лекции вышмат

Добавил:

VadoZ хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

z = f (x, y)

включительно, то для всех точек

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2024

Размер:

5.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2510 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Пример. Вычислить

lim

x →0 y →0

		x	2	+ y			2
			2				2
x		+ y					.
x	2	+ y			2	+1 −1

Решение. Домножая числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, имеем:

			x	2	+ y			2
lim	x		+ y				+ 1
x →0	x	2	+ y			2	+ 1
y →0

Пример.

( x

+ y

)(

+ y

+ 1

+ 1)

= lim

+ y

+ 1 −1

= lim(

−1

x →0

y →0

Исследовать на непрерывность функцию f

+ y

+ 1 + 1)

= 2.

при x

+ y

( x,

y) = x

+ y

0 при x = y = 0

Решение. Во всех точках, кроме (0,0), наша функция непрерывна по теоремам о непрерывных функциях. Докажем, что

эта функция непрерывна и в

		x	2	y	2				x	2
0		x		y			=		x		y	2	1
0							=				y	2	1
	x	2	+ y			2	x	2	+ y		2

							x	2	y	2
					lim		x		y		=
точке (0,0), т.е. что					lim		2				=
					x →0	x	2	+ y			2
					x →0
					y →0
x	2	.	Теперь	перейдем							в
x

0	. Для этого оценим функцию следующим образом:
	. Для этого оценим функцию следующим образом:
	последнем	неравенстве	к	пределу	при

( x, y) → (0, 0) : lim 0 = 0, lim y	2

, отсюда по теореме «о двух милиционерах» для функций нескольких переменных и

		x	2	y	2
lim		x		y
lim	x	2	+ y			2
x →0	x	2	+ y			2
x →0
y →0

x →0	x →0
y →0	y →0

= 0	, что и требовалось получить.

Определение 6. Функция

y =

f (x)

называется непрерывной на некотором множестве, если

она непрерывна в каждой точке этого множества.

Справедливы следующие утверждения, аналогичные свойствам функций одного переменного, непрерывных на отрезке:

Теорема 2. Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном множестве X функция y = f (x) ограничена на этом множестве и в некоторых его точках принимает свои

наибольшее

= sup x X

(x)

и наименьшее m = inf f (x) значения. Всякая непрерывная на

x X

связном множестве X функция, принимая два какие-либо значения,

промежуточное значение между ними, т.е. если					x	(1)	, x	(2)	X	и	C : f (x
					x		, x		X		C : f (x

x	(0)	X : f (x	(0)	) = C
x		X : f (x		) = C
				.

Частные производные

принимает и любое

(1)	) C f (x	(2)	)
	) C f (x		)
			, то

Определение 7. Пусть функция				y = f (

x(0) = (x(0)			,..., x(0) ) . Частной производной
		1	n
x	(0)	называется

x) = f (x1,

y = f

xi xi

..., x	)	определена в окрестности точки
n		определена в окрестности точки

этой функции по переменной xi в точке

f (x

(0)

)

f (x

(0)

)

(

(0)

,..., x

(0)

= lim

→0

предел существует и конечен.

Так как в определении 7 все переменные,

+ x ,..., x		(0)		)− f (x	(0)	,..., x		(0)	,..., x	(0)	)
+ x ,..., x				)− f (x		,..., x			,..., x		)
i	n			1			i		n		, если этот
	x										, если этот
	x
			i
кроме	xi ,		постоянны,				то частная производная

функции по некоторому аргументу – это ее производная по этому аргументу, вычисленная в предположении, что остальные аргументы функции постоянны.

Пример 1.

Вычислить частные производные функции

z = x

sin(xy)

Решение.

= 2x sin( xy) + x

cos( xy) y;

= x

cos( xy) x = x

cos( xy) .

Пример 2.

Вычислить в точке

(0, 0)

частные производные функции


1 при xy 0
f (x, y) =
0 при xy = 0

точка ( x, y) не лежит ни на одной из осей координат

. точка ( x, y) лежит хотя бы на одной из осей координат

Решение.	f (0, 0)	= lim	f (0 + x, 0)	−	f (0, 0)	=
	x		x
		x →0

функция не является непрерывной, так как	lim
функция не является непрерывной, так как
	x →0
	y →0

limx →0

f ( x

0 − 0		= 0	; аналогично	f (0, 0)
				f (0, 0)

x				y
, y)	не существует (положим				y
	не существует (положим

= =

0	. Отметим, что в точке (0,0) наша

0	: если предел существует, то он

равен нулю; положим

y =

: если предел существует, то он равен единице).

Таким образом, из существования у функции в некоторой точке частных производных следует только ее непрерывность по каждому аргументу в отдельности, но не следует ее непрерывность как функции нескольких переменных (т.е. в смысле определения 5).

Далее при сохранении термина «функция нескольких переменных» исключительно для

простоты записи будем предполагать,		что число этих переменных	n = 2 ,	т.е. будет
рассматриваться функция z = f (x, y) .		Случаи, где количество переменных существенно
для результата или его доказательства, будут оговариваться особо.
Дифференциал функции
Определение 8. Пусть функция	z = f (x, y) определена в окрестности точки			M (x, y) и
z = f (x + x, y + y) − f (x, y) , где	x	и y достаточно малы (с	тем, чтобы точка

(x + x, y + y) попадала в вышеупомянутую окрестность). Пусть приращение функцииz можно представить в виде

где A = A(x, y) и B =

а α = α(x, y, x, y) и

z = A x + B y + α x +β y ,
B(x, y) зависят от точки (x, y) , но не
β = β(x, y, x, y) и	lim α = 0, lim β = 0
	x→0	x→0
	y→0	y→0

		(2)
зависят от приращений	x и	y ,

. Тогда эта функция называется

дифференцируемой в точке

функции и обозначается

M(x,

=df (

y) x,

, а выражение

y) .

A x + B y

называется дифференциалом

Пример. Найти дифференциал функции

z = x

y .

Решение.

z = (x + x)

( y + y) − x

y = (x

+ 2x x + x

)( y + y) − x

y =

= x2 y + 2xy x + x2 y + 2x x y + y x2 + x2 y − x2 y = 2xy x + x2 y + (2x y + y x) x + x2 y .

Из

этой

записи видно,

что

функция дифференцируема

в любой точке

(x, y)

2x y + y x, lim = 0,

= x

, lim = 0, dz =

2xy x + x

x →0

y→0

A =

2xy

B =

x	2

Как говорят, дифференциал функции – это главная линейная часть приращения этой

функции; «линейная» – так как дифференциал является линейной функцией	x	и	y ,

«главная» – так как при

A(x, y) B(x, y) 0

и фиксированных

x и y в первых двух слагаемых


правой части формулы (2)		x	и y умножаются на постоянные (отличные от 0), а во

вторых двух слагаемых – на бесконечно малые α				и β .
Теорема 3	(необходимое условие дифференцируемости функции). Пусть функция
z = f (x, y)	дифференцируема в точке M (x, y) .			Тогда эта функция непрерывна в точке

M (x, y) .

▲ Так как функция z = f (x, y) дифференцируема в точке

z = A x + B y + α x +β y , откуда

M (x,

, то по формуле (2)

lim z =x→0y→0

A lim x + B lim y + lim α lim x + lim β lim y
x→0	x→0	x→0	x→0	x→0	x→0
y→0	y→0	y→0	y→0	y→0	y→0

, что, согласно определению, и

означает непрерывность z = f (x, y) в точке M . ■

Теорема 4	(необходимое условие дифференцируемости функции). Пусть функция
z = f (x, y)	дифференцируема в точке M (x, y) . Тогда эта функция имеет в точке M (x, y)

частные производные	z	и
	x

▲ Положим в формуле (2)

	z		z			z
x		= A + α и		= lim	x
x		= A + α и	x	= lim	x
x			x	x→0	x
				x→0

z	и	z	= A = A(x, y) ,	z	= B = B(x, y) .

y		x		y

y = 0 , тогда эта формула примет вид		z
y = 0 , тогда эта формула примет вид	x
= A + lim α = A . Аналогично доказывается,
x→0

= A x +α x
		, отсюда
что	z	= B . ■
что	y	= B . ■
	y

Пример 2 на нахождение частных производных показывает, что в отличие от функций одного переменного из существования частных производных функции в некоторой точке еще не следует дифференцируемость функции в этой точке (функция этого примера имеет в начале координат частные производные, равные 0, но не является дифференцируемой, так как не является непрерывной в этой точке – см. теорему 3).

Теорема 5 (достаточные условия дифференцируемости функции).	Пусть	функция
z = f (x, y) имеет в окрестности точки M (x, y) частные производные	и эти	частные

производные функция z =

непрерывны в точке	M	(как функции нескольких переменных). Тогда

f (x, y) дифференцируема в точке M .

▲ Докажем возможность представления приращения функции

z = f (x, y)

по формуле (2),

где

A =	f	, B =	f
	x		y

и x

и y

достаточно малы. Для этого

преобразуем

z = f (x + x, y + y) − f (x, y) = f (x + x, y + y) − f (x, y + y) + f (x, y + y) − f (x, y) .

Функцию в первой скобке можно рассматривать как функцию только от x (y– фиксирован), а функцию во второй скобке – как функцию только от y ( x – фиксирован). Поэтому к двум этим функциям мы можем применить теорему Лагранжа ( f (b) − f (a) = f (c)(b − a) , где c

находится между

и b ) по

и по

соответственно (все условия теоремы выполнены):

z = f

(x, y + y)(x + x − x) + f (x, y)( y + y − y) =

(x, y + y) x + f (x, y) y

, где

между

x и

x + x , y - между

и y + y,

f =

z = f

(x, y) x + f (x, y) y +

f (x, y + y) − f

(x, y)

x + f (x, y) − f (x, y)

y .

α( x, y, x, y )

β( x, y, x, y )

Осталось доказать, что

lim α = 0, lim β = 0 :

x→0

y→0

–

lim f
	x	(x, y + y) − f	x	(x, y) = 0
x→0

y→0

из непрерывности

f
	x

вточке

M (x,

(при


x → 0, y → 0	x → x, y + y → y lim		f ' (x, y + y) = f ' (x, y) ).					Аналогично		из
		x→0	x			x
		x→0
		y→0
непрерывности	f	в точке M (x, y) следует, что lim			f (x, y ) − f		(x, y)		= 0 . ■
	y			x→0	y	y
				y→0

Итак, для существования dz(x, y) достаточно непрерывности частных производных

z	в соответствующей точке, и тогда
y	в соответствующей точке, и тогда
y
	dz =	z	x +	z	y .
	dz =	x	x +	y	y .
		x		y
Вернемся к примеру z = x2 y : dz = ( x2 y)'x x + ( x2 y)'y			y = 2xy x + x2 y , что мы уже получили выше.

	z	и
	x	и
	x

(3)

Ранее мы имели дело только с дифференциалами функции, теперь, по определению, дифференциалами независимых переменных x и y назовем их (произвольные) приращения

x	и y : dx = x, dy = y . Тогда
			dz =	z	dx +	z	dy .	(4)
			dz =	x	dx +	y	dy .	(4)
				x		y
	Пример.	z = sin(xy)	. Найти дифференциал		dz (если он существует).
	Пример.		. Найти дифференциал		dz (если он существует).

Решение.	z	= cos( xy) y;	z	= cos( xy) x . Обе эти функции непрерывны в любой точке
Решение.		= cos( xy) y;		= cos( xy) x . Обе эти функции непрерывны в любой точке
	x		y

функция дифференцируема в любой точке (x, y) и dz = y cos(xy)dx + x cos(xy)dy .

(x, y) , следовательно наша

Определение 9. Функция называется дифференцируемой в некоторой области, если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Вернемся к формуле предыдущей лекции, которую мы перепишем в виде

z = dz + α x + β y =	z	x +	z	y + α x + β y .
	x		y

Отбрасывая здесь члены более высокого, чем x и y , порядка малости, мы получим формулу для приближенных вычислений:

z = z(x + x, y + y) − z(x, y)	z	x +	z	y
z = z(x + x, y + y) − z(x, y)	x	x +	y	y
	x		y
z(x + x, y + y) z(x, y) +					z(x, y)	x +	z(x, y)	y	(5)
					x		y

	Пример. Вычислить приближенно 1,1								.
								1, 02
Решение. Пусть z = x				y	, x = 1,	y	=1 ,	x = 0,1	,
Решение. Пусть z = x					, x = 1,	y	=1 ,	x = 0,1	,
z(1,1)	= 1 ,	z(1,1)	= 0 1,11, 02				1	+1 0,1 + 0
	= 1 ,		= 0 1,11, 02				1	+1 0,1 + 0
x		y

y = 0, 02	;

0, 02 = 1,1 .

z	= yx	y −1
		y −1

x

,	z	= x	y	ln x


	y

Здесь пока остаются открытыми вопросы о возможности уточнения полученного результата и оценке погрешности. Эти вопросы будут обсуждаться ниже.

Производные сложной функции

Определение 1. По аналогии с функциями	одной переменной, пусть
z = f (u, v),u = φ(x, y), v = ψ(x, y) z = f (φ(x, y), ψ(x, y)) .	Такая функция z(x,y) называется
сложной функцией.

Теорема 1. Пусть				функции					u = φ(x, y) и v = ψ(x, y) имеют в точке	M (x, y) частные
производные	u	,	u	,	v	,	v	,	а функция z = f (u, v) дифференцируема в соответствующей
	x		y		x		y

точке (φ(x, y), ψ(x, y)) . Тогда сложная функция

z = f (φ(x, y), ψ(x, y)) имеет в точке

M (x, y)

частные производные

;

(6)

(т.е. мы сначала дифференцируем функцию

z по всем ее аргументам, а потом каждый из

них дифференцируем по той переменной, по которой ищется производная).

▲ По определению

= lim

f (x + x, y) − f (x, y)

= lim

x→0

Дадим x произвольное приращение

( y = 0) , тогда функции u = φ(x, y)

v = ψ(x, y)

получат приращения

u = φ(x + x, y) −φ(x, y)

v = ψ(x + x, y) −ψ(x, y)

а функция

z = f (u, v) получит приращение

z =

. Так как функция

z = f (u, v) дифференцируема,

то это приращение будет равно

	u → 0	и		x	v → 0		. Тогда
x		и		x			. Тогда
	z		=		z	u		+	z	v	+ α
		x	=			x		+		x	+ α
		x				x				x
	x			u		x			v	x

z =	z =
x

u	+β	v
x	+β	x
x		x
x		x

z		u +	z		v + α

u	x		v	x

, значит

	u + β
x

	v
x

, где α,β → 0 при

В (7)

		z		z
lim	x		=
lim	x		=	u
x→0	x			u

		u		u
lim	x		=		,
lim	x		=	x	,
x→0	x			x

		u		z
lim	x		+		lim
lim			+		lim
x→0	x			v x→0

		v		v
lim	x		=		, а
lim	x		=	x	, а
x→0	x			x

	v
x		+ lim
x		+ lim
x		x→0
lim α = 0
x→0

α lim		x	u
		x
	x
x→0	x
и lim β
x	→0

+ lim βx→0

= 0 (из

		v
lim	x		.
lim	x		.
x→0	x

существования

(7)

	и	v
	и	x
		x

следует непрерывность u и v как функций от x ,

следовательно, при x → 0

xu → 0 и

v → 0

откуда

следует,

что

при

x → 0

α →0

β → 0), тогда из (7)

z = lim

x z

+ z

v . Аналогично для второй формулы. ■

x→0

Инвариантность формы (полного) дифференциала

Пусть

z = f (x, y), x = φ(u,v), y = ψ(u, v) z = f (φ(u, v), ψ(u, v)) . Пусть выполнены условия

теоремы 1 о производных сложной функции, тогда, как указано выше,

= z

y .

Так как u

и v

– независимые переменные, то, согласно этой формуле,

dz =

du +

dv =

(

)du + (

)dv =

du +

dv =

dx +

dx=dx(u,v)

dy=dy (u,v)

(для существования dz и справедливости этих преобразований достаточно непрерывности и vz , что и надо дополнительно потребовать).

Таким образом, формула	dz =	z	dx +	z	dy	верна не только тогда, когда x и y являются
		x		y

независимыми переменными, но и тогда, когда x и y являются функциями каких-то других

переменных.

При

этом

dx = dx(u, v) ,

dy = dy(u, v).

Это

свойство

называется

инвариантностью формы дифференциала (относительно выбора переменных).

Такие формулы имеют место и при другом количестве переменных. В частности:

а)

Пусть

z = f (x, y), x = φ(t), y = ψ(t) z = f (φ(t), ψ(t)) ;

если

z = f (x, y)

–

дифференцируемая функция x и y и существуют

, то существует и

(8)

“Прямое” d

в отличие от “круглого” используется для функций одной переменной.

б) Пусть z = f (x, y)

– дифференцируемая функция x и y ,

y = φ(x) (т.е. второй аргумент

функции f

зависит от

первого),

и функция

y = φ(x)

имеет

производную

(т.е.

дифференцируема),

следовательно,

z = f (x, φ(x)) . Найдем

. Этот случай получается из

предыдущего при t

= x . Положим в (8)

t = x . Тогда:

(9)

Эта формула называется формулой для вычисления полной производной, в ней полная

производная

– это производная функции, вычисленная после подстановки

y = φ(x) , а

– частная производная, вычисленная до такой подстановки, т.е. при условии y = const .

Неявная функция и ее производные

а) Ранее разбирался случай функции

y = y(x) , заданной уравнением

F(x, y) = 0 .

(10)

Укажем еще

один способ

нахождения

(в предположении, что

она существует).

Предположим, что

= Fx

= Fy непрерывны и

. Подставим в формулу (10)

y = y(x) ,

тогда

для

всех

из

области

определения этой

функции

F(x, y) 0 ,

следовательно,

dF = 0

. У функции F один из аргументов y является функцией другого

аргумента x ,

но свойство инвариантности формы дифференциала позволяет нам записать

(x, y)

в виде

dF =

dx +

(x, y) dy

(непрерывность

F (x, y)

dy = Fx (x, y)dx + Fy

=dy ( x)

нужна для достаточных условий дифференцируемости

функции

F ). Следовательно,

Fx (x, y)dx + Fy (x, y)dy = 0

= −

Fx (x, y)

Итак,

Fy (x, y)

= −

F (x, y)

Пример. Найти производную функции, заданной уравнением

2 y ln y = x

Решение.

2 y ln y − x

= 0;

= 2(ln y +1) y

F ( x, y) = −2x;

F ( x, y) = 2 ln y + 2 y

2(ln y + 1)

ln y + 1

F ( x , y )

(11)

б) Рассмотрим теперь уравнение

	F(x, y, z) = 0 .				(12)
Определение 2. Пусть каждой паре		(x, y)	из некоторой области D соответствует одно
значение z	из некоторой области Z	такое,	что	F(x, y, z) = 0	. Тогда этим определяется

некоторая функция z = z(x, y) с областью определения D. Эта функция называется неявной
функцией, заданной уравнением (12).
Подставим в (12) z = z(x, y) для (x, y) D	F(x, y, z(x, y)) 0 dF 0 .

Но, в силу инвариантности формы дифференциала ( z	зависит от	x и	y	),

	(	F
		x

	dz =

dF =

dx +

dy +

dz = F (x, y, z)dx + F (x, y, z)dy + F (x, y

предполагаются

непрерывными).

Если

F (x, y,

F (x, y, z)

−

dx −

dy . Но если dz = Adx + Bdy

, то

A =

F (x, y, z)

= −

zx = −

; zy

F (x, y, z)

, z)dz z) 0 , B =

= 0 ,

то отсюда

(13)

ЛЕКЦИЯ 17

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Пусть

z = f (x, y)

и существуют

	и	z
	и	y
		y

. Эти частные производные снова являются

функциями x и y, поэтому можно находить частные производные этих функций.

Определение 3. Второй производной функции по x

или по y называется

соответственно (обозначения:

z 2

или

). Т.е.

или

				2	z
z		=
x	2		x		2
			x

				2	z
				2
z	2	=			2
y	2		y
			y

(1)

если эти производные существуют. производные:

						z
			2	z
z	=			z	=		x	,
z	=				=			,
xy		y x				y
		y x				y
если эти производные		существуют

Введем так называемые

zyx

x y

(запись

смешанные

		z


и		y	=
и	x		=
	x

вторые

		(2)
		z

x		y

оправдывает порядок производных “справа налево”; для записей сохраним более естественный порядок дифференцирования).

	z	"
	z	xy
		xy

и	z

" yx

мы, впрочем,

Пример

				z	= e
Решение.							xy
Решение.
				x
	2	z		( ye	xy	)
		z	=	( ye		)	=
			=				=
y x				y

Найти частные производные второго порядка функции	z = e	xy	.

= e

y =

;

= xe

x = x

;

( xe

)

+ ye

x = e

(1 + xy);

= e

+ xe

y = e

+ xy)

x y

Встает вопрос: случайно ли равенство двух последних производных? Т.е. зависит ли смешанная производная от порядка дифференцирования?

Теорема 2 (о смешанных производных). Пусть функция

z = f (x, y)

и ее частные

z z 2 z 2 z

производные x , y , x y , y x существуют в окрестности точки M (x, y) , причем

смешанные производные (

x y

y x

) непрерывны в точке

M (x, y) . Тогда в этой точке

2 z

(3)

x y

y x

Доказательство этой формулы мы оставим за пределами этой лекции.

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и т.д. порядков от функций любого числа переменных. Можно показать, что значение смешанной

производной

k -ого порядка в некоторой точке не зависит от порядка, в котором

производятся последовательные дифференцирования, если, например, все производные функции до порядка k включительно непрерывны в окрестности нашей точки. Например, при выполнении таких условий функция z = f (x, y) имеет четыре различные производные

третьего порядка

, z

производных не зависят от порядка дифференцирования.

	3	z
	3
x y
		2

значения смешанных

Пример.

	u
2
Решение.		= 6
Решение.
x
	2

	= x
2	z	4	;

									u
					; найти			6				.
3	y	2	z	4	; найти							.
					x			y z
							2				3
			u									u
		3								6
					= 12xyz	4	;
x					= 12xyz		;	x		y z
x			y					x		y z
		2							2				3

= 12xy 4 3 2 z

288xyz

Дифференциалы высших порядков

Пусть

z = f (x, y) , где

и y независимые переменные, − дифференцируемая функция,

тогда

dz =

dx +

(для этого, например, достаточно непрерывности

) dz

зависит от

x, y, dx, dy

, т.е. является некоторой функцией от этих четырех аргументов. Если

dx и dy зафиксировать, то этот дифференциал можно рассматривать как функцию от x и

y, а dx и dy от x и y

не зависят. Теперь можно говорить о дифференциале этой функции.

Определение 4. Вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) функции называется дифференциал от ее (первого) дифференциала, если он существует.

z = d (dz) = d

dx +

dy =

2 dx +

dx +

dy dy =

+ 2

dxdy +

x y

y x

x y

, dy

= (dy)

(здесь для удобства записи опущены скобки:

= (dx)

)

+ 2

dxdy +

x y

(4)

Для справедливости (4) достаточно, чтобы

функция

z = f (x, y)

имела

непрерывные

частные

производные

до

второго

порядка

включительно

(тогда

z dx + z dy имеет

непрерывные частные производные первого порядка,

следовательно,

d 2 z

существует,

x y

y x

, и справедлива вся цепочка предыдущих равенств). Аналогично,

z =

3 z

+ 3

3 z

dy + 3

3 z

dxdy

(5)

x2 y

x y2

Замечание. Дифференциалы порядка больше первого не обладают свойством инвариантности формы, т.е. в случае, когда x и y не независимые переменные, а функции других переменных ( u и v ), формулы (4) и (5), вообще говоря, не верны.

Символические формулы

Перепишем формулы для дифференциалов следующим образом:

dz =

dy =

dx +

z =

+ 2

dxdy +

z =

dx +

x y

z =

+ 3

dy + 3

dxdy

z =

x y

Аналогично, если

z =

dx +

z, n Z

x dx + y dy z .

(6)

Формула (6) понимается так: формально возводим в степень n по формуле бинома Ньютона, формально умножаем на z , и умножение каждого члена на z понимаем как взятие соответствующей частной производной.

Такие же символические формулы справедливы, если переменных больше, чем две.

Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Формула Тейлора для

n +1

раз дифференцируемой функции одной переменной имеет вид:

f (x )

(n)

)

f (x) = f (x

) + f (x )(x − x

) +

(x − x

)

+...

c – промежуточная точка между x0

и x .

Положим в этой формуле x − x0 = x = dx,

x = x0 + x

f (x

+ x) = f (x

) + df (x

) +

f (x

) +... +

где c – точка между

x = x

+ x

, т.е.

c = x

+θ x,0

				f	(n+1)	(c)
(x − x	)	n	+	f		(c)	(x − x	)	n+1	,
		n							n+1

0				(n +1)!			0
				(n +1)!

(x	) +	1	d	n+1	f (c),


0		(n +1)!

θ 1	.

где

В таком виде формула Тейлора обобщается на функции нескольких переменных.

Теорема 1. Если в окрестности некоторой точки непрерывные частные производные всех порядков до

(x	+ x , y	0	+ y) из этой окрестности
0		0
	x		y

f (x	+ x, y	+ y) = f (x	, y	) + df (x	, y	) +	1	d	2	f (x	, y	) +... +	1	d	n	f (x	, y	) +


0	0	0	0	0	0		2!			0	0		n!			0	0

+	1		d n+1 f (x + θ x, y + θ y), 0 θ 1 ,


	(n +	1)!	0	0
	(n +	1)!

x = dx, y

= dy

(7)

Чтобы избежать громоздких выкладок, доказательство теоремы мы здесь приводить не

будем, проверим только, что точка С (x0 +θ x, y0 +θ y)

– это некоторая точка отрезка,

соединяющего точки M0 (x0 , y0 ) и M (x0 + x, y0

+ y) :

1− θ

M0C = θ x, θ

y ,CM

= (1

−

θ) x, (1−

θ) y CM =

M 0C ,

>0, значит вектора

CM и M 0C коллинеарны и одинаково направлены (рис. 1).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2510 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.06.20245.04 Mб2L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_1.pdf
#
01.06.20246.08 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_2.pdf
#
01.06.20242.46 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_3.pdf
#
01.06.20241.39 Mб10вышмат полезно.pdf
#
01.06.2024482.88 Кб3кр по алегебре.pdf
#
01.06.20245.41 Mб76лекции вышмат.pdf
#
01.06.20241.34 Mб2линейная алгебра и агалитич геом.pdf