3.8. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

В рассмотренном выше примере вероятность получилась довольно малой, несмотря на то, что вероятность появления стандартной детали равна 0,9. Это объясняется тем, что была вычислена вероятность только одного из 401 исходов. Поэтому в практических приложениях представляет интерес вычисления не одного, а нескольких исходов. Такую вероятность можно получить путем суммирования по всем возможным исходам m. Однако при больших n и достаточно широких пределов изменения величины m вычисления будут довольно громоздкими. В этих случаях для приближенных вычислений используется

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, то для вероятности P_n(k₁mk₂) того, что число успехов заключено в пределах от k₁ до k₂, справедливо приближенная формула

, (3.15)

где ,–функция Лапласа.

Отметим, что функция Лапласа – нечетная функция, т.е. Ф(–x) = –Ф(x), для которой составлены специальные таблицы. Обратите внимание, что 0Ф(x)0,5.

Доказательство теоремы проведем, опираясь на локальную теорему Муавра-Лапласа (здесь мы также опускаем отдельные технические детали доказательства). Очевидно, что вероятность P_n(k₁mk₂) можно представить в виде

.

Так как

,

то сумму можно написать в виде

,

которая мало чем отличается от подходящим образом выбранной интегральной суммы, соответствующей интегралу . Следовательно,

.

Таким образом,

,

где –функция стандартного нормального распределения. Часто вместо функции F(x) используется функция Лапласа Ф(x)=F(x)–0,5. Отметим еще, что в некоторых учебниках за функцию Лапласа принимают вдвое большую функцию = 2Ф(x); в этом случае 01.

Пример 3.16. В среднем в ОТК бракуется 10% изделий. На контроль отобрано 625 изделий. Какова вероятность того, что среди них не менее 550 и не более 575 стандартных изделий?

Решение. По условию задачи n=625, p=0,9, q=0,1, k₁=550, k₂=575. Поскольку npq=56,25»1 и n=625>100, то искомую вероятность найдем при помощи интегральной формулы Муавра-Лапласа:

, ,

= 2·0,45221 = 0,90442.

Более точные компьютерные вычисления, с использованием формулы Бернулли, дают следующий результат P₆₂₅(550m575) = 0,90431. Видно, что использование интегральной теоремы Муавра-Лапласа было вполне оправданным.

3.9. Теорема Пуассона

При использовании теорем Муавра-Лапласа можно заметить, что она действует тем "хуже", чем больше вероятность p отличается от 1/2, т.е. чем ближе вероятность к 1 или 0. Однако значительное число задач связано с необходимостью вычисления вероятностей P_n(m) именно при малых значениях p (или q).

Теорема Пуассона. Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, а вероятность успеха p в одном испытании мала, причем мало также произведение np, то справедлива приближенная формула

, (3.16)

где  = np.

Доказательство. Запишем формулу Бернулли

или, с учетом обозначения  = np, p = /n:

.

Известно, что

.

Кроме того, если n велико, то ,, ...,и. Поэтому

,

что и требовалось доказать.

Отметим, что формула Пуассона справедлива также по отношению к числу неудач, но только в том случае, когда мало  = nq.

Теперь рассмотрим некоторые рекомендации по применению приближенной формулы Пуассона. 1) Если число испытаний n=1020, то теорема Пуассона используется для грубых оценок, когда  = np или  = nq изменяются в пределах от 02 (при n=10) до 03 (при n=20); в противном случае необходимо пользоваться формулами Муавра-Лапласа. 2) Если n=20100, то формулу Пуассона рекомендуется применять, когда  и  заключаются в следующих пределах: от 03 (при n=20) до 05 (при n=100). 3) Если n=1001000, то формула Пуассона используется, когда  и  изменяются в следующих пределах: от 05 (при n=100) до 010 (при n=1000). 4) Если n>1000, то необходимо чтобы  и  лежали в пределах 010 и более.

Еще раз отметим, что приближенные формулы Пуассона и Муавра-Лапласа гарантируют только малую абсолютную погрешность, но не относительную погрешность.

Пример 3.17. Счетчик Гейгера регистрирует попадание в него -частицы с вероятностью p=0,9. Найти вероятность того, что он зарегистрировал m (m=0,1,2,...,10) частиц при условии, что в него попало n=10 частиц.

Решение. Воспользуемся сначала точной формулой Бернулли, в соответствии с которой

.

После этого воспользуемся приближенной формулой Пуассона. В данном случае  = np =9 – велико, а  = nq = 1 мало. Это значит, что нужно воспользоваться формулой Пуассона, но по отношению к незарегистрированным частицам. В соответствии с этой формулой

.

Результаты вычислений P₁₀(m) занесем в таблицу.

m	Точное значение, формула Бернулли	Приближенное значение, формула Пуассона	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность %
0	0	0	-	-
1	0	0,000001	0,000001	-
2	0	0,000009	0,000010	-
3	0,000009	0,000073	0,000064	734
4	0,000138	0,000511	0,000373	271
5	0,001488	0,003066	0,001578	106
6	0,011160	0,015328	0,004168	37,4
7	0,057396	0,061313	0,003918	6,8
8	0,193710	0183940	–0,009771	5,0
9	0,387420	0,367879	–0,019541	5,0
10	0,344678	0,367879	0,019201	5,5

Анализируя приведенные результаты, видно, что максимальная абсолютная погрешность невелика, чего нельзя сказать о максимальной относительной погрешности. Если в данной задаче воспользоваться локальной теоремой Муавра-Лапласа (чего не рекомендуется делать, поскольку npq=0,9 сравнимо и даже меньше единицы), то получим результаты, имеющие существенно большие погрешности.

Пример 3.18. Радиоаппаратура состоит из 900 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года работы равна p=0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа не менее двух элементов за год?

Решение. Поскольку =np=0,9, то можно применить теорему Пуассона. Тогда

.

Точное значение

практически не значительно отличается от приближенного. Следовательно, в данной задаче допустимо применение формулы Пуассона.