Добавил:

VadoZ хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

лекции вышмат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2024

Размер:

5.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2511 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

•

Рисунок 1

Пример. Разложить по формуле Тейлора при ( x , y ) = (1,

1) функцию z = xy .

Решение.

f ( x0 , y0 ) = 1;

df =

x +

y = yx y −1 x + x y ln x y df (1,1) = 1 x + 0 y = x;

d 2 f =

2 f

x2 + 2

2 f

x y +

2 f

y 2

= y( y −1)x y −2 x2 + 2(x y −1 + yx y −1 ln x) x y + x y ln 2 x y 2

x y

y 2

d 2

f (1,1) = 0 x2 + 2(1 + 0) x y + 0 y 2

= 2 x y.

Значит,

(1 + x)1+ y = 1 + x + x y + r ,

или

x y = 1 + (x −1) + (x −1)( y −1) + r, где

r – остаточный

член.

Отбросив

остаточный

член

r ,

получим

формулу

для

приближенных

вычислений,

по

которой

x =0 ,1;

y =0 , 02

1, 02

1 + 0,1 + 0,1 0, 02 = 1,1 + 0, 002

= 1,102

, что уточняет результат, полученный в лекции 16. Погрешности обоих

1,1

результатов равны соответствующим остаточным членам формулы Тейлора и могут быть оценены путем оценки этих

членов. Результат можно уточнить далее, добавив члены формулы Тейлора, входящие в

d	3	f ( x	,

			0

y	)
	0

Экстремумы функции нескольких переменных

Определение 1. Пусть функция z = f (x, y)

определена в окрестности точки M0 (x0 , y0 ) .

называется

точкой

максимума

(минимума)

функции

z = f (x, y)

если

f (x , y )

f (x, y)

(

f (x

, y

) f (x, y)

)для всех точек

M (x, y) , достаточно близких к

(т.е. для всех

M , таких, что

0 M

M δ

, где δ достаточно мало). Точки максимума и

минимума называются точками экстремума функции.

Теорема 2 (необходимые условия экстремума). Пусть

, y )

– точка экстремума

функции z = f (x, y)

, и пусть в точке

существуют конечные частные производные

f (x

, y )

f (x

, y

)

f (x , y

)

= 0

f (x

, y

)

, тогда

= 0 .

▲ Пусть

, например, точка максимума функции

z = f (x, y) . Фиксируем

y = y

z = f (x, y)

– функция одной переменной

f (x

, y

)

f (x, y

)

для всех x , достаточно

близких к

0 , следовательно,

0 – точка максимума функции одной переменной

f (x, y

)

тогда по необходимому условию экстремума такой функции,

Аналогично f (x	, y ) = f (x0 , y0 )		= 0 . ■
y 0	0	y
		y

					f (x	, y	0	)
f (x		, y		) =	0		0
f (x		, y	0	) =
x	0		0		x
					x

Определение 2. Точки, в которых частные производные функции равны нулю или не существуют, называются критическими для этой функции.

Согласно теореме 2, функция может иметь экстремумы только в таких точках.

100

Пример. Найти экстремумы функции

z = x2

−

y	2

Решение.

z	= 2x,
	= 2x,
x

−2 y

; так как частные производные существуют всюду, то функция

может иметь экстремум только в тех точках, где

. Но поверхность,

2x = 0,

−2y = 0

= y

= 0

определяемая уравнением

z = x

− y

это гиперболический

параболоид («седло»), и

очевидно, что экстремума в точке (0;0) у нашей функции нет (см. рис. 2). z

0 y

Рисунок 2

Итак, необходимые условия экстремума функции не являются достаточными.

Далее для простоты ограничимся функциями двух переменных.

Теорема 3 (достаточные условия экстремума функции двух переменных). Пусть в

окрестности точки M0 (x0 , y0 ) функция																														z = f (x, y)										непрерывна и имеет непрерывные
частные производные до второго порядка включительно.																																											Пусть
z(x			, y		)			z(x			, y )														2		z(x			, y				)					2	z(x		, y		)						2	z(x				, y	)
																									2															0		0											0		0
		0		0		=				0	0	= 0		. Пусть						A =								0				0			,	B		=		0		0			,	C =							0		0		. Тогда
x						=				y		= 0		. Пусть						A =							x		2						,	B		=		x y					,	C =					y			2			. Тогда
x										y																	x		2											x y											y			2
1)	AC − B						2	0, A 0				M					(x	, y		)		– точка минимума функции																								z = f (x, y)									;
	AC − B							0, A 0				M				0	(x	, y		)
																0	0		0
2)	AC − B						2	0, A 0				M					(x	, y		)		– точка максимума функции																								z = f (x, y)									;
	AC − B							0, A 0				M				0	(x	, y		)
																0	0		0
3)	AC − B						2	0 экстремума у функции																					z = f (x, y) в точке															M			(x		, y )			нет.
							2
																																														0		0		0
▲ Разложим функцию z = f (x, y)																					по формуле Тейлора в окрестности точки M0 (x0 , y0 ) :
f (x		+ x, y							+ y) = f (x , y ) + df (x , y																	) +		1			d	2 f (x						+ θ x, y				+ θ y) ,						где				0 θ 1.								Так	как
f (x		+ x, y						0	+ y) = f (x , y ) + df (x , y																	) +					d	2 f (x						+ θ x, y			0	+ θ y) ,						где				0 θ 1.								Так	как
0								0					0			0					0			0				2								0					0
																												2
								f (x , y )							f (x				, y		)							,			и				z = f (x + x, y											+ y) − f (x , y											)	,		из	этой
df (x			, y		) =					0	0	x +						0		0			y = 0					,			и				z = f (x + x, y											+ y) − f (x , y											)	,		из	этой
		0		0						x							y																							0					0										0	0
										x							y
формулы имеем:
z =		1		d	2	f (x				+ θ x, y			+ θ y) =						1	d	2		f (x				, y		) +				1		d		2	f (x		+ θ x, y						+ θ y) − d							2		f (x		, y			) .
					2																2																2																2
												0																																	0														0
		2						0				0							2							0		0					2						0						0											0			0
		2																	2														2

Обозначая второй член в правой части этой формулы как r, получаем:

	1	2 f (x , y )	x2 +	2 f (x , y )		1	2 f (x , y )	y2 + r
z =		0 0		0 0	x y +		0 0
	2	x2		x y		2	y2

101

z = K

1	A x		2	+ B x y +			1	C y		2	+
			2							2
2							2
=	1	A x			2	+ B x y +		1	C y			2
					2							2
	2							2

r = K + r,

(8)

(9)

Идея продолжения доказательства теоремы состоит в том, что в силу непрерывности

вторых частных производных функции f (x, y) , в формуле (8) r						это		бесконечно малая
более высокого порядка, чем K , поэтому членом r			можно пренебречь.
	1			x	2	x
Тогда знак z будет совпадать со знаком K =		y2

			A		+ 2B		+ C		. В первых двух

	2			y		y

случаях	по условию теоремы дискриминант квадратного трехчлена в скобках
D = 4B2 −4AC = 4(B2 − AC) 0 , значит, знак этого трехчлена совпадает со знаком первого

коэффициента A , а так как y2	0, то так же ведет себя и K :
A 0 K 0 z 0 f (x0	+ x, y0	+ y) f (x0 , y0 ) M0	− точка минимума,
A 0 K 0 z 0 f (x0	+ x, y0	+ y) f (x0 , y0 ) M0	− точка максимума;

вслучае же 3) D 0 , значит квадратный трехчлен в скобках, а значит, и K , меняет знак

он бывает положительным и отрицательным при сколь угодно малых x и y так же

меняет знак и z , т.е. экстремума у нашей функции в точке

0 нет. ■

Пример. Найти экстремумы функции z = x

+ y

− 3xy .

Решение. Экстремум может быть только в тех точках, где

= 3x

− 3 y = 0;

= 3 y

− 3x = 0

= y

x = 0

= 1 M (0, 0)

M (1,1)

= x ;

x(x

−1) = 0 ;

= x

Теперь в точках

проверяем достаточные условия экстремума:

= 6x,

= −3,

= 6 y;

x y

M1 (0, 0) : A = 0, B = −3, C = 0 AC − B2

= −9 0

экстремума в точке M 1

нет.

M (1,1) : A = 6, B = −3, C = 6 AC − B2

= 27 0, A 0

точка минимума.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Рассмотрим поверхность, заданную уравнением

F(x, y, z) = 0

(10)

Пусть

, y

, z )

–

точка на поверхности. Мы будем предполагать, что в точке

0 все

три производные

, F

существуют и непрерывны,

причем хотя бы одна из них

отлична от нуля. Такая точка

называется обыкновенной точкой поверхности.

Проведем

через

точку

всевозможные

кривые,

лежащие

на нашей поверхности

x = x(t), y = y(t), z = z(t) (предполагается, что существует х (t), у (t), z (t) ). К каждой из этих

кривых в точке M0

проведем касательную.

102

M	0

Рисунок 3

Можно проверить, что справедлива

Теорема 4.		Все				эти касательные лежат								в	одной плоскости, ортогональной вектору
	F (x , y , z			)	,	F (x , y	, z		)	,	F (x , y	, z		)
	F (x , y , z			)		F (x , y	, z		)		F (x , y	, z		)
N =	0	0	0			0 0		0			0 0		0		.
	x					y					z

Определение 3. Плоскость, в которой расположены касательные ко всем гладким кривым на поверхности, проходящим через ее обыкновенную точку M0 , называется касательной плоскостью к поверхности в точке M0 .

Уравнение касательной плоскости к поверхности																F(x, y, z) = 0					в точке				M			0	(x	,	y	, z	0	)	– это
Уравнение касательной плоскости к поверхности																F(x, y, z) = 0					в точке							0	0		0		0		– это
уравнение плоскости по точке							M		0	и нормали N						:
уравнение плоскости по точке									0	и нормали N						:
F (x	, y	, z		)	(x − x	) +		F (x			, y	, z		)	( y − y			) +	F (x	, y	, z		)	(z − z			)		= 0 .						(11)
0	0		0		(x − x	) +				0	0		0		( y − y			) +	0	0		0		(z − z			)		= 0 .						(11)
0	0		0							0	0		0						0	0		0
x					0					y							0		z							0
x										y									z

Определение 4. Прямая, проведенная через обыкновенную

M	0	(x	, y	, z )	перпендикулярно к касательной плоскости в этой точке,
	0	0	0	0	перпендикулярно к касательной плоскости в этой точке,

точку поверхности называется нормалью

к поверхности в точке M0 .

Уравнения нормали к поверхности F(x, y, z) = 0

прямой по точке	M	0	и направляющему вектору												s
прямой по точке		0	и направляющему вектору												s
			x − x					=	y − y						=
				0				=			0				=
				0							0
	F (x			, y	, z	0	)		F (x	, y		, z	0	)
			0	0		0			0	0			0
			x						y

в точке

= N :
z − z		0
		0
F (x	, y
0	0
z

M		(
0
, z	)
0

x	, y	, z	0	)
0	0		0

–– это уравнения

(12)

Геометрический смысл (полного) дифференциала функции двух переменных

Пусть теперь поверхность задана в виде					z = f (x, y) . Напишем уравнение касательной
плоскости: z − f (x, y) = 0	F	= −	f	,	F	= −	f	,	F	=1
F ( x, y, z )	x		x		y		y		z
F ( x, y, z )

уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0 (x0 , y0 , z0 )																		имеет вид
−	f (x	, y	)	(x − x0 ) −		f (x , y				)	( y − y0 ) + (z − z0 ) = 0 или
−	0	0		(x − x0 ) −				0	0		( y − y0 ) + (z − z0 ) = 0 или
	0	0						0	0
	x							y
					z − z		0	= f (x0 , y0 ) (x − x ) + f (x0 , y0 )								( y − y ) .			(13)
							0				x			0	y		0
											x				y
Положим			x − x		= x, y − y				= y			z − z	0	= f (x0 , y0 ) x +			f (x0 , y0 ) y = df (x , y ) .
				0				0					0		x		y	0	0
															x		y

103

Таким образом, уравнение касательной плоскости в точке				M	0	имеет вид
Таким образом, уравнение касательной плоскости в точке					0	имеет вид
z − z	= df (x	, y )	.
0	0	0	.

Следовательно (аналогично функциям одной переменной, для дифференциал равен приращению ординаты касательной), полный дифференциал

(14)

которых

функции

двух переменных

z = f (x, y)

в точке

(x	,
0

y	0	)
	0

, соответствующий приращениям

независимых переменных касательной плоскости в функцией.

x и y, равен

точке	(x	, y	0	)
точке	0		0

соответствующему приращению аппликаты z к поверхности, которая определяется данной

104

2 СЕМЕСТР

ЛЕКЦИЯ 1

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Определение несобственного интеграла

Определение определенного интеграла как предела интегральных сумм теряет смысл в случаях бесконечных пределов интегрирования (так как тогда интегральная сумма содержит бесконечное число слагаемых) или неограниченной подынтегральной функции (так как интегрируемая функция обязательно ограничена). В этих случаях дается определение несобственного интеграла. Вначале дадим его в случае, когда так называемая особенность (это бесконечный предел интегрирования или точка бесконечного разрыва подынтегральной функции) – одна и находится на правом краю промежутка интегрирования.

Определение 1. Пусть функция		y =	f (x) определена
интегрируема на любом отрезке a, c ,			где a c b
определению
b	f (x)dx = limc→b c			f (x)dx ,
a			a

на полуинтервале			a,b)	и
	c
(т.е.		f (x)dx существует).		По
(т.е.		f (x)dx существует).		По
	a
				(1)

если этот предел существует и конечен. В этом случае несобственный интеграл называется сходящимся. В противном случае (предел не существует или бесконечен) несобственный интеграл называется расходящимся.

В частности,

+		c
	f (x)dx = lim
a	c→+	a
a		a

(x)dx

	b		b−ε
,		f (x)dx = lim		f (x)dx
,		f (x)dx = lim		f (x)dx
	a	ε→+0	a
	a		a

для неограниченной при

x → b − 0 функции.

Аналогично по определению

c, b , где − a c b .

f (x)dx = lim c→a c

(x)dx

, если f (x) интегрируема в любом

Если интеграл имеет несколько особенностей, то он представляется в виде суммы интегралов с одной особенностью на краю в каждом и называется сходящимся, если сходится каждый из этих интегралов. В этом случае значение всего интеграла не зависит от расположения точек деления.

Далее всюду для определенности будет предполагаться, что интеграл имеет только одну особенность в точке b .

Геометрический смысл
Пусть f (x) неотрицательна и непрерывна на a,b) b	f (x)dx = limc→b c	f (x)dx , что по
a	c b a

определению считается площадью соответствующей бесконечной области (см., например, рис. 1 ниже).

105

Рисунок 1

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть

тогда

f (x)	непрерывна на a, b)			и	F(x) – ее первообразная на этом полуинтервале,
		c				опр
					c	опр	b
f (x)dx = lim					c	= limF (c) − F (a) =	b
f (x)dx = lim			f (x)dx = lim F (x) \|			= limF (c) − F (a) =	F (b) − F (a) = F (x) \|	a . То есть
	c→b		c→b		a	c→b		a . То есть
	c→b	a	c→b			c→b
	c b	a	c b			c b

b
b
f (x)dx = F (x) \|a	,
a

где

F (b)

lim x→b x b

F (x)

При этом левая и правая части этой формулы конечны или бесконечны одновременно.

+ dx			b	dx
Примеры. Исследовать на сходимость несобственные интегралы			и			.
	x	α		(b − x)	α
a			a

Решение.

				+
1) при		α 1
1) при		α 1
				a
				+
же	α =	1	, то
же	α =	1	, то
				a
2)	при		α 1

этот предел существует и конечен при

α −1 0

и бесконечен при

α −

α −1

(−α + 1) x

= ln x|

= ,

т.е.

сходится при α 1

и расходится при α 1

;

d (b − x)

= −

|a , этот предел существует и конечен при

(b − x)α

(−α + 1)(b − x)α −1

1 0

α −1

;

если

бесконечен при α −1 0	; если же
и расходится при α 1.
		b	dx
Эти же выводы верны и для			dx		(
				α

		−	x

			b
= 1 , то

			a
		b
0)	и
0)	и
		a	(

dx b − x

dx x − a

		b	d (b − x)
	= −		d (b − x)	\|	b	= ,
				\|
			b − x	= − ln(b − x)
			b − x		a
		a
	.
)	α
)

т.е.

b	dx

	(b − x)	α
a

сходится при

α 1

Линейность

	b					b
Если	f1 (x)dx				и			f2 (x)dx
	a					a
	c
= lim		1	f	(x) +		2	f	2	(x) dx
c→b		1	1			2		2
c b	a

сходятся,

	1		c	1
=	1	lim		1
=		lim		f
		c→b
		c b	a

то сходится и

		c
(x)dx + 2	lim f
	c→b
	c b	a

b
			f	(x) +			2
		1	1				2
a
					b
2	(x)dx =					f
2				1			1
					a

f	2	(x) dx	=
	2
			b
(x)dx + 2 f2 (x)dx.
			a

Аддитивность
b	f (x)dx = d	f (x)dx + c	f (x)dx , если несобственный интеграл b	f (x)dx	сходится и d (a,b).
a	a	d	a

Интегрирование неравенств

	b			b
Пусть		f (x)dx	и		g(x)dx	сходятся и для
Пусть			и			сходятся и для
	a			a

x a,b)

f (x) g(x).

Так как для

c a,b)

c	f (x)dx c	g(x)dx, то, переходя в этом неравенстве к пределу при c → b, имеем
a	a
b	f (x)dx b g(x)dx .
a	a

106

Интегрирование по частям

Если u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на a,b) и сходятся несобственные

интегралы

b u(x)dv(x) =

a = u(b)v(b) − u

	b	b
	u(x)dv(x) = u(x)v'(x)dx
	a	a
	c
lim u(x)dv(x) = lim u(c)v(c) −u
c→b	a	c→b
c b	a	c b
		b	b
			b
(a)v(a) − v(x)du(x) = u(x)v(x)\|
			a
		a

			b
		и			v(x)du(x) =
		и
			a
				c
(a)v(a) − lim				v(x)du(x) =
			c→b	a
			c b	a
	b					опр.
						опр.
−		v(x)du(x)		,		u(b)v(b) =
				,
	a

b v(

lim c→b c b

x)u'(x)dx

u(c)v(c) .

то

Замена переменной
Пусть			f (x) непрерывна на		a,b);		x = φ(t),	где φ(t) непрерывно дифференцируема на
α,β) ;			φ(α) = a , lim φ(t) = b;			при	t α,β)	φ(t) a, b);	существует обратная функция
				t →β
t = φ	−1	(x),		непрерывно		дифференцируемая			при	x a,b).	Тогда
t = φ		(x),		непрерывно		дифференцируемая			при	x a,b).	Тогда
b			c	φ−1 (c)				β
f (x)dx = limc→b f (x)dx = limc→b						f (φ(t))φ (t)dt = f (φ(t))φ (t)dt
a			c b a	c b	α			α

(так как при c этой формулы

→ b	φ	−1	(c) →β	и φ	−1	(c) β ). При этом интегралы в левой и правой частях

(если они несобственные) сходятся или расходятся одновременно.

Несобственные интегралы от неотрицательных функций

Рассматриваются два несобственных интеграла, каждый из которых имеет одну

особенность в точке

	b

1)	f (x)dx
1)

	b

2)	g(x)dx
2)

Теорема 1 (сравнения). Пусть для сходится и 1), а если 1) расходится,

x a,b) 0 f

то расходится и

a (x) g(x). 2).

Тогда, если 2) сходится, то

▲ Пусть

где c a,

	b
интеграл 2) сходится и
интеграл 2) сходится и
	a
). Эта функция не убывает

		c
g(x)dx = G. Рассмотрим функцию	φ(c) =
g(x)dx = G. Рассмотрим функцию	φ(c) =
		a

и ограничена сверху на a,b), так как при

f (x)dx,

c1 c2

) =

f (x)dx =

f (x)dx +

f (x)dx

φ(c

f (x)dx = φ(c ) (здесь

f (x)dx 0);

φ(c) =

f (x)dx g(x)dx g(x)dx = G.

Но всякая неубывающая, ограниченная сверху функция имеет конечный предел, поэтому

существует конечный предел

		c
lim φ(c) = lim f (x)dx,
c→b	c→b	a
c b	c b	a

т.е. интеграл 1) сходится.

Если же интеграл 1) расходится, то расходится и интеграл 2), так как если бы этот интеграл сходился, то, по уже доказанному утверждению, сходился бы и интеграл 1), что противоречит условию теоремы. ■

Замечание. На самом деле для справедливости теоремы достаточно выполнения неравенства 0 f (x) g(x) только для x , достаточно близких к b : если 0 f (x) g(x) для

107

a	0

, то

b	a	b
	0
= + ;
a	a	a
		0

в правой части этой формулы первый интеграл является некоторым

числом, а ко второму применима теорема 1.

Возможность применения теоремы сравнения зависит от справедливости неравенства 0 f (x) g(x) , которое во многих случаях не является существенным для результата.

Поэтому для исследования несобственных интегралов на сходимость часто более удобной оказывается следующая теорема.

Теорема 2	(сравнения в предельной форме). Пусть для x a,b)
существует	lim	f (x)	= K	,	где	K 0, K .	Тогда	интегралы 1) и
существует	lim	g(x)	= K	,	где	K 0, K .	Тогда	интегралы 1) и
	x→b	g(x)
	x b
расходятся	одновременно				(что	обозначается	как b	f (x)dx ~ b g(x)dx
							a	a

f (x) 0, g(x) 0 и
2)	сходятся	или
).	При K = 0	из

сходимости 2) следует сходимость 1), а при расходимость 1).

K =

из расходимости 2) следует

▲ Пусть 2) сходится. Так как

lim x→b x b

f (x) g(x)

= K

, то для

, достаточно близких к

	f (x)	− K ε	f (x)	− K ε f (x) (K + ε)g(x) , и т.к. b (K + ε)g(x)dx	тоже сходится, то,
	g(x)		g(x)
				a

по замечанию к теореме 1, сходится и 1). Эта часть доказательства справедлива и при K = 0.

Пусть теперь сходится интеграл 1). Так как

части теоремы, интеграл 2) тоже сходится.

lim	g(x)	=	1
lim	f (x)	=	K
x→b	f (x)		K
x b

, то, по уже доказанной первой

Если lim	f (x)	= , то
Если lim	g(x)	= , то
x→b	g(x)
x b

lim x→b x b

g(x) f (x)

, тогда из сходимости интеграла 1) следует сходимость

интеграла 2), а значит, из расходимости интеграла 2) следует расходимость интеграла 1) (доказательство методом от противного: пусть 1) сходится сходится 2), а это не так). ■

В примерах в качестве одного из интегралов 1) и 2) берется исследуемый на сходимость интеграл, а в качестве другого часто берется один из интегралов, рассмотренных выше:

+
	dx
	x	α
a

сходится при

α 1

и расходится при

bdx

;a (b − x)α

сходится при

α 1

и расходится

при α 1.

		dx

Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл		3	.


	1	x − 1

		dx				2	dx
Решение.		dx			=		dx


		x	3	−1			x	3	−1
	1	x		−1		1	x		−1

этот интеграл сходится (α = 1 2

сходится (строгое обоснование:

. Используем теорему 2:

−1

1);

а этот интеграл сходится

− 1

lim

x −1

;

lim

= 1 ).

( x −1)(x2 + x + 1)

x →1

x →

−1

			dx			2		dx
							~		, а

	( x −1)( x			2
	( x −1)( x				+ x + 1) 1			x − 1
(α =		3	1). Т.е.			исходный интеграл
(α =			1). Т.е.			исходный интеграл
2

108

			1	dx
Пример 2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл				dx	.


			0	sin x
			0
1	dx					sin x		1	dx
Решение.	dx	расходится, так как, в силу первого замечательного предела			lim	sin x	= 1,		dx
Решение.	sin x	расходится, так как, в силу первого замечательного предела			lim	x	= 1,		sin x
	sin x				x →0	x			sin x
0								0

интеграл расходится ( α = 1 ).

Несобственные интегралы от функций произвольного знака

	1
~
~
	0

dx x

, а последний

Определение 2. Рассмотрим несобственный интеграл

f (x)dx

с одной особенностью в

точке b . Этот

интеграл называется

абсолютно

сходящимся,

если сходится интеграл

| f (x) | dx .

Теорема 3. Если

f (x) | dx сходится, то f (x)dx

тоже сходится, т.е. если несобственный

интеграл абсолютно сходится, то он сходится в обычном смысле.

f (x), x если f (x) 0

x если f (x) 0

Введем функции

f+ (x) =

f− (x) =

x если f

(x) 0

− f (x), x если f (x)

тогда f (x) = f+ (x) − f− (x)

. Так как 0 f+ (x) | f (x) | , 0 f− (x) |

f (x) | , то по теореме 1 из

сходимости интеграла

f (x) | dx

следует сходимость интегралов

f+ (x)dx и

f− (x)dx

, а

отсюда следует сходимость интеграла

f+ (x) − f− (x) dx =

f (x)dx.

■

Замечание. Пусть b

f (x)dx абсолютно сходится. Так как при c b

| f (x)dx | | f (x) | dx ,

то, переходя в этом неравенстве к пределу при c → b , получаем:

f (x)dx |

f (x) | dx

Определение 3. Несобственный интеграл

f (x)dx

называется условно сходящимся, если

он сходится, а

f (x) | dx

расходится.

+ sin x

Пример. Интеграл

dx условно сходится (без доказательства).

Главное значение несобственного интеграла

	Как	известно, для					интеграла		с двумя особенностями в точках
+		a		+	a		d	d
	f (x)dx =		+		= lim	+ lim		= lim	f (x)dx ,
					c→−	d	→+	c→−
−		− a			c		a	d →+ c

и −

109

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2511 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.06.20245.04 Mб3L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_1.pdf
#
01.06.20246.08 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_2.pdf
#
01.06.20242.46 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_3.pdf
#
01.06.20241.39 Mб20вышмат полезно.pdf
#
01.06.2024482.88 Кб11кр по алегебре.pdf
#
01.06.20245.41 Mб93лекции вышмат.pdf
#
01.06.20241.34 Mб4линейная алгебра и агалитич геом.pdf