского.

Решение. P = x, Q = y, R = z divF = 1 +1 +1 = 3

лекции пример

Pdx + Qdy + Rdz

2на

вычисление поверхностного интеграла,

3dV =3V , где V – объем изображенной на

( S )

(V )

рис. 7 пирамиды

Pdx + Qdy + Rdz = 3	1		1
Pdx + Qdy + Rdz = 3		Sосн	H =		1 1	1	=
( S )	3			2

1 2

Инвариантное определение дивергенции векторного поля

Создается впечатление, что скаляр divF зависит от выбора системы координат. Покажем что, на самом деле, это не так. Возьмем точку M0 (T ) и заключим ее в какое-нибудь тело

(V )

ограниченное поверхностью

(S)

Применим формулу Гаусса-Остроградского:

FndS = divFdV
( S )	(V )

. Используя теорему о среднем в тройном интеграле, получим:

FndS = divFdV
( S )	(V )

= divF (M ) V

, где

M (V ), V

– объем тела

(V )

. Отсюда

FndS

Теперь будем стягивать тело (V )

предел левой части равенства (6)

правой части этого равенства и

divF

divF (M ) =	(S )	.
divF (M ) =	V	.
	V
к точке M0 , тогда (		P	,	Q	,
к точке M0 , тогда (		x	,	y	,
		x		y
lim divF (M ) = divF (M 0 ) .
(V )→M
0

(M		) =	lim	1		F ndS	.
	0			V

			(V )→M0
			(V )→M0		( S )
					( S )

(6)

	R	непрерывны) существует
	z	непрерывны) существует
	z

Значит, существует и предел

(7)

Правая, а значит, и левая часть формулы (7) не зависят от выбора системы координат. Формулу (7) можно взять за инвариантное (т.е. не зависящее от выбора системы координат) определение дивергенции векторного поля.

Формулы Грина и Стокса

Теорема 2 (формула Грина).

	Pdx + Qdy =		(	Q	−	P	) dxdy

				x		y	.
( L)		( D)

(8)

В этой формуле

(D)

– плоская область, ограниченная конечным числом замкнутых,

самонепересекающихся кусочно - гладких кривых, (L) в положительном направлении: так, чтобы область

– граница области (D) , проходимая (D) при движении вдоль кривой

оставалась (для правой системы координат) слева (для левой системы координат, наоборот, оставалась справа); P = P(x, y),Q = Q(x, y) и их частные производные первого порядка

непрерывны в замкнутой области (D) (L) (рис. 3).

148

Рисунок 3

Докажем часть формулы (8):

Pdx

( L)

− ( D)

	P	dxdy
	y	dxdy
	y

(9)

1. Пусть область D – криволинейная трапеция, изображенная на рис. 4. Тогда

			P	b		ψ( x)	P(x, y)
−			P	dxdy = − dx			P(x, y)
−			y	dxdy = − dx			y
	( D)		y	a		φ( x)	y
	( D)			a		φ( x)
	b				a
=		P(x, φ(x))dx +				P(x, ψ(x))dx
=		P(x, φ(x))dx +				P(x, ψ(x))dx
	a				b

b	b	b
dy = − P(x, y)	ψ( x)
dy = − P(x, y)	φ( x) dx = P(x, φ(x))dx − P(x, ψ(x))dx =
a	a	a

. Это выражение есть сумма двух криволинейных интегралов

Рисунок 4

	P(x, y)dx +	P(x, y)dx . Добавив
( AD)		(CB)
	P(x, y)dx и		P(x, y)dx , имеем:
( DC )		( BA)

сюда равные нулю

− y dxdy =

( S )

(x = const

dx = 0)

интегралы

=		P(x, y)dx +		P(x, y)dx +		P(x, y)dx +		P(x, y)dx
	( AD)		( DC )		(CB)		( BA)

=		P(x, y)dx
	( ADCBA)

, т.е. имеем (9).

2. Чтобы получить формулу (9) для любой области, нужно разбить ее на криволинейные трапеции (мы будем рассматривать только области, для которых это возможно), к каждой из них применить (9) и сложить полученные равенства (то же рассуждение, что при доказательстве формулы Гаусса – Остроградского).

Аналогично, рассматривая криволинейные трапеции «вдоль» оси	0y

	Q dxdy =	Qdy . Следовательно,
( D)	x	( L)
( D)		( L)

Пример. Вычислить ydx − xdy , где (L)

	Q		P	Pdx + Qdy . ■
	x	−	dxdy =	Pdx + Qdy . ■
( D)	x		y	( L)

– замкнутый контур, изображенный на рис. 5.

( L )

получим, что

149

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2515 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.06.20245.04 Mб3L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_1.pdf
#
01.06.20246.08 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_2.pdf
#
01.06.20242.46 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_3.pdf
#
01.06.20241.39 Mб20вышмат полезно.pdf
#
01.06.2024482.88 Кб11кр по алегебре.pdf
#
01.06.20245.41 Mб93лекции вышмат.pdf
#
01.06.20241.34 Mб4линейная алгебра и агалитич геом.pdf