лекции вышмат

130

ЛЕКЦИЯ 5

Криволинейный интеграл второго рода

Рисунок1

Отметим, что различие криволинейных интегралов первого и второго рода состоит в том, что значение функции умножается в интегральных суммах для первого из этих интегралов на длину части кривой, а для второго интеграла - на проекцию этой части на ось координат. Аналогично определяются

как сумма таких интегралов.

Определение 1 аналогично определению обычного определенного интеграла, и свойства криволинейного интеграла второго рода аналогичны свойствам определенного интеграла и доказываются таким же образом. Из определения 1 также следует, что, в отличие от

взаимного расположения точек A, B и C (см. рис. 2). Аналогично для интегралов по y и по z и для суммы таких интегралов.

131

Рисунок 2

не изменится.

Рисунок 3

Если (L) – замкнутый контур, то под интегралом Pdx + Qdy + Rdz , при отсутствии

( L)

указания на направление обхода контура, понимают интеграл, взятый в положительном направлении (так, чтобы при движении вдоль контура ближайшая часть области, ограниченной этим контуром, оставалась бы слева, что в простых случаях равносильно обходу контура против часовой стрелки). В этом случае иногда также пишут

Вычисление криволинейного интеграла второго рода

( AB)

P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =

( AB)

β

= P(x(t), y(t), z(t))dx(t) + Q(x(t), y(t), z(t))dy(t) + R(x(t), y(t), z(t))dz(t) =

α

α

132

(т.е. для вычисления криволинейного интеграла мы должны всюду – и в подынтегральных функциях, и под знаками дифференциалов – заменить x, y, z на их выражения через

параметр t).

Доказательство существования интеграла мы здесь опустим и проверим лишь справедливость формулы (2). Докажем одну часть равенства (2) (остальные части доказываются аналогично):

В соответствии с определением 1, левая часть этого равенства равна

Согласно теореме Лагранжа, последнее равенство можно переписать в виде

Сумма в правой части этого равенства является интегральной суммой для интеграла в правой части формулы (3) и в пределе как раз дает этот интеграл. ■

Рисунок 4

133

Однако при определенных условиях указанная независимость криволинейного интеграла от формы пути интегрирования все же имеет место.

Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от формы пути интегрирования

Напомним сначала некоторые данные ранее определения: множество называется открытым, если вместе с каждой своей точкой оно содержит и некоторую окрестность этой точки; множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей множеству; открытое связное множество называется областью.

функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны в некоторой области (Т) трехмерного пространства.

( AB)

Необходимость. Пусть наш интеграл не зависит от формы пути интегрирования. Тогда для произвольного замкнутого контура (L) (T ) , изображенного на рис. 5,

Рисунок 5

134

так как интеграл не зависит от пути интегрирования.

Докажем, что разность левой и правой частей этого равенства равна 0:

135

Правая часть формулы (4) не зависит от формы пути из А в В. Этим мы и доказали независимость интеграла от формы пути интегрирования. ■

Заодно мы получили формулу для вычислений, и для примера 2 выше:

интегрирования для любой кривой (АВ) (D), необходимо, а в предположении односвязности области, и достаточно, чтобы при (x, y) D

замкнутым самонепересекающимся контуром ей принадлежит и множество, ограниченное этим контуром, то есть односвязная область это область без «дырок».

Для формулировки аналогичной теоремы для случая трех переменных приведем следующее определение.

Определение 2. Область в пространстве называется односвязной, если вместе с каждым самонепересекающимся замкнутым контуром она содержит и некоторую поверхность, натянутую на этот контур (т.е. поверхность, границей которой является наш контур).

P P Q Q R R

y , z , x , z , x , y непрерывны в некоторой области (Т) трехмерного пространства.

136

кривой (АВ) (Т), необходимо, а в предположении односвязности области, и достаточно, чтобы при (x, y, z) (T )

Теорема 4 является частным случаем теоремы 5.

137

ЛЕКЦИЯ 6

ТЕОРИЯ ПОЛЯ

Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент

Определение 1. Пусть каждой точке М некоторой области (Т) трехмерного пространства соответствует скалярная (числовая) величина U =U (M ) . Тогда говорят, что в области (Т)

задано скалярное поле. Если положение точки М определять ее координатами в некоторой прямоугольной декартовой системе координат M (x, y, z) , то U =U (M ) =U (x, y, z) . Мы

будем предполагать, что эта функция имеет непрерывные частные производные.

если этот предел существует.

Рисунок 1

(горизонтальная прямая на рис. 1 – это прямая параллельная одной из осей координат, а отмеченный угол равен α или β , или γ соответственно).

Но координаты вектора также есть разность координат его конца и начала:

По правилу дифференцирования сложной функции

(t) = ux dxdt + uy dydt + uz dzdt = ux cos α + uy cosβ + uz cos γ .

138

Как известно, производная функции – это скорость изменения этой функции. Производная функции по направлению l – это скорость изменения функции по этому направлению. По какому направлению функция изменяется быстрее всего, т.е. по какому направлению производная будет наибольшей?

Правая часть формулы (2) равна скалярному произведению этих двух векторов; так как

Замечание. Из формулы (1) следует, что значение производной по направлению не зависит

системы координат: он направлен по тому направлению, производная по которому наибольшая, и длина его равна этой наибольшей производной по направлению.

139