Добавил:

VadoZ хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

лекции вышмат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2024

Размер:

5.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

а для интеграла b

f (x)dx с одной особенностью во внутренней точке c (a,b)

c−ε

f (x)dx =

= lim

f (x)dx

+ lim

f (x)dx .

→+0

δ→+0

c+δ

Главное значение несобственного интеграла обозначается буквами

v.p.

Определение 4. По определению

v.p.

f (x)dx = lim

f (x)dx

c→+

−

−c

(2)

v.p.

b		c−ε

f (x)dx = lim
ε→+0
a		a

	b
f (x)dx +
	c+ε

(x)dx

(3)

если эти пределы существуют и конечны. В таком случае интеграл называется сходящимся в смысле главного значения.

Так как определение главного значения несобственного интеграла является частным случаем общего определения несобственного интеграла, то если несобственный интеграл сходится, то он сходится и в смысле главного значения, и его главное значение равно самому интегралу. Но возможны случаи, когда расходящийся несобственный интеграл сходится в смысле главного значения.

Пример. Найти главное значение несобственного интеграла

−1

Решение. Известно, что

расходится:

, и в этих интегралах

−1

v. p.

= lim ln | x |

− + ln | x |

1 = lim ln ε − ln ε = 0 .

−1

→+0

|−1

→+0

, но

110

ЛЕКЦИЯ 2

ГАММА-ФУНКЦИЯ

Существует ряд функций, которые задаются (сходящимися) В этом параграфе мы рассмотрим одну из таких функций.

Определение 1. Гамма−функцией называется функция (α) несобственным интегралом:

несобственными интегралами.

, которая задается следующим

(α) =

+
x	α−1	−x
x	e		dx
0

(1)

Данный интеграл является несобственным. У него две «особенности»: бесконечный предел ( + ) и разрыв подынтегральной функции при х = 0 (если α −1 0 α 1). Докажем, что этот интеграл сходится при всех α 0 (т.е. формула (1) определяет гамма−функцию при

α0 ). По определению интеграла с несколькими «особенностями», его надо представить

ввиде суммы интегралов с одной «особенностью» в каждом:

( ) =

α−1

−x

dx +

α−1

−x

dx .

(α)

Согласно теореме сравнения в предельной

форме,

I1 (α)

сравним с

1		1	dx
x	α−1	dx =	dx
	α−1
			1-α
0		0	x
0		0

	x	α−1		−x
lim			e
		x	α−1
x→+0

= lim e	−x
= lim e
x→+0

1		1	dx
x	α−1	dx =	dx
	α−1
			1−α
0		0	x
0		0

сходится при

1−α 1, α 0 I1(α)

сходится при


α 0 (и расходится при α 0 ).
Докажем,	что I2 (α) сходится при всех		α
x → + e	−x	стремится к нулю быстрее, чем

(фактически, это следует из того, что x в любой степени). Сравним, например, I

при

2	(α)

+	dx			x	α−1		−x		x	α+1
со сходящимся интегралом	dx		lim	x		e		= lim	x		x = 0 (если α +1 0 , то последнее
со сходящимся интегралом	x	2 :	lim		1			= lim	e		x = 0 (если α +1 0 , то последнее
1	x		x→+					x→+	e
			x→+					x→+
						2
					x	2
					x
равенство очевидно; если же	α +1 0,			то нужно достаточное количество раз применить
правило Лопиталя, при этом знаменатель не меняется,											а из числителя x , в конце концов,

«уйдет», что и даст нужный нам результат), следовательно, по теореме сравнения в предельной форме (случай K = 0 ), I2 (α) сходится при всех α .

Следовательно, (α) сходится при α 0 и расходится при

Нахождение значений гамма−функции ( α 0 )

1. Формула приведения

(α +1) = α (α) .

▲ Применяя формулу интегрирования по частям, имеем:

(2)

	+				+			+
(α) =		xα−1e−x dx (α +1) =				xα e−x dx = −xαe−x	0+ +		e−xαxα−1dx = ( ) . Здесь
(α) =		xα−1e−x dx (α +1) =				xα e−x dx = −xαe−x	0+ +		e−xαxα−1dx = ( ) . Здесь
	0				0	u dv		0
						=0
									α (α)
u = xα			dv = e−x dx	,
du = αxα−1dx			v = −e−x	,
du = αxα−1dx			v = −e−x

111

αx

α−1

α(α −1)x

α−2

−x

= 0; x

= lim

= ... = 0

. ■

= lim x

x=0

x=+

x→+

x→+ e

x→+

x→

2. Гамма-функция от 1

(1) =1.

▲

(1) =

−x

dx = −e

−x

= −( lim e

−x

−1)

= −(0 −1) =1

. ■

x→+

3. Гамма-функция натурального аргумента

(n) = (n −1)!

▲ Пусть

α = n

– натуральное число, тогда по формуле приведения

(n) = (n −1) (n −1) = (n −1)(n −2) (n −2) = (n −1)(n −2)(n −3) (n −3) =... =

= (n −1)(n − 2)(n − 3) ... 1 (1) (n) = (n −1)! ■

В частности, (2) =1! =1; (3) = 2! = 2; (4) = 3! = 6; (5) = 4! = 24 .

4. Гамма-функция от

π .

(3)

(4)

(5)

▲			1			=
▲						=
			2
			+		−t
	1			e		2
	1	=		e
		=
	2		0		t
			0

Замечание.

+	−	1
x	−	2
x

0
2tdt

e	−

=

x dx

+ 2

		+			e	−x
=					e	dx	.


			0			x
			0
e	−t		2	dt = 2
	−t
							2
							2
						+
						e
							−t
						0

Сделаем

	=	π
			.
2	dt =		π
	dt =		2
			2

замену

t	2

Это так называемый интеграл Эйлера-Пуассона; вычислить достаточно сложно; формула (6) будет доказана позднее, она перехода к полярным координатам в двойном интеграле. ■

= 2tdt

его в будет

x = t . Тогда

(6)

данный момент получена путем

5. Гамма-функция полуцелого аргумента

Введем обозначения:

(2n)!!= 2 4 6

...

(2n)

;

(2n

−1)!!=1 3 5 ...

(2n

−1)

Тогда

справедлива следующая формула:

												n +		1				=	(2n −1)!!		π , n Z .
												n +		2				=	2	n	π , n Z .
									1					2					2	1		3	3
				1	(2)				1					1						1		3	3
				1

▲	Г	n +			=		n −				n −					=			n −	n −		n −	= ... =
				2					2					2						2		2	2
		1			3			5				1		1					(2n −1)(2n −3)(2n −5) ... 1						(2n −1)!!
		1			3			5				1		1					(2n −1)(2n −3)(2n −5) ... 1						(2n −1)!!
= (n −			)(n −			)(n −				) ...			(				) =							π =		π . ■
= (n −		2	)(n −		2	)(n −		2		) ...		2	(		2		) =					2n		π =	2n	π . ■

(7)

n сомножителей

Примеры. Вычислить значения

1 n =3

5!!

Решение.

Г (

)= (3 +

) =

π =

(7 2

3 5

)	и
	и

		π =

(9 2

π ;

Г (	9	)= (4		1 n = 4		7 !!		1 3 5 7		105
											π .
			+		) =		π =		π =
	2			2		24		16		16

112

6. Гамма−функция отрицательного аргумента До сих пор мы определяли гамма−функцию для положительных

+
	x	α−1	−x	dx ). Формула приведения	(α +1) = α (α) может
	x	e		dx ). Формула приведения	(α +1) = α (α) может
0

α (лишь для них сходится

служить определением

гамма−функции отрицательного аргумента. Из этой формулы

			(α) =		(α +1)		.
			(α) =		α		.
					α
Теперь, зная	(α +1)	,	мы находим	(α) .		Если		α (−1, 0)

, то

α +1 (0,1)

(8)

, а на этом

интервале гамма−функция уже известна. Таким методом мы найдем гамма − функцию для α (−1, 0) . Точно так же, зная гамма − функцию при α (−1, 0) , по формуле (8) найдем

гамма - функцию для α (−2, −1) и т.д. В итоге мы найдем гамма − функцию во всех

отрицательных нецелых точках.

Получим формулу для гамма - функции в отрицательных полуцелых точках.

						−n +		3				−n +				5															1
			1			−n +						−n +
Г		−n +	1	=				2		=						2						= ... =									2								=
Г		−n +		=			1			=		1							3			= ... =							1				3		1				=
			2		−n +		1				(−n +	1	)(−n +						3	)					(−n +				1	)(−n +			3	)...(−	1		)
					−n +		2				(−n +	2	)(−n +						2	)					(−n +				2	)(−n +			2	)...(−	2		)
							2					2							2										2				2		2
						π 2			n														2		n			π						(−1)	n	2		n	π
=						π 2									=								2					π					=	(−1)		2			π
=	(−2n +1)(−2n + 3)...(−2n + (2n −1))														=		(−1)				n												=
																					n	(2n −1)(2n − 3) ... 1												(2n −1)!!
																						(2n −1)(2n − 3) ... 1												(2n −1)!!
																		1					(−1)	n		2	n	π
														−n +				1			=		(−1)			2		π	, n Z			.								(9)
														−n +				2			=		(2n −1)!!						, n Z

Примеры.
	(		1	)	n =1
			1		n =1
Решение.		−			=
Решение.
			2

Найти значение гамма - функции в отрицательных полуцелых точках.

(−1)2

n = 2

n = 3

−2

(−

= −2

π ;

;

= −

(2 − 1) !!

3 !!

5 !!

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Определение и свойства двойного интеграла

;

(−	7	)=	2	4	=
		n = 4
	2			7 !!	105

По аналогии с определением определенного интеграла дается определение двойного интеграла. Под словом «область» понимается открытое связное множество; если это

множество ограничено, то оно	вместе со своей	границей образует так называемую
«замкнутую область».
Определение 2. Пусть функция	z = f (M ) = f (x, y)	определена в замкнутой области (D)

плоскости 0xy ограниченной гладкой или кусочно-гладкой кривой. Разобьем эту область сетью (гладких или кусочно-гладких) кривых на конечное число замкнутых частей (Di ) с

площадями	S	. В каждой части разбиения возьмем произвольную точку	M	i	(D )	(рис. 1).
	i			i	i

Составим интегральную сумму	σ =		f (M	)S	i . Пусть	λ - наибольший из диаметров
Составим интегральную сумму			i		i . Пусть	λ - наибольший из диаметров
		i

множеств (Di ) (диаметр множества это наибольшее расстояние между точками множества).

Если существует предел наших интегральных сумм при λ → 0 , не зависящий от разбиения области (D) на части (Di ) и от выбора точек Mi (Di ) , то этот предел называется двойным

интегралом от функции z = f (x, y) по области (D) и обозначается f (x, y)dxdy .

( D)

113

(D)

f (x, y)dxdy = lim σ = lim
λ→0	λ→0	i

Рисунок 1

(M	)S	i
i		i

(10)

Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам обычного определенного интеграла (и доказываются точно так же):

1)		αf	(x, y)dxdy = α
1)		αf	(x, y)dxdy = α
	( D)			( D)
2)		f1 (x, y) f2 (x, y)
2)		f1 (x, y) f2 (x, y)
	( D)

f (x, y)dxdy , если интеграл справа существует.

dxdy =		f1 (x, y)dxdy		f2	(x, y)dxdy , если интегралы справа
dxdy =		f1 (x, y)dxdy		f2	(x, y)dxdy , если интегралы справа
	( D)		( D)

существуют.

3) Пусть			1	2		1	и	(D	2	)
3) Пусть		(D) = (D ) (D			) , где (D )		и	(D		)
	f (x, y)dxdy =		f (x, y)dxdy +			f (x, y)dxdy
( D)		1			2	)
( D)		( D )			( D	)

не имеют общих внутренних точек. Тогда , если все эти три интеграла существуют.

4) Пусть в области

(D)

(x,

Тогда

(D)

f (x, y)dxdy

, если этот интеграл существует.

5) Пусть в области

(D)

f (x, y)

g(x,

. Тогда

(D)

f (x, y)dxdy

g(x, ( D)

y)dxdy

, если оба этих

интеграла существуют.

6) f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy , если оба этих интеграла существуют.

( D)

7)		dxdy = S , где	S	это площадь области				(D) .
7)		dxdy = S , где	S	это площадь области				(D) .
	( D)
	Согласно определению					dxdy = lim Si			= lim S
	Согласно определению					dxdy = lim Si			= lim S
					( D)	λ→0	i		λ→0
							i

= S

.■

8)Теорема 1. Если функция

	f (x, y)dxdy	существует.
	f (x, y)dxdy	существует.
( D)

z = f (x, y)

непрерывна в замкнутой области

(D)

, то

9) Теорема 2 (о среднем в двойном интеграле). Пусть

z = f (x, y)

непрерывна в замкнутой

области (D) с площадью

	f (x, y)dxdy = f (x0	, y0 )S .
( D)

. Тогда существует такая точка

(x	,
0

y0 ) (D)

, что

10) Геометрический смысл двойного интеграла

Пусть

z = f (x, y)

непрерывна и неотрицательна в замкнутой области

(D) . Согласно

определению двойного интеграла 1, f (x, y)dxdy = limλ→0	f (Mi )Si . В последней сумме
( D)	i

слагаемое f (Mi )Si – это объем цилиндра с основанием (Di ) и высотой f (M i ) (рис. 2), а сумма таких слагаемых – это объем «ступенчатого» тела, состоящего из таких цилиндров.

114

Под объемом V тела, ограниченного областью

(D)

на плоскости

0xy

, поверхностью

z = f (x, y) и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси 0z ,

мы будем понимать предел объемов таких ступенчатых тел при λ → 0 , если этот предел существует и не зависит от разбиения (D) на части и от выбора точек в каждой из частей. Но данный предел как раз и дает двойной интеграл, значит,

Рисунок 2

V =	f (x, y)dxdy
( D)

Вычисление двойного интеграла

(11)

Предположим, что в двойном интеграле

	f (x, y)
( D)

область

(D)

является так называемой

криволинейной трапецией, ограниченной прямыми

y = φ(x)

y = ψ(x) , где обе эти функции

x = a

x = b

(a b)

непрерывны на отрезке

кривыми

[a,b]

ψ(x) φ(x), x [a,b]. Такая область называется правильной в направлении оси 0 прямая, параллельная оси 0y , пересекает не вертикальную границу области (D)

чем в двух точках (см. рис.3).

Неправильные области нужно разбить на правильные части и для вычисления интеграла применить свойство 3) выше.

y . Любая не более,

двойного

Рисунок 3

Теорема 3. Пусть (D) – криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x = a и x = b (a b) и кривыми y = φ(x) и y = ψ(x) , где обе эти функции непрерывны на отрезке [a,b]

115

и	ψ(x) φ(x),

Тогда

x [a,b]. Пусть функция
	f (x, y)dxdy
( D)

z = f (x,

bψ( x)

=dx

aφ( x)

f (

непрерывна в замкнутой области

x, y)dy

(D) .

(12)

Функция z = f (x, y) непрерывна в замкнутой области (D) , значит,

наш двойной интеграл существует. Предположим, что в области	(D)	f

вычисления двойного интеграла можно применить формулу (11). Но

согласно теореме 1,

(x, y) 0	, тогда для

объем тела можно

посчитать		и как интеграл от
			b
	f (x, y)dxdy =			S(x)dx
				. Теперь
( D)			a

площади	поперечного сечения: V = b S(x)dx . Тогда
		a
найдем	S(x)	– площадь сечения тела плоскостью,

перпендикулярной оси 0x , в точке с абсциссой x (рис. 4).

Из рис. 4 видно, что поперечное сечение – это криволинейная трапеция, площадь которой

равна

(x)dx

, где

и b	– наименьшее и наибольшее значения х, а

f (x)

– верхняя граница

трапеции. В нашем случае интеграл будет

наибольшее значения этой переменной это	φ(
фиксирован).

браться

x) и

ψ(x

по

) , а

переменной y, наименьшее верхняя граница это f (x, y)

(х

ψ( x)

Значит, S(x) = f (x, y)dy

φ( x)

и
и
	( D)

Рисунок 4

b	b	ψ( x)

f (x, y)dxdy = S (x)dx =

a	a φ( x)

f(x, y)dy

В последнем интеграле, чтобы не писать скобок, dx переставляют вперед и записывают эту

	b	ψ( x)
формулу в виде	f (x, y)dxdy = dx	f (x, y)dy .
( D)	a	φ( x)

116

Докажем эту формулу в случае невыполнения	условия	f (x, y) 0	. Так	как	f (x, y)

непрерывна в замкнутой области (D) , то в этой области она ограничена, значит, существует
(отрицательное) число C , такое, что в области (D)	f (x, y) C f (x, y) −C 0 . Тогда мы
можем применить только что выведенную	формулу	к функции		f (x, y) −C :

ψ( x)

[ f (x, y) −C]dxdy =

[ f (x, y) −C]dy .

( D)

φ( x)

Преобразуем левую и правую части последней формулы ( S – площадь

свойствам двойного интеграла,

[ f (x, y) −C]dxdy =

f (x, y)dxdy −C

dxdy =

f (x, y)dxdy −CS ;

( D)

согласно свойствам обычного определенного интеграла,

ψ( x)

[ f (x, y) −C]dy = dx [

f (x, y)dy −C

dy] = dx

f (x, y)dy −

φ( x)

ψ( x)

−C

[ψ(x) − φ(x)]dx =

f (x, y)dy −CS

φ( x)

(D)

): согласно

Приравнивая два полученных результата, мы и получим нужную нам формулу. ■
Расстановка пределов в последней формуле производится следующим образом: x	меняется
от a до b ; далее фиксируем произвольное значение x и проводим через	точку x

вертикальную прямую; вдоль этой прямой

меняется от минимального значения (от точки

«входа») Интеграл

φ(

до максимального значения (до точки «выхода»)

ψ(x) (см. рис. 4).

правой части формулы (12) вычисляется следующим образом: сначала при

каждом фиксированном

ψ( x)

берется внутренний интеграл f (x, y)dy . Этот интеграл

φ( x)

является функцией от

, которая теперь интегрируется от

до

Пусть теперь область

(D)

является правильной в направлении оси 0x , т.е. является

криволинейной трапецией вида, изображенного на рис. 5. Тогда, аналогично предыдущему, расстановка пределов в двойном интеграле производится по формуле

	b	ψ( y )
	f (x, y)dxdy = dy		f (x, y)dx
( D)	a	φ( y )

(13)

Рисунок 5

117

Здесь

меняется от наименьшего значения a до наибольшего значения b ; далее

фиксируем произвольное значение y и проводим через точку y горизонтальную прямую; вдоль этой прямой x меняется от минимального значения φ( y) до максимального значения

ψ( y) .

Пример 1. Расставить пределы в двойном интеграле f ( x, y)dxdy (в том и в другом порядке) по области (D) ,

ограниченной кривыми

+ y

( D )

= 2, y = x, x = 0 .

Решение.

	1	2 − x	2
	1	2 − x
	f ( x, y)dxdy = dx		f ( x, y)dy
( D )	0	x

Рисунок 6

(x	2	+ y	2	= 2		y =	2 − x	2	– это окружность радиуса	2	с центром в

начале координат (рис. 6); выбирается знак «+», так как на нашей дуге окружности

При	расстановке	пределов	в	другом порядке область приходится
	1	y	2	2 − y 2
f ( x, y)dxdy = dy f ( x, y)dx +				dy f ( x, y)dx .
( D )	0	0	1	0

0 ).

разбивать на две части и

Пример 2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями y = x2 , y = 2x, z = 0, z Решение. Первые две поверхности – цилиндрические, с образующими (в силу отсутствия в

параллельными оси						0z . Проекцией тела на плоскость		0xy	будет заштрихованная область	(
(	2x = x	2	x	= 0, x		= 2	).
	2x = x		x	= 0, x		= 2
			1		2

= x2 y .

уравнениях координаты z D) , изображенная на рис.

)

Рисунок 7

Не вдаваясь в изучение вида поверхности

z =

x	2	y

, отметим, что при (x, y) (D)

. Тогда выполняются условия, при

которых справедлива формула (12), и (мы можем обойтись без пространственного чертежа)

								2 x		4x4		x6		2			2
	2	2	2 x	2	2	2	y2		2	4x4	−	x6		2x5		x7		64		64		128
V = x		ydxdy = dx x			ydy = x				=				dx =		−		=		−		=		.
V = x		ydxdy = dx x			ydy = x				=	2		2	dx =		−		=		−		=		.
( D )		0	x 2		0		2 x 2		0	2		2		5 0		14 0		5		7		35

118

ЛЕКЦИЯ 3

Определение и свойства тройного интеграла

Определение 1. Пусть функция

u =

f (M ) =

f (x, y, z)

определена в замкнутой области

(T )

трехмерного пространства, ограниченной гладкой или кусочно-гладкой поверхностью. Разобьем эту область сетью (гладких или кусочно-гладких) поверхностей на конечное

число замкнутых частей (Ti	)	с объемами Vi . В каждой	части разбиения возьмем
произвольную точку Mi (Ti )	Составим интегральную сумму		σ = f (M i )Vi	. Обозначим
			i

через λ наибольший из диаметров множеств

(Ti )

. Если существует предел наших

интегральных сумм при λ и от выбора точек Mi (Ti

→ 0 , который не зависит от разбиения области (T ) ) , то этот предел называется тройным интегралом

на части (Ti от функции

) u

по области

(T )

и обозначается

(T )

(x,

y, z)dxdydz

. Т.е.

	f (x, y, z, )dxdydz = limσ = lim			i	i
	f (x, y, z, )dxdydz = limσ = lim			f (M	)V
(T )	λ→0	λ→0	i
			i

(1)

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла и доказываются точно так же. Отметим здесь только, что свойство 7) приобретает вид

dxdydz = V (T )

, где

это объем области

(T )

Вычисление тройного интеграла

Теорема 1. (без доказательства). Пусть область

(T )

ограничена снизу и сверху гладкими

или кусочно-гладкими поверхностями

z = p(x, y)

= q(x,

, проектирующимися на

плоскость 0xy в некоторую ограниченную область

(D),

p(x, y) q(x, y)

(x,

y) (D)

, а

сбоку – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси

области	(D)	в роли направляющей (см. рис. 1). Пусть функция u = f (x, y, z)

области	(T ) . Тогда

0z и границей непрерывна в

q( x, y )

(T )

f (x, y, z)dxdydz = dxdy
( D)	p( x, y )

(x,

z)dz

(2)

Сформулируем результат, пользуясь не вполне математическим, но зато доступным


языком: в формуле (2) пределы расставляются для области			(T )	, представляющей собой
языком: в формуле (2) пределы расставляются для области				, представляющей собой
параллельную оси 0z		«цилиндрическую банку» с двумя «крышками», нижней z = p(x, y)
и верхней z = q(x, y)	;	при расстановке пределов х и y меняются по проекции (T ) на

плоскость 0xy (D) , а z меняется от нижней до верхней «крышки». При таком рассуждении часто можно, не рисуя область (T ) , обойтись плоским чертежом области (D) .

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.06.20245.04 Mб2L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_1.pdf
#
01.06.20246.08 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_2.pdf
#
01.06.20242.46 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_3.pdf
#
01.06.20241.39 Mб10вышмат полезно.pdf
#
01.06.2024482.88 Кб3кр по алегебре.pdf
#
01.06.20245.41 Mб72лекции вышмат.pdf
#
01.06.20241.34 Mб2линейная алгебра и агалитич геом.pdf