3.7. Локальная теорема Муавра-Лапласа

Несмотря на элементарность формулы Бернулли, при больших n непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой, особенно если требуется не просто вычислить вероятность P_n(m) при конкретных значениях n и m, а решить какую-либо экстремальную задачу. Поэтому широкое значение получили приближенные асимптотические формулы. Функция g(x) называется асимптотическим приближением функции f(x), если .

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, при этом npq » 1, то справедлива приближенная формула

, (3.14)

где ,.

Ввиду важности функции (x), которая называется плотностью стандартного нормального распределения, для нее составлены специальные таблицы. При использовании таблиц следует учитывать, что функция (x) четная, т.е. (–x)=(x).

Доказательство. Одно из доказательств локальной теоремы основано на использовании формулы Стирлинга:

при n. Не даваясь в математические подробности доказательства, изложим основную его суть. Будем считать, что числа m и n–m в формуле Бернулли возрастают до бесконечности вместе с n. Тогда после применения формулы Стирлинга формула Бернулли примет вид

.

Рассмотрим теперь величину

.

Положим . Тогда,n–q=nq–. Логарифмируя теперь А, получим

.

Поскольку при больших n величины и малы, то логарифмы можно разложить в ряд Маклорена по степеням x. Ограничившись двумя первыми членами, получим

.

Следовательно,

.

Наконец, учитывая, что ипри фиксированномx и больших n, получим

.

Принимая во внимание все это, получим утверждение теоремы.

Теперь приведем некоторые рекомендации (носящие, вообще говоря, условный характер) по применению теоремы Муавра-Лапласа. 1) Если n=1020, то теорема Муавра-Лапласа используется для грубых оценок. 2) Если n=20100, то приближенные формулы уже можно использовать для прикладных инженерных расчетов. 3) Если n=1001000, то практически в любых инженерных расчетах можно обойтись приближенными асимптотическими формулами. 4) Если n>1000, то даже специальные таблицы рассчитываются с помощью асимптотических формул (правда, для увеличения точности используют специальные поправки).

Здесь следует еще добавить, что локальная формула Муавра-Лапласа верна с точностью до . Это означает, что для применения теоремы Муавра-Лапласа должно выполняться условиеnpq »1 (обычно достаточно npq >10).

Отметим также, что из условий теоремы следует, что если n, то и m. Это означает, что n и m должны отличаться друг от друга не очень сильно, например, для P_n(0) теорема Муавра-Лапласа дает плохое приближение.

Прежде чем переходить к рассмотрению примеров, скажем несколько слов о погрешностях, возникающих при использовании приближенных формул. Отметим, что полученная формула гарантирует только малую абсолютную погрешность, а относительная погрешность может быть сколь угодно большой; причем относительная погрешность увеличивается с ростом абсолютного значения |x| = .

Пример 3.14. Производится 10 подбрасываний монеты. Найти вероятность того, что выпадет ровно m (m=0,1,...,10) "гербов".

Решение. Вычислим точные значения искомых вероятностей по формуле Бернулли:

.

После этого воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа. Поскольку иx=(m–5)/1,5811, то

.

Результаты вычислений P₁₀(m) занесем в таблицу.

m	Точное значение, формула Бернулли	x	(x)	Приближенное значение, формула Муавра-Лапласа	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность %
0	0,000977	–3,1623	0,002688	0,001700	0,000724	74,1
1	0,009766	–2,5298	0,016262	0,010285	0,000519	5,3
2	0,043945	–1,8974	0,065945	0,041707	0,002238	5,1
3	0,117188	–1,2649	0,179256	0,113372	–0,003816	3,3
4	0,205078	–0,6325	0,326626	0,206577	0,001498	0,7
5	0,246094	0	0,398942	0,252313	0,006220	2,5
6	0,205078	0,6325	0,326626	0,206577	0,001498	0,7
7	0,117188	1,2649	0,179256	0,113372	–0,003816	3,3
8	0,043945	1,8974	0,065945	0041707	0,002238	5,1
9	0,009766	2,5298	0,016262	0,010285	0,000519	5,3
10	0,000977	3,1623	0,00268	0,001700	0,000724	74,1

Из таблицы видно, что приемлемые результаты приближенных вычислений находятся в середине таблицы. В целом можно отметить, что применение локальной теоремы в данной задаче не оправдано. Отметим, что сравнение точных и приближенных вычислений связано со сравнением биномиального и нормального распределений (см. темы: «Биномиальное распределение» и «Центральная предельная теорема»)

Пример 3.15. Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 сошедших с конвейера деталей 356 окажутся стандартными.

Решение. Согласно условию задачи: n=400, m=356, p=0,9, q=0,1. Поскольку n>100 и npq=36>10, то можно применить теорему Муавра-Лапласа. Найдем

.

После этого находим значение функции (–0,6667)=0,31945. В результате, получаем

.

Компьютерные вычисления при помощи формулы Бернулли дает следующий результат

P₄₀₀(356) = 0,05127.

Видно, что применение в данной задаче локальной теоремы Муавра-Лапласа было практически оправдано.